第14讲 十字相乘法-【暑假辅导】六升七暑假数学精品讲义（沪教版）

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第14讲 十字相乘法
【学习目标】
十字相乘法是在学生学习了多项式乘法、整式乘法、分解质因数、整式加减法、提取公因式和运用乘法公式对多项式进行分解因式等知识的基础上，在学生已经掌握了运用完全平方公式进行分解因式之后，自然过渡到具有一般形式的二次三项式的分解因式，是从特殊到一般的认知规律的典型范例．首先，这种分解因式的方法在数学学习中具有较强的实用性，一是对它的学习和研究，不仅给出了一般的二次三项式的分解因式方法，能直接运用于某些形如这类二次三项式的分解因式，其次，还间接运用于解一元二次方程和确定二次函数解析式上，为以后的求解一元二次方程、确定二次函数解析式等内容奠定了基础，十字相乘法在初中阶段的教学中具有十分重要的地位．
【基础知识】
十字相乘法：如果二次三项式中的常数项能分解成两个因式、的积，而且一次项系数又恰好是，那么就可以进行如下的分解因式，
即：要将二次三项式分解因式，就需要找到两个数、，使它们的积等于常数项，和等于一次项系数, 满足这两个条件便可以进行如下分解因式，
即：．由于把中的分解成两个因数有多种情况，怎样才能找到两个合适的数，通常要经过多次的尝试才能确定采用哪种情况来进行分解因式．
【考点剖析】
例1．如果，那么p等于（）．
A．abB．C．D．
【难度】★
【答案】D
【解析】．
【总结】利用十字相乘法以及待定系数．
例2．不能用十字相乘法分解的是（）
A．B．C．D．
【难度】★
【答案】D
【解析】根据系数非负，无法把二次项系数和常数项分解之后其之和等于1，判断出D．
【总结】直接利用十字相乘法以及待定系数．
例3．分解因式：（1）；（2）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）．
【解析】直接十字相乘即可．
【总结】直接利用十字相乘，注意如何分解二次项系数和常数项去凑一次项系数．
例4．分解因式：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】直接十字相乘即可．
【总结】直接利用十字相乘，注意如何分解二次项系数和常数项去凑一次项系数．
例5．为下列各数时，将关于的多项式分解因式．
（1）；（2）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）；
（2）．
【总结】直接利用十字相乘，注意如何分解二次项系数和常数项去凑一次项系数．
例6．分解因式：
（1）；（2）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）原式=；
（2）原式=．
【总结】直接利用十字相乘，注意如何分解二次项系数和常数项去凑一次项系数．
例7．分解因式：
（1）；（2）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】直接十字相乘即可．
【总结】直接利用十字相乘法分解，注意如何分解二次项系数和常数项去凑一次项系数．
例8．分解因式：
（1）；（2）．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）．
【解析】（1）原式；
（2）原式．
【总结】本题需要先提取公因式后再利用十字相乘法分解，一般有公因式时要先提取公因式．
例9．分解因式：
（1）；（2）．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）．
【解析】（1）原式；
（2）原式
．
【总结】本题需要先提取公因式后再利用十字相乘法分解，一般有公因式时要先提取公因式，另外注意因式分解一定要分解到不能分解为止．
例10．分解因式：．
【难度】★★
【答案】．
【解析】原式．
【总结】本题主要是利用提取公因式法和公式法分解因式，注意因式分解一定要分解到不能分解为止．
例11．分解因式：．
【难度】★★
【答案】．
【解析】原式．
【总结】直接利用十字相乘，注意带字母系数之间的十字相乘方法仍旧要和数字相同．
例12．分解因式：
（1）；（2）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）原式；
（2）原式．
【总结】利用整体法进行十字相乘，注意因式分解要彻底．
例13．分解因式：
（1）；
（2）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】直接利用十字相乘法，其中把括号内与看作整体即可．
【总结】利用整体法进行十字相乘，注意因式分解要彻底．
例14．分解因式：
（1）；（2）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）原式；
（2）原式
．
【总结】先平方差公式的运用，再进行十字相乘，注意因式分解要彻底．
例15．分解因式：
（1）；（2）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）原式；
（2）原式．
【总结】利用整体法进行十字相乘，注意因式分解要彻底．
例16．分解因式：
（1）；（2）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）原式；
（2）原式．
【总结】利用整体法进行十字相乘，注意因式分解要彻底．
师生总结
十字相乘法的基本步骤和方法是什么？
【过关检测】
一、单选题
1．（2019·上海市久隆模范中学七年级期中）下列因式分解中正确的是（ ）
A．4x²-9y²=（4x+9y）（4x-9y）B．a²-a-2=（a-2）（a-1）
C．a²（a²-b）+b（a²-b）=a4-b²D．a²-
【答案】D
【分析】根据提公因式法、公式法和十字相乘法，对各选项分析判断即可．
【详解】A. 利用平方差公式：，本选项错误；
B. 利用十字相乘法：，本选项错误；
C. 利用提公因式法：，本选项错误；
D. 利用完全平方公式：，本选项正确.
故选：D.
