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第18讲 整式的乘除法综合-【暑假辅导】六升七暑假数学精品讲义（沪教版）
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沪教版数学教材主要有以下特点：
1. 立足实际，贴近生活。教材中的案例和题目都来源于学生生活实际。
2. 突出思维训练，注重创新能力。提高学生的解题、思维能力，够激发创新力和发散思维。
3. 知识与技能并重，注重应用。教材中既注重知识点的讲解和掌握，同时也重视技能的训练和应用，使学生能够在实际生活中运用数学知识。
4. 多元化评价，注重全面发展。教材中的评价方式不仅包括传统的考试、作业和口头表现，更加注重学生的多方面发展。
第18讲 整式的乘除法综合
【学习目标】
在整式及其加减运算后，进一步学习整式的乘除，是对整式运算的延展和补充．整式的乘除法的基础是同底数幂的乘法和除法，幂的乘方和积的乘方，单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘，单项式除以单项式、多项式除以单项式等运算．
通过这节课的学习，一方面加强对整式乘除运算的进一步理解，另一方面也为后期学习分式的运算奠定基础．
【基础知识】
1、单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式．
注：单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按”先乘方、再乘法”的顺序进行．例如：．
2、单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项．再把所得的积相加．例如：=．
3、多项式乘以多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
用公式表示为：．
4、同底数幂的除法法则：
同底数幂相除，底数不变，指数相减．
用式子表示为：（、都是正整数且，）．
5、规定；（，是正整数）．
6、单项式除以单项式的法则：
两个单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
7、多项式除以单项式的法则：
多项式除以单项式，先把多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加．
（1）多项式除以单项式，商式与被除式的项数相同，不可丢项．
（2）要求学生说出式子每步变形的依据．
（3）让学生养成检验的习惯，利用乘除逆运算，检验除的对不对．
【考点剖析】
考点一：选择题
例1．下列运算中结果正确的是（）．
A、；B、；C、；D、．
【难度】★
【答案】A
【解析】B正确答案为：；C正确答案为；
D正确答案为．
【总结】本题主要考查对整式的运算法则的理解和运用．
例2．在下列的计算中正确的是（）．
A、B、
C、D、
【难度】★
【答案】C
【解析】A的两个单项式不能合并；B正确答案为；
D正确答案为．
【总结】本题主要考查对整式的运算法则的理解和运用．
例3．下列运算中正确的是（）．
A、B、
C、D、
【难度】★
【答案】B
【解析】A正确答案为；C正确答案为；
D正确答案为．
【总结】本题主要考查对整式的除法则的理解和运用．
例4．计算的结果是（）．
A、B、C、1D、
【难度】★
【答案】C
【解析】原式=．
【总结】本题属于混合运算，计算时注意对相关运算法则的准确运用．
例5．如果，那么单项式M等于（）．
A、B．C．D．
【难度】★
【答案】C
【解析】∵，∴．
【总结】本题主要考查对整式的除法则的理解和运用．
例6．已知是一个完全平方式，则的值是（）．
A、8B、±8C、16D、±16
【难度】★★
【答案】D
【解析】．
【总结】本题主要考查对完全平方公式的理解和运用．
例7．如下图（1），边长为a的大正方形中一个边长为b的小正方形，小明将图（1）的阴影部分拼成了一个矩形，如图（2）．这一过程可以验证（）．
A、B、；
C、D、
【难度】★★
【答案】D
【解析】图1中，阴影部分的面积为，
图2中，阴影部分为长方形，长为，宽为，面积为．
【总结】本题通过图形面积的转化加强对平方差公式的理解．
例8．如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：
①；②；
③；④，
你认为其中正确的有（）
A、①② B、③④C、①②③D、①②③④
【难度】★★
【答案】D
【解析】图中①②③④中各个代数中表示图中长方形的面积．
【总结】本题主要是通过图形的面积加强对整式乘法的理解．
考点二：填空题
例1．若，．
【难度】★
【答案】100
【解析】∵，∴，∴．
【总结】本题主要考查对同底数幂相除的法则的逆用．
例2．已知，，则_______．
【难度】★
【答案】-3
【解析】．
【总结】本题一方面考查整式的乘法，另一方面考查整体代入思想的运用．
例3．若，且，则．
【难度】★
【答案】2．
【解析】∵，，∴．
【总结】本题主要考查对平方差公式的运用．
例4．方程的解是_______．
【难度】★
【答案】．
【解析】∵，
∴，
即，∴．
【总结】本题通过利用整式的乘法来进行方程的求解．
例5．设是一个完全平方式，则=_______．
【难度】★
【答案】19或-25
【解析】∵，
∴，∴为19或-25．
【总结】本题主要考查对完全平方公式的理解和运用．
例6．计算的结果是．
【难度】★★
【答案】
【解析】．
【总结】本题主要考查对单项式乘以单项式法则的理解和运用．
例7．已知与一个整式的积是，则这个整式=_________________．
【难度】★★
【答案】．
【解析】．
