第7讲 幂的运算（一）-【暑假辅导】六升七暑假数学精品讲义（沪教版）

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第7讲 幂的运算（一）
【学习目标】
《整式的乘除》是整式加减的延续和发展，也是后续学习因式分解、分式运算的基础．整式的乘法运算包含单项式乘法、单项式与多项式乘法和多项式乘法，它们最后都转化为单项式乘法．单项式的乘法又以幂的运算为基础．“整式的乘法”的内容和逻辑线索是：同底数幂的乘法——幂的乘方——积的乘方——单项式乘单项式——单项式乘多项式——多项式乘多项式——乘法公式（特例）．
由此可见，同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方是整式乘法的逻辑起点，是该章的起始课．作为章节起始课，承载着单元知识以及学习方法、路径的引领作用．
【基础知识】
一：同底数幂的乘法
1、幂的运算概念：求个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在中，叫做底数，叫做指数．
含义：中，为底数，为指数，即表示的个数，表示有个连续相乘．
例如：表示，表示，表示
，表示，表示．
特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号．
2、“奇负偶正”口诀的应用：
口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点：
（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：；．
（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号．
（3）有理数乘方，这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正．
例如：，．
特别地：当为奇数时，；而当为偶数时，．
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．
正数的任何次幂都是正数，1的任何次幂都是1，任何不为0的数的0次幂都是“1”．
3、同底数幂相乘
同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．用式子表示为：
（都是正整数）．
二：幂的乘方
1、幂的乘方定义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘．
2、幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．即（、都是正整数）
三：积的乘方
1、积的乘方定义：积的乘方指的是乘积形式的乘方．
2、积的乘方法则：积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘：（是正整数）
3、积的乘方的逆用：．
【考点剖析】
考点一：同底数幂的乘法
例1．下列各式正确吗？不正确的请加以改正．
（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）；（6）；
（7）；（8）．
【难度】★
【答案】（1）正确；（2）不正确，正确为：；（3）不正确，正确为：；（4）不正确，正确为：；（5）不正确，不能计算；（6）不正确，正确为：；（7）不正确，正确为：；
（8）不正确，正确为：．
【解析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
【总结】本题主要考查同底数幂的乘法运算，同时一定要注意确保是在同底数幂乘法运算时才可以应用，注意算式中的符号．
例2．计算下列各式，结果用幂的形式表示：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】本题主要考查同底数幂相乘的计算，底数不变，指数相加．
例3．计算下列各式，结果用幂的形式表示．
（1）；
（2）；
（3）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）0；（3）．
【解析】（1）原式；（2）原式；
（3）原式．
【总结】本题主要考查同底数幂相乘的计算和合并同类项相关知识概念，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，然后进行合并同类项的运算．
例4．计算下列各式，结果用幂的形式表示．
（1）；（2）；
（3）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）原式；（2）原式；
（3）原式．
【总结】本题主要考查同底数幂相乘的计算，底数不变，指数相加；同时涉及到多重负号的化简，看“”号的个数决定运算结果的符号，奇负偶正．
例5．如果，且，试求m、n的值．
【难度】★★
【答案】．
【解析】根据同底数幂的计算法则，可得，解方程组得．
【总结】考查同底数幂相乘的运算法则．
例6．求值：
（1）已知：，求的值．
（2）已知：，求的值．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由同底数幂乘法法则，可得，解得，；
（2），可得，解得．
【总结】本题主要考查同底数幂相乘的运算法则，注意一定要让底数相等的前提下保证幂相等．
考点二：幂的乘方
例1．计算下列各式，结果用幂的形式表示．
（1）；（2）；（3）；（4）；
（5）；（6）；（7）；（8）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；
（8）．
【解析】幂的乘方，底数不变，指数相乘．
【总结】本题主要考查幂的乘方的运算．
例2．当正整数分别满足什么条件时，？
【难度】★
【答案】为偶数时，；为奇数时，．
【解析】幂的运算中，奇负偶正．
例3．已知：（为正整数），求的值．
【难度】★★
【答案】．
【解析】原式=．
【总结】本题主要考查幂的乘方的运算，以及运算中整体思想的应用．
例4．计算
（1）；
（2）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）0
【解析】（1）原式；（2）原式．
【总结】本题考查幂的乘方和同底数幂的乘法运算．
例5．计算：
（1）；
（2）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）0．
【解析】（1）原式；
（2）原式．
【总结】本题考查幂的乘方和同底数幂的乘法运算．
例6．已知求的值．
【难度】★★
【答案】108．
【解析】．
【总结】本题注意考查幂的乘方运算中整体思想的应用
考点三：积的乘方
例1．计算：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】本题考查积的乘方的运算法则，把积中的每个因式分别乘方，注意正负．
例2．计算：
（1）；（2）；（3）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】本题考查积的乘方的运算法则，把积中的每个因式分别乘方，注意正负．
例3．计算：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）；（3）0；（4）．
【解析】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式．
【总结】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方综合运算，熟练运算法则．
例4．计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式．
【总结】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方综合运算，熟练运算法则．
例5．用简便方法计算：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【难度】★★
【答案】（1）9；（2）；（3）1；（4）．
【解析】（1）原式=；
原式=；
原式=；
原式=．
【总结】主要根据积的乘方逆运算法则和同底数幂的乘法，将底数变成易于计算的数字．
例6．简便计算：
（1）；（2）；
（3）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）1．
【解析】（1）原式=；
原式=；
原式=．
【总结】考查积的乘方简便运算，把握好乘方的定义，同时注意一定指数相同时才能进行积的乘方的逆运算．
【过关检测】
一、单选题
1．（2019·上海市进才中学北校七年级月考）下列各式中，不能用同底数幂的乘法法则化简的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据幂的运算公式特点即可判断.
