2023-2024学年上海市青浦区朱家角中学高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市青浦区朱家角中学高二（上）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知m，n是异面直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β，则下列说法正确的是( )
A. 若m//β，则n/​/αB. 若α⊥β，则m⊥n
C. 若m⊥β，则n⊥αD. 若m⊥β，则α⊥β
2.若椭圆Γ的两个顶点和焦点都在圆O：x2+y2=4上，如图所示，则下列结论正确的是( )
A. 椭圆Γ的方程是x24+y22=1
B. 过椭圆Γ上的点作圆O的切线，一定有两条
C. 圆O上的点与椭圆Γ上的点的距离的最大值是2( 2+1)
D. 直线x+y+2 2=0与椭圆Γ有交点，与圆O无交点
3.等比数列{an}的首项a1=164，公比为q，数列{bn}满足bn=lg0.5an(n是正整数)，若当且仅当n=4时，{bn}的前n项和Bn取得最大值，则q取值范围是( )
A. (3,2 3)B. (3,4)C. (2 2,4)D. (2 2,3 2)
4.关于曲线M：x12+y12=1，有下述两个结论：①曲线M上的点到坐标原点的距离最小值是 22；②曲线M与坐标轴围成的图形的面积不大于12，则下列说法正确的是( )
A. ①、②都正确B. ①正确②错误C. ①错误②正确D. ①、②都错误
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
5.若直线l：x=tan(−π6)，则直线l的倾斜角是______
6.已知空间向量a=(2,4,3),b=(4,8,m)，a/​/b，则实数m= ______ ．
7.已知首项为2的等比数列{bn}的公比为13，则i=1+∞bi= ______ ．
8.若椭圆x2a2+y2=1(a>1)长轴长为4，则其离心率为______ ．
9.设等比数列{an}的公比为2，前n项和为Sn，若S4=2S2+1，则a3= ______ ．
10.已知圆锥的底面周长为4π，母线长为3，则该圆锥的侧面积为______ ．
11.若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为 2，则该双曲线的渐近线方程为______ ．
12.已知某圆台上底面和下底面的半径分别为1和2，母线长为3，则该圆台的高为______ ．
13.已知f(x)=x2−8x+10，x∈R，数列{an}是公差为1的等差数列，若f(a1)+f(a2)+f(a3)的值最小，则a1= ______ ．
14.用易拉罐包装的饮料是超市和自动售卖机里的常见商品.如图，是某品牌的易拉罐包装的饮料.在满足容积要求的情况下，饮料生产商总希望包装材料的成本最低，也就是易拉罐本身的质量最小.某数学兴趣小组对此想法通过数学建模进行验证.为了建立数学模型，他们提出以下3个假设：
(1)易拉罐容积相同；
(2)易拉罐是一个上下封闭的空心圆柱体；
(3)易拉罐的罐顶、罐体和罐底的厚度和材质都相同．
你认为以此3个假设所建立的数学模型与实际情况相符吗？若相符，请在以下横线上填写“相符”；若不相符，请选择其中的一个假设给出你的修改意见，并将修改意见填入横线______ ．
15.已知椭圆Γ：y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为 22，其上焦点F与抛物线K：x2=4y的焦点重合.若过点F的直线交椭圆Γ于点A、B，过点F与直线AB垂直的直线EG交抛物线K于点E、G(如图2所示)，则四边形AEBG面积的最小值为______ ．
16.设a1，a2，a3，…，an是首项为3且公比为3 3的等比数列，则满足不等式lg3a1−lg3a2+lg3a3−lg3a4+…+(−1)n+1lg3an>18的最小正整数n的值为______ ．
三、解答题：本题共5小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是60cm．
(1)求石凳的体积；
(2)为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？
18.(本小题8分)
已知等比数列{an}是严格增数列，其第3、4、5项的乘积为1000，并且这三项分别乘以4、3、2后，所得三个数依次成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若对任意的正整数n，数列{bn}的前n项和Sn=3(1−2n)，向量(an,bn)的模为tn，求数列{tn}的前n项和．
19.(本小题10分)