【总结】本题主要考查对整式的除法的法则的理解和运用．
考点三：解答题
例1．计算：．
【难度】★
【答案】．
【解析】原式=．
【总结】本题主要考查对整式运算中的相关法则的运用．
例2．计算：
；
（2）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）原式=；
（2）原式=．
【总结】本题主要考查对整式运算中的相关法则的运用．
例3．计算：．
【难度】★
【答案】
【解析】．
【总结】本题主要是利用因式分解进行多项式除以多项的计算．
例4．计算：
（1）；（2）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）-1．
【解析】（1）原式=；
原式=．
【总结】本题是整式的混合运算，计算时注意法则的准确运用．
例5．计算：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）；
（3）；（4）．
【解析】（1）原式=；
原式=；
原式=；
原式=．
【总结】本题是整式的混合运算，计算时注意法则的准确运用．
例6．计算下列各题：
（1）；
（2）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）原式=；
（2）原式=．
【总结】本题是整式的混合运算，计算时注意法则的准确运用．
例7．若求的值．
【难度】★★
【答案】27
【解析】．
【总结】本题是对幂的运算的综合运用．
例8．解不等式：．
【难度】★★
【答案】
【解析】，
，．
【总结】本题主要是利用整式的乘法来求解不等式的解集．
例9．已知：，求代数式的值．
【难度】★★
【答案】0
【解析】∵．∴原式=．
【总结】本题主要是对整体代入思想的运用．
例10．先化简，再求值：（其中x=10，）．
【难度】★★
【答案】
【解析】原式=．
当x=10，时，原式=．
【总结】本题是求代数式值的问题，在计算时注意相关运算法则的准确运用．
例11．先化简，再求值：，其中，．
【难度】★★
【答案】13
【解析】原式=，
当，时，原式=．
【总结】本题是求代数式值的问题，在计算时注意相关运算法则的准确运用．
例12．一个多项式除以，得商为，余式为，求这个多项式．
【难度】★★
【答案】．
【解析】．
【总结】本题主要是考查对题目的理解能力．
例13．已知一个三角形的面积是，一边长为，求该边上的高．
【难度】★★
【答案】．
【解析】
．
即该边上的高为．
【总结】本题主要是考查对题目的理解能力．
例14．若无意义，且，求的值．
【难度】★★
【答案】，．
【解析】由题意可知：．
又∵，∴，．
【总结】本题主要考查有意义的条件．
例15．若的展开式中不含和项，求和的值．
【难度】★★
【答案】，．
【解析】原式=
．
∵展开式中不含和项，∴，，∴，．
【总结】本题主要考查多项式的乘法运算结果中不含有某一项的意义．
例16．说明代数式的值，与的值无关．
【难度】★★
【解析】原式=，
∴此代数式的值与的值无关．
【总结】本题主要考查多项式的乘法运算结果中不含有某一项的意义．
例17．一个正方形的边长增加3cm，它的面积增加了45cm2．求这个正方形原来的边长．若边长减少3cm，它的面积减少了45cm2，这时原来边长是多少呢？
【难度】★★
【答案】6cm；6cm．
【解析】设原来正方形的边长为cm．则，解得：．
∴正方形原来的边长为6 cm．
设原来正方形的边长为cm，则，解得：．
∴正方形原来的边长为6 cm．
【总结】本题主要考查整式的乘法在实际问题中的运用．
例18．如图所示，长方形ABCD是“阳光小区”内一块空地，已知AB=2a，BC=3b，且E为AB边的中点，，现打算在阴影部分种植一片草坪，求这片草坪的面积．
【难度】★★
【答案】．
【解析】．
【总结】本题主要考查整式的乘法在实际问题中的运用．
例19．如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当，时的绿化面积．
【难度】★★
【答案】；63．
【解析】
．
当，时，原式=．
【总结】本题主要考查整式的运算在实际问题中的运用．
【过关检测】
一、单选题
1．（2019·上海市长宁中学七年级月考）下列等式成立的是（ ）
A．x2+x2＝x4B．2a2﹣a2＝2C．（2a）2＝2a2D．2a2•a2＝2a4
【答案】D
【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则分别判断得出答案．
【详解】A、x2+x2＝2x2，故此选项错误；
B、2a2﹣a2＝a2，故此选项错误；
C、（2a）2＝4a2，故此选项错误；
D、2a2•a2＝2a4，正确．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
2．（2019·上海市民办协和双语学校七年级月考）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】直接利用积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则分别判断得出答案．
【详解】解：A、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，正确．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了积的乘方运算、幂的乘方运算以及同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．（2019·上海市闵行区莘松中学七年级期中）计算的结果是（ ）
A．-1B．-3C．D．3
【答案】B
【分析】先将变形得到，再进行计算，即可得到答案.