【点睛】本题考查因式分解，解题关键在于熟练掌握提公因式法、公式法和十字相乘法.
2．（2019·上海市嘉定区华江中学七年级月考）下列各多项式中因式分解结果为（2-x）（3+x）的多项式为（ ）
A．6+x-x2B．6-x+x2C．6+x+x2D．6-x-x2
【答案】D
【分析】把（2−x）（3＋x）展开即可得到答案．
【详解】解：（2−x）（3＋x）＝6+2x-3x-x2＝6−x−x2，
故选：D．
【点睛】本题考查因式分解与整式乘法，注意因式分解的实质是整式乘法的逆过程．
3．（2020·上海市川沙中学南校七年级期末）要使能在有理数的范围内因式分解，则整数的值有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】根据把-6分解成两个因数的积，m等于这两个因数的和，分别分析得出即可．
【详解】解：∵-1×6=-6，-6×1=-6，-2×3=-6，-3×2=-6，
∴m=-1+6=5或m=-6+1=-5或m=-2+3=1或m=-3+2=-1，
∴整数m的值有4个，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了十字相乘法分解因式，对常数16的正确分解是解题的关键．
4．（2021·上海）已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘，积为，乙与丙相乘，积为，则甲与丙相加的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先将两个代数式进行因式分解，从而得出甲、乙、丙三个代数式，进而得出答案．
【详解】解：∵
∴甲为：x+7，乙为：x－7，丙为：x-2，
∴甲+丙=（x+7）+（x-2）=2x+5，
故选A．
【点睛】本题主要考查的就是因式分解的应用，属于基础题型．
二、填空题
5．（2019·上海七年级期中）因式分解：=___________．
【答案】
【分析】直接利用十字相乘法分解即可．
【详解】解：
=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了十字相乘发分解因式，是基础题．
6．（2019·上海市民办尚德实验学校七年级月考）因式分解：x2+x-6＝________________.
【答案】(x+3)(x-2)
【分析】把一个多项式在一个范围(如实数范围内分解，即所有项均为实数)化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。常见的方法有：提公因式法、运用公式法、分组分解法、拆补项法、配方法、换元法、待定系数法、十字相乘法等.
【详解】
解：
故答案是：.
【点睛】此题主要考查了因式分解，能多项式的特点选择合适的方法因式分解是解题关键．
7．（2020·上海七年级期末）分解因式：__________．
【答案】
【分析】先提取公因式x，再利用十字相乘法分解因式即可．
【详解】解：
=
=
故答案为：．
【点睛】本题考查用提公因式法和十字相乘法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
8．（2019·上海市风华中学七年级期中）因式分解：a²+7a-8=__________.
【答案】(a-1)(a+8)
【分析】运用十字相乘法分解因式，这里-8=（-1）×8，7=（-1）+8
【详解】解：a²+7a-8
=a2+(-1+8)a+8×(-1)
=(a-1)(a+8)
故答案为：(a-1)(a+8)
【点睛】本题考查用十字相乘法分解因式，解题时需要把常数项分解为两个因数相乘的形式，并使它们的和等于一次项的系数.
9．（2019·上海市吴泾中学七年级月考）分解因式：=____________________.
【答案】
【分析】根据所给多项式的系数特点，可以用十字相乘法进行因式分解．
【详解】解：．
【点睛】本题考查十字相乘法分解因式，十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数．
10．（2019·上海市嘉定区华江中学七年级月考）已知关于x的多项式x2+kx+6能分解成两个一次多项式的积，那么整数k的值为__（写出一个即可）
【答案】7（答案不唯一）
【分析】根据十字相乘法进行求解即可.
【详解】解：∵6＝1×6，
∴k的值可以是1+6＝7，即x2+7x+6=(x+1)(x+6)，
故答案为：7（答案不唯一）.