【详解】A. 不能用同底数幂的乘法法则化简；
B. =，能用同底数幂的乘法法则化简；
C. =，能用同底数幂的乘法法则化简；
D. =，能用同底数幂的乘法法则化简；
故选A.
【点睛】此题主要考查幂的运算公式，解题的关键是熟知同底数幂的运算公式特点.
2．（2019·上海外国语大学尚阳外国语学校七年级月考）的运算结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据幂的乘方公式先对进行计算，再利用同底数幂的乘法计算即可.
【详解】解：==.
故选B.
【点睛】本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方公式，熟记公式并会运用是解决此题的关键.
3．（2018·上海市闵行区七宝第三中学七年级期中）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据幂的乘方，同底数幂相乘，同类项的加减法进行分析判断.
【详解】A. 根据， 可知，，正确.
B. 根据 ，可知，，错误.
C. 不能相加减，错误.
D. ，同类项相加减，只把系数相加减，错误.
故答案为：A.
【点睛】本题涉及到的知识点有，，，，同类项相加减，只把系数相加减，同类项指的是字母相同字母的次数也相同的单项式.
4．（2019·上海）等于（ ）．
A．；B．；C．；D．．
【答案】D
【分析】根据幂的乘方法则进行计算即可.
【详解】解：
故选：D
【点睛】本题考查了幂的乘方，正确理解幂的乘方法则是解题的关键.
5．（2019·上海外国语大学尚阳外国语学校）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据幂的乘方运算法则计算即可.
【详解】.
故选A.
【点睛】本题考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方法则是解答本题的关键.幂的乘方底数不变，指数相乘，即（m，n为正整数）.
6．（2020·上海七年级期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据积的乘方公式判断即可．
【详解】解：，故A选项错误；
，故B选项正确；
，故C选项错误；
，故D选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查积的乘方运算．熟记积的乘方公式是解题关键．
7．（2020·上海市蒙山中学七年级期中）下列运算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】A、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；
B、原式不能合并，错误；
C、原式利用积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；
D、原式合并得到结果，即可做出判断．
【详解】解：A、原式=，正确；
B、原式不能合并，错误；
C、原式=-8a3，错误；
D、原式=2a，错误，
故选：A．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
8．（2020·上海七年级期末）代数式的计算结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用幂的乘方与积的乘方的性质求解即可求得答案．
【详解】（2a2）3＝8a6．
故选：D．
【点睛】此题考查了幂的乘方与积的乘方的性质．此题比较简单，注意掌握指数的变化是解此题的关键．
9．（2019·上海市闵行区莘松中学七年级期中）下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据合并同类项、积的乘方和同底数幂乘法进行计算，再分析即可得到答案.
【详解】A. ，故A错误；
B. ，故B正确；
C. ，故C错误；
D. ，故D错误.故选择B.
【点睛】本题考查合并同类项、积的乘方和同底数幂乘法，解题的关键是掌握合并同类项、积的乘方和同底数幂乘法的运算法则.
10．（2019·上海市闵行区明星学校）下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分别根据幂的乘方法则，积的乘方法则，合并同类项法则逐一判断即可．
【详解】解：A. ，故此选项错误，不合题意；
B.，故此选项错误，不合题意；
C.，正确；
D.，故此选项错误，不合题意．
故选C ．
【点睛】本题考查幂的乘方与积的乘方，合并同类项，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．
11．（2019·上海市天山第二中学七年级期中）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据积的乘方运算和幂的乘方运算计算即可得出答案.
【详解】，故答案选择A.
【点睛】本题考查的是幂的运算，需要熟练掌握幂的运算公式.
12．（2019·上海市实验学校西校）若与互为倒数，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由a与b互为倒数，得ab=1，然后逆用积的乘方公式即可求解．
【详解】解：∵a与b互为倒数，
∴ab=1，
则原式===•=．
故选：B．
【点睛】本题考查倒数的定义以及积的乘方公式，正确对所求的式子进行变形是关键．
13．（2019·上海市川沙中学南校七年级月考）计算（﹣x）3•（﹣x）2•（﹣x8）的结果是（ ）
A．x13B．﹣x13C．x40D．x48
【答案】A
【分析】直接利用积的乘方运算法则将原式化简，进而利用同底数幂的乘法运算法则求出答案.