【详解】
==-3，故答案为B.
【点睛】本题考查积的乘方的逆用，解题的关键是掌握运算法则.
4．（2019·上海市西南模范中学七年级月考）下列各式，等于的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据幂的乘方逐项化简即可作出判断.
【详解】A. =x3m+3≠，故不正确；
B. =，正确；
C. =x4m≠，故不正确；
D. =≠，故不正确；
故选B.
【点睛】本题考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方法则是解答本题的关键.幂的乘方底数不变，指数相乘.
5．（2019·上海七年级期末）下列各式中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据幂的运算法则对各式进行计算即可．
【详解】A. ，错误；
B. ，错误；
C. ，错误；
D. ，正确；
故答案为：D．
【点睛】本题考查了幂的运算问题，掌握幂的运算法则是解题的关键．
6．（2019·上海市莘光学校七年级月考）的计算结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据幂的乘法法则：底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，即可得解.
【详解】
故答案为A.
【点睛】此题主要考查幂的乘方以及同底数幂除法，熟练掌握运算法则，即可解题.
7．（2019·上海七年级月考）在下列各式中，计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据同底数幂的乘法和除法以及幂的乘方、积的乘方判断即可．
【详解】A. ，该选项错误；
B. ，该选项错误；
C. ，该选项正确；
D. ，该选项错误．
故选：C．
【点睛】此题考查同底数幂的乘法、除法以及幂的乘方、积的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
二、填空题
8．（2019·上海七年级期末）计算： ________．
【答案】
【分析】根据整式的积的乘方运算解答．
【详解】，
故答案为：．
【点睛】此题考查整式的积的乘方运算法则：积的乘方等于积中每个因式分别乘方的积，熟记法则是解题的关键．
9．（2020·上海市浦东新区建平中学南校七年级月考）计算：
3x（2y2）=________________； 2ab（a+2b）=_________________________；
（x+5）（x-4）=______________________； （2x+y）（3x-2y）=______________________．
【答案】6xy2 2a2b+4ab2 x2+x-20 6x2-xy-2y2
【分析】直接利用单项式乘以单项式运算法则计算即可；
利用单项式乘以多项式的运算法则计算即可；
利用多项式乘以多项式的运算法则计算即可；
利用多项式乘以多项式的运算法则计算即可．
【详解】解：；
；
；
．
【点睛】本题考查了整式的四则运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
10．（2019·上海七年级期中）计算： =__________．
【答案】3
【分析】根据同底数幂的乘法和积的乘方法则计算即可．
【详解】解：
=
=
=
=
故答案为：3．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法和积的乘方，解题的关键是掌握运算法则．
11．（2019·上海市风华中学七年级期中）计算：__________．
【答案】
【分析】直接利用积的乘方运算法则化简求出答案．
【详解】解：（−3x2）3＝−27x6．
故答案为．
【点睛】此题主要考查了积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．
12．（2019·上海市进才实验中学七年级月考）光速约为3米/秒，太阳光照到地球上的时间为秒，则地球与太阳的距离约是_____米（结果用科学计数法表示）
【答案】
【分析】利用速度乘以时间得出路程，再根据科学计数法将其表示出来即可
【详解】==
【点睛】本题主要考查了幂之间的乘法运算与科学计数法，掌握相关运算法则是关键
13．（2019·上海上外附中七年级期末）已知为奇数且，化简：___________．
【答案】-8a3+6a2+5a
【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案.