已知点M(m,4)在抛物线Γ：x2=2py(p>0)上，点F为Γ的焦点，且|MF|=5.过点F的直线l与Γ及圆x2+(y−1)2=1依次相交于点A，B，C，D，如图．
(1)求抛物线Γ的方程及点M的坐标；
(2)证明：|AC|⋅|BD|为定值；
20.(本小题14分)
已知双曲线Γ：x23−y212=1，A(2,2)是双曲线Γ上一点．
(1)若椭圆C以双曲线Γ的顶点为焦点，长轴长为4 3，求椭圆C的标准方程；
(2)设P是第一象限中双曲线Γ渐近线上一点，Q是双曲线Γ上一点，且PA=AQ，求△POQ的面积S(O为坐标原点)．
21.(本小题16分)
已知椭圆Γ：x24+y22=1，F1、F2为Γ的左、右焦点，点A在Γ上，直线l与圆C：x2+y2=2相切．
(1)求△AF1F2的周长；
(2)若直线l经过Γ的右顶点，求直线l的方程；
(3)设点D在直线y=2上，O为原点，若OA⊥OD，求证：直线AD与圆C相切．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：对于A，若m//β，可知n与α的位置关系不确定，故A错误；
对于B，若α⊥β，且m与n异面，可知m与n可能垂直，也可能不垂直，故B错误；
对于C，若m⊥β，可知n与α的位置关系不确定，故C错误；
对于D，若m⊥β，由直线与平面垂直的判定可得α⊥β，故D正确．
故选：D．
由空间中直线与直线、直线与平面位置关系逐一分析四个选项得答案．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：根据题意可得b=c=2，∴a=2 2，
∴椭圆Γ的方程是x28+y24=1，∴A选项错误；
当过椭圆的短轴上的顶点作圆O的切线，只有一条，∴B选项错误；
根据椭圆与圆的几何性质可得：
圆O上的点与椭圆Γ上的点的距离的最大值是a+c=2 2+2，∴C选项正确；
∵直线x+y+2 2=0的横纵截距都为−2 2=−a，
∴圆心O到直线的距离为2 2× 22=2=r，
∴线x+y+2 2=0与椭圆Γ有交点，与圆O相切，∴D选项错误．
故选：C．
根据椭圆的几何性质即可分别求解．
本题考查椭圆的几何性质，属中档题．
3.【答案】C
【解析】解：bn=lg0.5an=lg0.5(a1⋅qn−1)=lg0.5164+lg0.5qn−1=6+(n−1)lg0.5q=nlg0.5q+6−lg0.5q，
所以{bn}是以b1=6为首项，d=lg0.5q为公差的等差数列，
若当且仅当n=4时，{bn}的前n项和Bn取得最大值，
所以b4>0b5<0⇒6+3lg0.5q>06+4lg0.5q<0⇒lg0.5q>−2lg0.5q<−32⇒lg0.5q>lg0.50.5−2lg0.5q⇒0．5−32故选：C．
求出{bn}的通项公式，分析出其为等差数列，然后由条件得出b4>0b5<0，代入通项公式即可求解．
本题考查等差数列的通项公式和数列的求和，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
4.【答案】C
【解析】解：对于①设曲线上的点为(x,y)，
由x12+y12=1，可知x≥0，y≥0，x⋅y≠0，平方可得，x+y+2 xy=1．
∵x+y≥2 xy，∴x+y≥12．
又∵ x2+y2≥ 22(x+y)≥ 24，当且仅当x=y=14时等号成立，故错误；
对于②，由x12+y12=1知，x，y∈[0,1]，y12=1−x12，两边平方可得y=1+x−2 x．
∵x≤ x，∴y=1+x−2 x≤1−x，即曲线C在直线y=1−x的下方，因此所围图形的面积不大于12，故正确．
故选：C．
设出点的坐标，通过平方，结合基本不等式，转化求解曲线M上的点到坐标原点的距离最小值，判断①的正误．判断曲线C在直线y=1−x的下方，然后判断面积，判断②的正误．
本题考查曲线与方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，是难题．
5.【答案】π2
【解析】解：因为tan(−π6)=−tanπ6=− 33，所以直线l：x=tan(−π6)即x=− 33，
根据直线l的方程，可知直线l与x轴垂直，故直线l的倾斜角是π2．
故答案为：π2．
根据题意算出tan(−π6)的值，可得直线l的方程为x=− 33，再根据倾斜角的概念算出答案．
本题主要考查直线的方程、直线的斜率与倾斜角等知识，属于基础题．
6.【答案】6
【解析】解：由于向量a=(2,4,3),b=(4,8,m)，a/​/b，
故24=3m，
故m=6．
故答案为：6．
直接利用向量共线的充要条件求出结果．
本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量共线的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
7.【答案】3.