【详解】解：(-x)3(-x)2(-x8)，
=(-x3)x2(-x8)，
=x3+2+8，
=x13.
故选A.
【点睛】本题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键.
14．（2019·上海七年级期中）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a2=a4B．C．D．
【答案】C
【分析】根据整式加减法、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方计算.
【详解】A选项：整式加减法，合并同类项，计算结果应该是，本选项错误；
B选项：同底数乘法，底数不变，指数相加，计算结果应该是，本选项错误；
C选项：幂的乘方，底数不变，指数相乘，本选项正确；
D选项：积的乘方，先把积中的每一个乘数分别乘方，再把所得的幂相乘.
故选：C.
【点睛】本题考查了整式加减法、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方计算，关键要能够根据题目特点，选择合适法则进行计算.
15．（2019·上海七年级期末）下列运算正确的是（ ）
A．2a+3b=5abB．（3a3）2=6a6C．a6÷a2=a3D．a2a3=a5
【答案】D
【分析】根据整式的运算法则逐项分析可得解.
【详解】A.2a+3b不是同类项，不能合并，此选项错误；
B.(3a3)2=9a6，此选项错误；
C.a6÷a2=a4，此选项错误；
D.a2•a3=a5，此选项正确，
故选D．
二、填空题
16．（2020·上海七年级期末）计算：________．
【答案】
【分析】根据同底数幂的乘法法则解答即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，属于基础题目，熟练掌握运算法则是解题的关键．
17．（2020·上海市蒙山中学七年级期中）计算：_________．
【答案】
【分析】根据同底数幂相乘的运算法则进行运算．
【详解】解：a6，
故答案为：．
【点睛】本题考查了同底数幂相乘，掌握运算法则是解题关键．
18．（2019·上海市久隆模范中学七年级期中）计算___________。
【答案】0
【分析】根据同底数幂乘法、幂的乘方以及合并同类项法则进行计算即可.
【详解】原式=.
【点睛】本题考查同底数幂乘法、幂的乘方以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解题的关键.
19．（2019·上海市罗阳中学）已知，则______________.
【答案】128
【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则进行计算即可．
【详解】∵，
∴32m＋3n＝（3m）2•（3n）3＝42•23＝128．
故填：128.
【点睛】本题考查的是幂的乘方与积的乘方法则，熟知积的乘方法则是把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘是解答此题的关键．
20．（2019·上海市实验学校西校）若，则a3m+n=_______
【答案】32
【分析】根据幂的乘方和同底数幂的乘法的逆运算计算即可得出答案.
【详解】，故答案为：32.
【点睛】本题考查的是幂的运算，需要熟练掌握幂的运算公式.
21．（2019·上海七年级期末）计算：=___________．
【答案】
【详解】解：原式=
故答案为：．
【点睛】此题考查幂的乘方，掌握运算法则正确计算是解题关键．
22．（2020·上海市进才中学北校七年级月考）计算：____________．
【答案】－5
【分析】根据幂的乘方与积的乘方计算即可．
【详解】解：
故答案为：-5．
【点睛】此题考查幂的乘方与积的乘方，属于基础计算题型．
23．（2020·上海七年级期末）如果，，那么__________．
【答案】324
【分析】首先根据幂的乘方以及积的乘方将原式变形，再代入计算得出答案．
【详解】解：∵，，
∴==324．
故答案为：324．
【点睛】本题考查幂的乘方和积的乘方，掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则是解题的关键．
三、解答题
24．（2018·上海市闵行区七宝第三中学七年级期中）
【答案】
【分析】先进行运算，再运算
因为是偶次方，则，最后计算，同底数幂相乘底数不变，指数相加.
【详解】
故答案为：
【点睛】本题考查了幂的乘方与同底数幂相乘，需要清楚的是幂的乘方,底数不变指数相乘， ；同底数幂相乘，底数不变，指数相加，.
25．（2020·上海七年级月考）计算：
【答案】
【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方计算.
【详解】原式==
【点睛】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方，注意法则的运用和符号的处理.
26．（2019·上海）计算：
【答案】
【分析】根据幂的运算法则先化简再合并同类项.
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘法、合并同类项，熟练掌握这三点的运算方法是解题的关键.
27．（2020·上海第二工业大学附属龚路中学七年级期中）计算：
【答案】
【分析】此题在解答时直接利用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则分别进行运算，再合并同类项即可．
【详解】解：原式．
【点睛】此题主要考查整式的混合运算，正确运用乘法公式是解题的关键．
28．（2019·上海市民办协和双语学校七年级月考）计算：
【答案】
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则、幂的乘方和积的乘方运算法则分别化简得出答案．
【详解】解：
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法运算、幂的乘方和积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
29．（2018·上海七年级期中）计算：3a3•2a5-（a2）4
【答案】a8
【分析】直接利用积的乘方运算法则以及单项式乘以单项式运算法则计算得出答案．
【详解】解：原式=6a8-a8=a8．
【点睛】此题主要考查了积的乘方运算以及单项式乘以单项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．