【详解】解：∵为奇数且，
∴原式==-8a3+6a2+5a.
故答案为-8a3+6a2+5a.
【点睛】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
14．（2019·上海民办张江集团学校七年级期中）已知，，则_______________
【答案】675
【分析】根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则解答即可．
【详解】∵am=3，an=5，∴a3m+2n=(am)3•(an)2=33×52=27×25=675．
故答案为：675．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
15．（2019·上海市高桥·东陆学校七年级月考）计算：_____________
【答案】-1
【分析】根据幂的乘方运算法则，底数不变，指数相乘，即可得解.
【详解】
【点睛】此题主要考查幂的运算,熟练掌握,即可解题.
16．（2019·上海市民办尚德实验学校七年级月考）已知：，则_______________
【答案】-2
【分析】根据幂的乘方、负指数幂及同底数幂的运算公式即可求解.
【详解】∵
∴
故
∴3-3x+2x-3=2,
解得x=-2，
故填：-2.
【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算公式及运用.
三、解答题
17．（2020·上海市梅陇中学七年级期中）
【答案】
【分析】根据多项式乘以多项式的法则计算即可．
【详解】解：原式＝x2＋5x−14−2（6＋x−x2）
＝x2＋5x−14−12−2x＋2x2
＝3x2＋3x−26．
【点睛】本题考查多项式乘以多项式，关键是根据法则计算．
18．（2019·上海市民办尚德实验学校七年级月考）计算：
【答案】0
【分析】根据幂的乘方公式及同底数幂的运算法则即可求解.
【详解】
=
=
=0
【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算法则.
19．（2019·上海华东师范大学附属进华中学七年级期中）计算：
【答案】
【分析】根据幂的运算公式即可求解.
【详解】
=
=
【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的公式及运算法则.
20．（2019·上海）计算：
【答案】
【分析】根据多项式除以单项式法则直接计算即可.
【详解】解：原式，
故答案为：.
【点睛】本题是对整式除法的考查，熟练掌握多项式除以单项式法则是解决本题的关键.
21．（2019·上海七年级期末）如图，在长方形中，，，现将长方形向右平移，再向下平移后到长方形的位置，
（1）当时，长方形ABCD与长方形A'B'C'D'的重叠部分面积等于________．
（2）如图，用的代数式表示长方形ABCD与长方形的重叠部分的面积．
（3）如图，用的代数式表示六边形的面积．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据平移方向和距离可求出重叠部分的长和宽，从而可求出重叠部分的面积；
（2）用x表示出重叠部分的长和宽，然后根据长方形面积公式列式整理即可；
（3）利用平移前后长方形的面积和加上两个正方形的面积，然后再送去重叠部分的面积列式进行计算即可得解．
【详解】解：（1）将长方形向右平移，再向下平移
所以，重叠部分的长为：10-4=6cm，宽为：8-5=3cm；
因此，重叠部分的面积为：；
（2）∵，，
∴重叠部分的长为（10-x）cm，宽为[8-(x+1)]cm，
∴重叠部分的面积=
= ．
=
（3）
=．
【点睛】本题考查了平移的性质和整式的混合运算，认准图形，准确列出所求部分的面积是解题的关键．
22．（2019·上海七年级期中）已知7张如图1所示的长为，宽为的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为．设．
（1）用的代数式表示．
（2）当的长度变化时，如果始终保持不变，则应满足的关系是什么？
【答案】（1）3bt-at+ab；（2）a=3b
【分析】（1）表示出左上角与右下角部分的面积，求出之差S；
（2）根据差与BC无关即可求出a与b的关系式．
【详解】解：（1）左上角阴影部分的长为AE=t-a，宽为AF=3b，右下角阴影部分的长为PC=t-4b，宽为a，
∴阴影部分面积之差S=AE•AF-PC•BF=3b（t-a）-a（t-4b）=3bt-at+ab；
（2）∵BC是变化的，S始终保持不变，
∴S=t（3b-a）+ab，
∴3b-a=0，
∴a=3b．
【点睛】此题考查了整式的混合运算和长方形的面积，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
沪教版数学教材主要有以下特点：
1. 立足实际，贴近生活。教材中的案例和题目都来源于学生生活实际。
2. 突出思维训练，注重创新能力。提高学生的解题、思维能力，够激发创新力和发散思维。
3. 知识与技能并重，注重应用。教材中既注重知识点的讲解和掌握，同时也重视技能的训练和应用，使学生能够在实际生活中运用数学知识。
4. 多元化评价，注重全面发展。教材中的评价方式不仅包括传统的考试、作业和口头表现，更加注重学生的多方面发展。