【点睛】本题考查了十字相乘法的应用，熟练掌握十字相乘法是解题关键.
11．（2019·上海市闵行区七宝第二中学七年级月考）分解因式：=___________.
【答案】（x+9）（x-2）.
【分析】用十字相乘法分解即可得到答案.
【详解】=（x+9）（x-2），
故填：（x+9）（x-2）.
【点睛】此题考察因式分解，根据多项式的特点选择恰当的分解方法是解题关键，此题适合十字相乘法分解.
12．（2019·上海民办张江集团学校七年级期中）分解因式______________
【答案】
【分析】利用十字相乘法分解即可得．
【详解】5x2﹣28x+36=(5x﹣18)(x﹣2)．
故答案为：(5x﹣18)(x﹣2)．
【点睛】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，解答本题的关键是掌握十字相乘法．
13．（2019·上海市梅园中学七年级月考）分解因式________________．
【答案】
【分析】把-4写成-4×1，又-4+1=-3，所以利用十字相乘法分解因式即可．
【详解】∵-4=-4×1，又-4+1=-3
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．
14．（2020·上海七年级期末）分解因式：________.
【答案】
【分析】利用十字相乘法分解因式即可.
【详解】解：原式=.
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握各种因式分解方法是解题的关键.
15．（2021·上海）分解因式：_____．
【答案】
【分析】原式利用十字相乘法分解即可．
【详解】原式=（x-2）（x+5），
故答案为：（x-2）（x+5）
【点睛】此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．
三、解答题
16．（2020·上海市中国中学七年级月考）因式分解：
【答案】-x+2.
【分析】先提公因式，再根据十字相乘法进行因式分解.
【详解】解：原式=
=x(x+1)(x-6)
【点睛】本题考查了整式的因式分解，选择适当的方法进行因式分解是解题的关键.
17．（2019·上海市民办新竹园中学）分解因式：
【答案】(a-1)2(a-4)(a+2)
【分析】先用十字相乘法分解，然后再用十字相乘法和完全平方公式二次分解.
【详解】原式=(a2-2a+1)(a2-2a-8)
=(a-1)2(a-4)(a+2).
【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解.因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法. 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.
18．（2019·上海市培佳双语学校）3y-3xy-6y
【答案】
【分析】先提取公因式3y，然后利用十字相乘法因式分解即可
【详解】原式=
=
【点睛】本题主要考查了提公因式与十字相乘法因式分解，熟练掌握二者方法的使用是关键
19．（2019·上海市培佳双语学校）-7x-60
【答案】
【分析】利用十字相乘法进行因式分解即可
【详解】
原式=
=
【点睛】本题主要考查了十字相乘法进行因式分解，熟练掌握该方法是关键
20．（2020·上海市民办立达中学七年级期末）因式分解：
【答案】
【分析】先将式子写成两个因式相乘的形式，发现有一个因式符合平方差公式，继续用平方差公式分解即可.
【详解】原式=
【点睛】本题主要考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键.
21．（2019·上海市延安初级中学七年级期末）
【答案】
【分析】先用十字相乘法分解，然后再用平方差公式分解即可．
【详解】原式=
=．
【点睛】本题考查了运用公式法和十字相乘法分解因式，注意分解要彻底．
22．（2019·上海）因式分解：
【答案】
【分析】根据十字相乘法因式分解即可.
【详解】解：原式.
【点睛】本题是对因式分解的考查，熟练掌握因式分解的十字相乘法是解决本题的关键.
23．（2020·上海市延安初级中学七年级期末）
【答案】
【分析】利用十字相乘法和公式法分解因式得出答案即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查十字相乘法、公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．
24．（2020·上海市澧溪中学七年级月考）因式分解：
【答案】
【分析】根据十字相乘法和完全平方公式进行分解即可
【详解】解：原式
【点睛】本题考查了因式分解----十字相乘法和公式法，借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法．
25．（2020·上海七年级期末）分解因式：
【答案】
【分析】利用十字相乘法因式分解即可．
【详解】解：
=
=．
【点睛】此题考查的是因式分解，掌握利用十字相乘法因式分解是解题关键，需要注意的是因式分解要彻底．
26．（2021·上海）分解因式：．
【答案】
【分析】先利用十字相乘法分解，再利用平方差公式进行分解即可．
【详解】解：原式
故答案为：（x-1)(x+1)(x-3)(x+3)
【点睛】本题考查了因式分解，掌握十字相乘法和平方差公式是解题关键．