【解析】解：由题意，可知等比数列{bn}是无穷递缩等比数列，
故i=1+∞bi=21−13=3．
故答案为：3．
根据题意判断出等比数列{bn}是无穷递缩等比数列，然后根据无穷递缩等比数列的求和公式进行计算即可得到结果．
本题主要考查无穷递缩等比数列的求和问题，属基础题．
8.【答案】 32
【解析】解：椭圆x2a2+y2=1(a>1)长轴长为4，即2a=4，a=2，⇒a2=4⇒c= a2−1= 3，
故e=ca= 32．
故答案为： 32．
根据长轴长确定a=2，计算c= 3，得到离心率．
本题主要考查椭圆的性质，考查计算能力，属于基础题．
9.【答案】49
【解析】解：由题意，可得S4=a1(1−24)1−2=15a1，
S2=a1+a2=a1+2a1=3a1，
∵S4=2S2+1，
∴15a1=2⋅3a1+1，
解得a1=19，
∴a3=19⋅22=49．
故答案为：49．
先根据等比数列的求和公式写出S4与S2关于首项a1的表达式，再代入题干已知条件列出关于首项a1的方程，解出a1的值，最后根据等比数列的通项公式即可计算出a3的值．
本题主要考查等比数列的基本运算．考查了方程思想，转化与化归思想，等比数列的通项公式与求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属基础题．
10.【答案】6π
【解析】解：设圆锥的底面半径为r，由圆锥的底面周长为4π，可得2πr=4π，
解得r=2，
又因为母线长为3，所以该圆锥的侧面积为πrl=π×2×3=6π．
故答案为：6π．
求出圆锥的底面半径，根据圆锥的侧面积公式，求解即可．
本题考查了圆锥的结构特征与应用问题，是基础题．
11.【答案】y=±x
【解析】解：已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为 2，
则ca= 2，即 a2+b2a= 2，
整理得b2=a2，即ba=1，
∴该双曲线的渐近线方程为y=±x．
故答案为：y=±x．
由已知列式求得ba的值，则答案可求．
本题考查双曲线的性质，考查双曲线的渐近线方程的求法，属基础题．
12.【答案】2 2
【解析】解：根据题意，作出圆台的图形，如图所示：
圆台上下底面的半径分别为1和2，母线长为3，
则圆台的高h= 9−1=2 2．
故答案为：2 2．
根据题意，作出圆台的图形，根据勾股定理求解圆台的高，即可得答案．
本题考查圆台的结构特征，注意计算圆台的高，属于基础题．
13.【答案】3
【解析】解：∵数列{an}是公差为1的等差数列，可设：an=a1+n−1．
∴f(a1)+f(a2)+f(a3)=f(a1)+f(a1+1)+f(a1+2)=(a12−8a1+10)+[(a1+1)2−8(a1+1)+10]+[(a1+2)2−8(a1+2)+10]=3a12−18a1+11，
∴当a1=−−182×3=3时，f(a1)+f(a2)+f(a3)的值最小．
故答案为：3．
结合等差数列的通项公式，转化为二次函数的最值问题可解．
本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．
14.【答案】假设2中，易拉罐的顶部类似于圆台；假设3中，易拉罐的罐顶和罐底材质比罐体的材质厚
【解析】解：由题意知，某品牌的易拉罐包装的饮料，在满足容积要求的情况下，饮料生产商总希望包装材料的成本最低，也就是易拉罐本身的质量最小，
所以假设(2)不合理，应为“易拉罐的顶部类似于圆台”；
假设(3)不合理，应为“易拉罐的罐顶和罐底材质比罐体的材质厚”．
故修改意见为：在假设(2)中，易拉罐的顶部应类似于圆台；在假设(3)中，易拉罐的罐顶和罐底材质应比罐体的材质厚．
根据题意，结合易拉罐的几何结构特征，以及要求易拉罐的质量最小，结合假设，即可求解．
本题考查了数学建模和几何体结构特征的辨析，属于中档题．
15.【答案】4 2
【解析】解：由题意，得F(0,1)，即c=1，又ca= 22，所以a= 2，
由a2−b2=c2，得b2=1，所以椭圆的方程为y22+x2=1．
由题意可知，过点F的直线AB的斜率不为零，
当直线AB的斜率存在时，设直线AB方程为y=kx+1(k≠0)，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，E(x3,y3)，G(x4,y4)，
联立y=kx+1y22+x2=1，消去y得(2+k2)x2+2kx−1=0，易知Δ>0，
则x1+x2=−2k2+k2,x1x2=−12+k2，