第18讲 整式的乘除法综合
【学习目标】
在整式及其加减运算后，进一步学习整式的乘除，是对整式运算的延展和补充．整式的乘除法的基础是同底数幂的乘法和除法，幂的乘方和积的乘方，单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘，单项式除以单项式、多项式除以单项式等运算．
通过这节课的学习，一方面加强对整式乘除运算的进一步理解，另一方面也为后期学习分式的运算奠定基础．
【基础知识】
1、单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式．
注：单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按”先乘方、再乘法”的顺序进行．例如：．
2、单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项．再把所得的积相加．例如：=．
3、多项式乘以多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
用公式表示为：．
4、同底数幂的除法法则：
同底数幂相除，底数不变，指数相减．
用式子表示为：（、都是正整数且，）．
5、规定；（，是正整数）．
6、单项式除以单项式的法则：
两个单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
7、多项式除以单项式的法则：
多项式除以单项式，先把多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加．
（1）多项式除以单项式，商式与被除式的项数相同，不可丢项．
（2）要求学生说出式子每步变形的依据．
（3）让学生养成检验的习惯，利用乘除逆运算，检验除的对不对．
【考点剖析】
考点一：选择题
例1．下列运算中结果正确的是（）．
A、；B、；C、；D、．
【难度】★
【答案】A
【解析】B正确答案为：；C正确答案为；
D正确答案为．
【总结】本题主要考查对整式的运算法则的理解和运用．
例2．在下列的计算中正确的是（）．
A、B、
C、D、
【难度】★
【答案】C
【解析】A的两个单项式不能合并；B正确答案为；
D正确答案为．
【总结】本题主要考查对整式的运算法则的理解和运用．
例3．下列运算中正确的是（）．
A、B、
C、D、
【难度】★
【答案】B
【解析】A正确答案为；C正确答案为；
D正确答案为．
【总结】本题主要考查对整式的除法则的理解和运用．
例4．计算的结果是（）．
A、B、C、1D、
【难度】★
【答案】C
【解析】原式=．
【总结】本题属于混合运算，计算时注意对相关运算法则的准确运用．
例5．如果，那么单项式M等于（）．
A、B．C．D．
【难度】★
【答案】C
【解析】∵，∴．
【总结】本题主要考查对整式的除法则的理解和运用．
例6．已知是一个完全平方式，则的值是（）．
A、8B、±8C、16D、±16
【难度】★★
【答案】D
【解析】．
【总结】本题主要考查对完全平方公式的理解和运用．
例7．如下图（1），边长为a的大正方形中一个边长为b的小正方形，小明将图（1）的阴影部分拼成了一个矩形，如图（2）．这一过程可以验证（）．
A、B、；
C、D、
【难度】★★
【答案】D
【解析】图1中，阴影部分的面积为，
图2中，阴影部分为长方形，长为，宽为，面积为．
【总结】本题通过图形面积的转化加强对平方差公式的理解．
例8．如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：
①；②；
③；④，
你认为其中正确的有（）
A、①② B、③④C、①②③D、①②③④
【难度】★★
【答案】D
【解析】图中①②③④中各个代数中表示图中长方形的面积．
【总结】本题主要是通过图形的面积加强对整式乘法的理解．
考点二：填空题
例1．若，．
【难度】★
【答案】100
【解析】∵，∴，∴．
【总结】本题主要考查对同底数幂相除的法则的逆用．
例2．已知，，则_______．
【难度】★
【答案】-3
【解析】．
【总结】本题一方面考查整式的乘法，另一方面考查整体代入思想的运用．
例3．若，且，则．
【难度】★
【答案】2．
【解析】∵，，∴．
【总结】本题主要考查对平方差公式的运用．
例4．方程的解是_______．
【难度】★
【答案】．
【解析】∵，
∴，
即，∴．
【总结】本题通过利用整式的乘法来进行方程的求解．
例5．设是一个完全平方式，则=_______．
【难度】★
【答案】19或-25
【解析】∵，
∴，∴为19或-25．
【总结】本题主要考查对完全平方公式的理解和运用．
例6．计算的结果是．
【难度】★★
【答案】
【解析】．
【总结】本题主要考查对单项式乘以单项式法则的理解和运用．
例7．已知与一个整式的积是，则这个整式=_________________．
【难度】★★
【答案】．
【解析】．
【总结】本题主要考查对整式的除法的法则的理解和运用．
考点三：解答题
例1．计算：．
【难度】★
【答案】．
【解析】原式=．
【总结】本题主要考查对整式运算中的相关法则的运用．
例2．计算：
；
（2）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）原式=；
（2）原式=．
【总结】本题主要考查对整式运算中的相关法则的运用．
例3．计算：．
【难度】★
【答案】
【解析】．
【总结】本题主要是利用因式分解进行多项式除以多项的计算．
例4．计算：
（1）；（2）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）-1．
【解析】（1）原式=；
原式=．
【总结】本题是整式的混合运算，计算时注意法则的准确运用．
例5．计算：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）；
（3）；（4）．
【解析】（1）原式=；
原式=；
原式=；
原式=．
【总结】本题是整式的混合运算，计算时注意法则的准确运用．
例6．计算下列各题：
（1）；
（2）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）原式=；
（2）原式=．
【总结】本题是整式的混合运算，计算时注意法则的准确运用．
例7．若求的值．
【难度】★★
【答案】27
【解析】．
【总结】本题是对幂的运算的综合运用．
例8．解不等式：．
【难度】★★
【答案】
【解析】，
，．
【总结】本题主要是利用整式的乘法来求解不等式的解集．
例9．已知：，求代数式的值．
【难度】★★
【答案】0
【解析】∵．∴原式=．
【总结】本题主要是对整体代入思想的运用．
例10．先化简，再求值：（其中x=10，）．
【难度】★★
【答案】
【解析】原式=．
当x=10，时，原式=．
【总结】本题是求代数式值的问题，在计算时注意相关运算法则的准确运用．
例11．先化简，再求值：，其中，．
【难度】★★
【答案】13
【解析】原式=，
当，时，原式=．
【总结】本题是求代数式值的问题，在计算时注意相关运算法则的准确运用．
例12．一个多项式除以，得商为，余式为，求这个多项式．
【难度】★★
【答案】．
【解析】．
【总结】本题主要是考查对题目的理解能力．
例13．已知一个三角形的面积是，一边长为，求该边上的高．
【难度】★★
【答案】．
【解析】
．
即该边上的高为．
【总结】本题主要是考查对题目的理解能力．
例14．若无意义，且，求的值．
【难度】★★
【答案】，．
【解析】由题意可知：．
又∵，∴，．
【总结】本题主要考查有意义的条件．
例15．若的展开式中不含和项，求和的值．
【难度】★★
【答案】，．
【解析】原式=
．
∵展开式中不含和项，∴，，∴，．
【总结】本题主要考查多项式的乘法运算结果中不含有某一项的意义．
例16．说明代数式的值，与的值无关．
【难度】★★
【解析】原式=，
∴此代数式的值与的值无关．
【总结】本题主要考查多项式的乘法运算结果中不含有某一项的意义．
例17．一个正方形的边长增加3cm，它的面积增加了45cm2．求这个正方形原来的边长．若边长减少3cm，它的面积减少了45cm2，这时原来边长是多少呢？
【难度】★★
【答案】6cm；6cm．
【解析】设原来正方形的边长为cm．则，解得：．
∴正方形原来的边长为6 cm．
设原来正方形的边长为cm，则，解得：．
∴正方形原来的边长为6 cm．
【总结】本题主要考查整式的乘法在实际问题中的运用．
例18．如图所示，长方形ABCD是“阳光小区”内一块空地，已知AB=2a，BC=3b，且E为AB边的中点，，现打算在阴影部分种植一片草坪，求这片草坪的面积．
【难度】★★
【答案】．
【解析】．
【总结】本题主要考查整式的乘法在实际问题中的运用．
例19．如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当，时的绿化面积．
【难度】★★
【答案】；63．
【解析】
．
当，时，原式=．
【总结】本题主要考查整式的运算在实际问题中的运用．
【过关检测】
一、单选题
1．（2019·上海市长宁中学七年级月考）下列等式成立的是（ ）
A．x2+x2＝x4B．2a2﹣a2＝2C．（2a）2＝2a2D．2a2•a2＝2a4
【答案】D
【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则分别判断得出答案．
【详解】A、x2+x2＝2x2，故此选项错误；
B、2a2﹣a2＝a2，故此选项错误；
C、（2a）2＝4a2，故此选项错误；
D、2a2•a2＝2a4，正确．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
2．（2019·上海市民办协和双语学校七年级月考）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】直接利用积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则分别判断得出答案．
【详解】解：A、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，正确．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了积的乘方运算、幂的乘方运算以及同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．（2019·上海市闵行区莘松中学七年级期中）计算的结果是（ ）
A．-1B．-3C．D．3
【答案】B
【分析】先将变形得到，再进行计算，即可得到答案.