所以|AB|= (1+k2)[(−2k2+k2)2−4(−12+k2)]=2 2(1+k2)2+k2，
抛物线K的方程为x2=4y，直线EG方程为y=−1kx+1，
联立y=−1kx+1x2=4y，消去y得kx2+4x−4k=0，则x3+x4=−4k,x3x4=−4，
所以|EG|= (1+1k2)[(−4k)2−4×(−4)]=4(1+1k2)，
所以SAEBG=12|AB|⋅|EG|=12×2 2(1+k2)2+k2×4(1+1k2)=4 2(1+k2)2k2(2+k2)
=4 2(1+k2)2(1+k2)2−1=4 21−1(1+k2)2．
因为1+k2>1，所以1(1+k2)2∈(0,1),1−1(1+k2)2∈(0,1),SAEBG=4 21−1(1+k2)2>4 2；
当直线AB的斜率不存在时，|AB|=2 2,|EG|=4，
所以SAEBG=12|AB|⋅|EG|=12×2 2×4=4 2，
综上，SAEBG≥4 2，所以四边形AEBG面积的最小值为4 2．
故答案为：4 2．
先由条件求出椭圆的方程，分直线AB斜率存在与否，联立直线AB与椭圆方程求得|AB|，联立直线EG与抛物线方程求得|EG|，得到四边形AEBG面积关于k的表达式，再求出四边形AEBG面积的最小值．
本题考查了椭圆的方程与性质，直线与椭圆的综合，考查了方程思想，分类讨论思想和转化思想，属中档题．
16.【答案】25
【解析】解：∵a1，a2，a3，…，an是首项为3且公比为3 3的等比数列，
∴an=3×(3 3)n−1=33n−12，n∈N*，
则lg3an=3n−12，
则lg3an−1−lg3an=−32，
当n为偶数时，则lg3a1−lg3a2+lg3a3−lg3a4+…+(−1)n+1lg3an=n2×(−32)=−3n4，
当n为奇数时，n−1为偶数，
则lg3a1−lg3a2+lg3a3−lg3a4+…+(−1)nlg3an−1=−3(n−1)4，
则lg3a1−lg3a2+lg3a3−lg3a4+…+(−1)n+1lg3an=−3(n−1)4+3n−12=3n+14，
∵−3(n−1)4<0，3n+14>0，
要满足不等式lg3a1−lg3a2+lg3a3−lg3a4+…+(−1)n+1lg3an>18，
则n为奇数，
此时lg3a1−lg3a2+lg3a3−lg3a4+…+(−1)n+1lg3an=3n+14>18，
解得n>713，
则满足不等式lg3a1−lg3a2+lg3a3−lg3a4+…+(−1)n+1lg3an>18的最小正整数n的值为25．
故答案为：25．
根据等比数列的定义写出其通项，结合对数得出lg3an=3n−12，即可根据并项求和法得出lg3a1−lg3a2+lg3a3−lg3a4+…+(−1)n+1lg3an的式子，再代入求解即可．
本题考查等比数列性质、对数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
17.【答案】解：(1)正方体的体积为603=216000cm3，
石凳的体积为正方体的体积减去8个正三棱锥的体积，其中一个小正三棱锥的三条侧棱边长为30cm，
故一个小正三棱锥的体积为13×12×302×30=4500cm3，
故石凳的体积为216000−4500×8=180000cm3；
(2)石凳的表面由6个正方形和8个正三角形组成，其中正方形和正三角形的边长均为30 2cm，
则石凳的表面积为6×(30 2)2+12×30 2×30 2sin60°×8=(3600 3+10800)cm2，
则粉刷一个石凳需要3600 3+1080010000×50=(54+18 3)元．
【解析】(1)计算出正方体的体积减去8个小正三棱锥的体积，得到答案；
(2)计算出石凳的表面积，从而求出粉刷一个石凳的钱数．
本题考查几何体的体积与表面积的求解，属中档题．
18.【答案】解：(1)设等比数列{an}的公比为q(q>1)，依题意得：a4q⋅a4⋅a4q=10004a4q+2a4q=6a4⇒a4=10q=2，
故an=a4qn−4=10⋅2n−4=5⋅2n−3．
(2)∵数列{bn}的前n项和Sn=3(1−2n)，向量(an,bn)的模为tn，
∴bn=S1,n=1Sn−Sn−1,n≥2=−3,n=1−3⋅2n−1,n≥2=−3⋅2n−1，
tn= an2+bn2= (5⋅2n−3)2+(−3⋅2n−1)2=13⋅2n−3=13⋅2n−2−13⋅2n−3，
∴Tn=t1+t2+t3+…+tn
=13(2−1−2−2)+13(20−2−1)+13(21−20)+…+13(2n−2−2n−3)
=13(2n−2−2−2)=134(2n−1)．