【详解】
==-3，故答案为B.
【点睛】本题考查积的乘方的逆用，解题的关键是掌握运算法则.
4．（2019·上海市西南模范中学七年级月考）下列各式，等于的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据幂的乘方逐项化简即可作出判断.
【详解】A. =x3m+3≠，故不正确；
B. =，正确；
C. =x4m≠，故不正确；
D. =≠，故不正确；
故选B.
【点睛】本题考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方法则是解答本题的关键.幂的乘方底数不变，指数相乘.
5．（2019·上海七年级期末）下列各式中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据幂的运算法则对各式进行计算即可．
【详解】A. ，错误；
B. ，错误；
C. ，错误；
D. ，正确；
故答案为：D．
【点睛】本题考查了幂的运算问题，掌握幂的运算法则是解题的关键．
6．（2019·上海市莘光学校七年级月考）的计算结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据幂的乘法法则：底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，即可得解.
【详解】
故答案为A.
【点睛】此题主要考查幂的乘方以及同底数幂除法，熟练掌握运算法则，即可解题.
7．（2019·上海七年级月考）在下列各式中，计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据同底数幂的乘法和除法以及幂的乘方、积的乘方判断即可．
【详解】A. ，该选项错误；
B. ，该选项错误；
C. ，该选项正确；
D. ，该选项错误．
故选：C．
【点睛】此题考查同底数幂的乘法、除法以及幂的乘方、积的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
二、填空题
8．（2019·上海七年级期末）计算： ________．
【答案】
【分析】根据整式的积的乘方运算解答．
【详解】，
故答案为：．
【点睛】此题考查整式的积的乘方运算法则：积的乘方等于积中每个因式分别乘方的积，熟记法则是解题的关键．
9．（2020·上海市浦东新区建平中学南校七年级月考）计算：
3x（2y2）=________________； 2ab（a+2b）=_________________________；
（x+5）（x-4）=______________________； （2x+y）（3x-2y）=______________________．
【答案】6xy2 2a2b+4ab2 x2+x-20 6x2-xy-2y2
【分析】直接利用单项式乘以单项式运算法则计算即可；
利用单项式乘以多项式的运算法则计算即可；
利用多项式乘以多项式的运算法则计算即可；
利用多项式乘以多项式的运算法则计算即可．
【详解】解：；
；
；
．
【点睛】本题考查了整式的四则运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
10．（2019·上海七年级期中）计算： =__________．
【答案】3
【分析】根据同底数幂的乘法和积的乘方法则计算即可．
【详解】解：
=
=
=
=
故答案为：3．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法和积的乘方，解题的关键是掌握运算法则．
11．（2019·上海市风华中学七年级期中）计算：__________．
【答案】
【分析】直接利用积的乘方运算法则化简求出答案．
【详解】解：（−3x2）3＝−27x6．
故答案为．
【点睛】此题主要考查了积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．
12．（2019·上海市进才实验中学七年级月考）光速约为3米/秒，太阳光照到地球上的时间为秒，则地球与太阳的距离约是_____米（结果用科学计数法表示）
【答案】
【分析】利用速度乘以时间得出路程，再根据科学计数法将其表示出来即可
【详解】==
【点睛】本题主要考查了幂之间的乘法运算与科学计数法，掌握相关运算法则是关键
13．（2019·上海上外附中七年级期末）已知为奇数且，化简：___________．
【答案】-8a3+6a2+5a
【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案.