【解析】(1)利用等比数列的通项公式和等差数列的性质即可；
(2)利用数列的通项与前n项和的关系得bn，进而得tn，利用裂项法求数列{tn}的前n项和．
本题考查了等比数列的通项公式，数列的通项与前n项和的关系，裂项法求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)因为点M(m,4)在抛物线F上，点F为抛物线的焦点，且|MF|=5，
所以4+p2=5，
解得p=2，
则抛物线T的方程为x2=4y，
易知m2=4×4，
记得m=±4，
则M点坐标为(4,4)或(−4,4)；
(2)证明：易知直线l的斜率存在且不为零，
不妨设直线l的方程为y=kx+1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立y=kx+1x2=4y，消去y并整理得x2−4kx−4=0，
此时Δ>0，
由韦达定理得x1+x2=4k，x1x2=−4，
又F(0,1)，
易知|AF|=y1+1，|BF|=y2+1，
则|AC|⋅|BD|=(|AF|−1)(|BF|−1)=y1⋅y2=x12⋅x2216=(−4)216=1，
故|AC|⋅|BD|为定值，定值为1．
【解析】(1)由题意，根据抛物线的焦半径公式结合条件即得；
(2)先求出抛物线的焦点坐标，设直线AB的方程为y=kx+1，将直线AB的方程与抛物线方程联立，结合根与系数的关系以及抛物线的定义即可得证．
本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)因为双曲线的方程为x23−y212=1，所以双曲线的左右顶点为(± 3,0)，
设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，所以2a=4 3，c= 3，
所以a2=12，b2=a2−c2=9，
所以椭圆C的标准方程为x212+y29=1；
(2)因为双曲线的渐近线方程为y=±2x，不妨设P(t,2t)(t>0)，
又PA=AQ，所以xQ−2=2−tyQ−2=2−2t，所以Q(4−t,4−2t)，
又因为Q是双曲线F上一点，所以(4−t)23−(4−2t)212=1，解得t=94，
所以P(94,92)，Q(74,−12)，
所以|OP|= (94−0)2+(92−0)2=9 54，
又Q到直线OP：2x−y=0的距离d=|2×74−(−12)| 1+4=4 55，
所以S=12×d×|OP|=12×4 55×9 54=92．
【解析】(1)先确定双曲线的顶点坐标，由此求解出c的值，结合a的值可求a2，b2，则椭圆方程可求；
(2)先设出P点坐标，然后表示出Q点坐标，将Q点坐标代入双曲线可求P，Q坐标，计算出|OP|以及Q到OP的距离则S可求．
本题主要考查双曲线的性质，椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)设椭圆Γ的聚焦为2c，长轴长为2a，短轴长为2b，
则a2=4，b2=2，所以c2=2，
所以|AF1|+|AF2|=2a=4,|F1F2|=2c=2 2，
得△AF1F2的周长为4+2 2．
(2)椭圆Γ的右顶点为(2,0)，
所以可设直线l的方程为y=k(x−2)，
因为圆x2+y2=2与直线l相切，
所以|2k| 1+k2= 2，
解得k=± 22，直线l的方程为y=± 22(x−2)．
(3)证明：设A(x0,y0)，D(m,2)，
因为OA⊥OD，所以mx0+2y0=0，
当m=x0时，x02+2y0=0，
由x024+y022=1，得y0=−1,x0=± 2，
直线AD方程为x=± 2，与圆C：x2+y2=2相切，
当m≠x0时，直线AD的方程为y=y0−2x0−m(x−m)+2=y0−2x0−mx+2x0−my0x0−m，
则原点O到直线AD的距离为d=|2x0−my0| (x0−m)2+(y0−2)2，
因为m=−2y0x0,x024+y022=1，
所以d=|2x0+2y02x0| x02+y02+4y02x02+4=|4+x02x0| x04+8x02+162x02= 2．
此时直线AD与圆C：x2+y2=2相切．
【解析】(1)由椭圆性质即可求解；
(2)设出直线l的方程，利用圆心C到直线的距离等于半径，即可求出直线l的斜率，即可求出直线l的方程；
(3)设A(x0,y0)，D(m,2)，依题意表示出圆心C到直线AD的距离即可证明．
本题考查了椭圆的性质，考查了直线与圆相切的判定，考查了方程思想及转化思想，考查了数学运算能力，属于中档题．