【详解】解：∵为奇数且，
∴原式==-8a3+6a2+5a.
故答案为-8a3+6a2+5a.
【点睛】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
14．（2019·上海民办张江集团学校七年级期中）已知，，则_______________
【答案】675
【分析】根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则解答即可．
【详解】∵am=3，an=5，∴a3m+2n=(am)3•(an)2=33×52=27×25=675．
故答案为：675．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
15．（2019·上海市高桥·东陆学校七年级月考）计算：_____________
【答案】-1
【分析】根据幂的乘方运算法则，底数不变，指数相乘，即可得解.
【详解】
【点睛】此题主要考查幂的运算,熟练掌握,即可解题.
16．（2019·上海市民办尚德实验学校七年级月考）已知：，则_______________
【答案】-2
【分析】根据幂的乘方、负指数幂及同底数幂的运算公式即可求解.
【详解】∵
∴
故
∴3-3x+2x-3=2,
解得x=-2，
故填：-2.
【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算公式及运用.
三、解答题
17．（2020·上海市梅陇中学七年级期中）
【答案】
【分析】根据多项式乘以多项式的法则计算即可．
【详解】解：原式＝x2＋5x−14−2（6＋x−x2）
＝x2＋5x−14−12−2x＋2x2
＝3x2＋3x−26．
【点睛】本题考查多项式乘以多项式，关键是根据法则计算．
18．（2019·上海市民办尚德实验学校七年级月考）计算：
【答案】0
【分析】根据幂的乘方公式及同底数幂的运算法则即可求解.
【详解】
=
=
=0
【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算法则.
19．（2019·上海华东师范大学附属进华中学七年级期中）计算：
【答案】
【分析】根据幂的运算公式即可求解.
【详解】
=
=
【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的公式及运算法则.
20．（2019·上海）计算：
【答案】
【分析】根据多项式除以单项式法则直接计算即可.
【详解】解：原式，
故答案为：.
【点睛】本题是对整式除法的考查，熟练掌握多项式除以单项式法则是解决本题的关键.
21．（2019·上海七年级期末）如图，在长方形中，，，现将长方形向右平移，再向下平移后到长方形的位置，
（1）当时，长方形ABCD与长方形A'B'C'D'的重叠部分面积等于________．
（2）如图，用的代数式表示长方形ABCD与长方形的重叠部分的面积．
（3）如图，用的代数式表示六边形的面积．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据平移方向和距离可求出重叠部分的长和宽，从而可求出重叠部分的面积；
（2）用x表示出重叠部分的长和宽，然后根据长方形面积公式列式整理即可；
（3）利用平移前后长方形的面积和加上两个正方形的面积，然后再送去重叠部分的面积列式进行计算即可得解．
【详解】解：（1）将长方形向右平移，再向下平移
所以，重叠部分的长为：10-4=6cm，宽为：8-5=3cm；
因此，重叠部分的面积为：；
（2）∵，，
∴重叠部分的长为（10-x）cm，宽为[8-(x+1)]cm，
∴重叠部分的面积=
= ．
=
（3）
=．
【点睛】本题考查了平移的性质和整式的混合运算，认准图形，准确列出所求部分的面积是解题的关键．
22．（2019·上海七年级期中）已知7张如图1所示的长为，宽为的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为．设．
（1）用的代数式表示．
（2）当的长度变化时，如果始终保持不变，则应满足的关系是什么？
【答案】（1）3bt-at+ab；（2）a=3b
【分析】（1）表示出左上角与右下角部分的面积，求出之差S；
（2）根据差与BC无关即可求出a与b的关系式．
【详解】解：（1）左上角阴影部分的长为AE=t-a，宽为AF=3b，右下角阴影部分的长为PC=t-4b，宽为a，
∴阴影部分面积之差S=AE•AF-PC•BF=3b（t-a）-a（t-4b）=3bt-at+ab；
（2）∵BC是变化的，S始终保持不变，
∴S=t（3b-a）+ab，
∴3b-a=0，
∴a=3b．
【点睛】此题考查了整式的混合运算和长方形的面积，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
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