2023-2024学年山西省运城市部分学校高一下学期5月联合测评数学试题（含答案）

这是一份2023-2024学年山西省运城市部分学校高一下学期5月联合测评数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z=1−i，则z+1z=( )
A. 32−12iB. 32+12iC. −32−12iD. −32+12i
2.已知a=1,m−2，b=m,3，若a//b，则实数m=( )
A. −1B. 1C. 3或−1D. 1或−1
3.若直线l/​/平面α，直线a⊂α，则( )
A. l//aB. l与a异面C. l与a相交D. l与a没有公共点
4.已知某正四棱锥的高为3，体积为64，则该正四棱锥的侧面积为( )
A. 48B. 64C. 80D. 144
5.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，下列命题正确的是( )
A. AB与HG相交B. AB与EF平行C. AB与CD相交D. EF与CD异面
6.已知三棱锥P−ABC中，PC⊥AB，PC=4，AB=4 3，E，F分别是PA，BC的中点，则EF与AB所成的角大小为( )
A. π6B. π3C. π4D. π2
7.已知三棱锥P−ABC的底面ABC是边长为1的等边三角形，PA⊥平面ABC且PA= 3，一只蚂蚁从▵ABC的中心沿表面爬至点P，则其爬过的路程最小值为( )
A. 36B. 393C. 4 33D. 373
8.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2BC=2CC1=4，E，F分别为BC，CC1的中点，点P在矩形BCC1B1内运动(包括边界)，若A1P//平面AEF，则动点P的轨迹长度为( )
A. 2B. 2C. 2 2D. 2 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若m⊥α，m//n，则n⊥α
B. 若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n
C. 若m//β，m⊂α，α∩β=n，则m//n
D. 若m⊥α，α⊥β，则m//β
10.若▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2，c=3，B=π3，O为▵ABC的外心，则( )
A. b= 7
B. ▵ABC的面积为3 32
C. OA⋅OC=−73
D. 若M是边AC上靠近点A的四等分点，则BM= 1034
11.如图所示，正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AB=2A1B1=2AA1=6，点P在四边形ABCD内，点E是AD上靠近点A的三等分点，则下列说法正确的是( )
A. AA1⊥平面A1BD
B. 该正四棱台的高为3 22
C. 若A1P=3 62，则动点P的轨迹长度是5π
D. 过点E的平面α与平面D1AC平行，则平面α截该正四棱台所得截面多边形的面积为4 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知空间中两个角α，β，且角α与角β的两边分别平行，若α=105∘，则β= ．
13.已知正六边形ABCDEF的边长为4，点P为边DE上的一个动点(含端点)，则AC⋅AP的取值范围是 ．
14.已知正三棱柱ABC−A1B1C1的棱长均为2，点M是棱BB1上(不含端点)的一个动点，若点M，A，C1，C均在球O的球面上，则球O体积的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a，b满足|a|=2，|b|=2 3，cs⟨a,b⟩= 34．
(1)求a在b上的投影向量；
(2)若向量2a−λb与λa+b垂直，求实数λ的值．
16.(本小题15分)
如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AB=2，点M是棱PC的中点．
(1)求证：平面BDM⊥平面ABCD；
(2)求三棱锥P−BDM的体积．
17.(本小题15分)
在▵ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsinB+csinC−asinA2csinB+ 33sinA=0．
(1)求A；
(2)已知a=2 7，D是边BC的中点，且AD⊥AB，求AD的长．
18.(本小题17分)
如图，直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60∘，AA1=AD=1，P，M，N分别为CD，AA1，DD1的中点．
(1)证明：平面PMN//平面BCD1；
(2)求AD1与平面BCD1所成角的正弦值．
19.(本小题17分)
如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是正方形，▵PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M是PD的中点．
(1)求证：PB//平面MAC；
(2)求二面角M−AC−D的余弦值；
(3)在棱PC上是否存在点Q使平面BDQ⊥平面MAC成立？如果存在，求出PQQC的值；如果不存在，请说明理由．
答案
1.A
2.C
3.D
4.C
5.D
6.A
7.B
8.B
9.AC
10.ABD
11.ABD
12.75∘或105∘
13.24,48
14.125 354π
15.解：(1)a⋅b=|a||b|cs⟨a,b⟩=2×2 3× 34=3，
所以a在b上的投影向量为a⋅b|b|2⋅b=312b=14b．
(2)由向量2a−λb与λa+b垂直，得(2a−λb)⋅(λa+b)=0，
整理得2λa2+(2−λ2)a⋅b−λb2=8λ+3(2−λ2)−12λ=0，即3λ2+4λ−6=0，
所以λ=−2± 223．
16.解：(1)连接AC，交BD于O，连接OM，则O为AC中点．
因为在▵PAC中，O，M分别为AC，PC中点，所以OM//PA．
因为PA⊥平面ABCD，所以OM⊥平面ABCD．
又OM⊂平面BDM，所以平面BDM⊥平面ABCD．
(2)由(1)知OM⊥平面ABCD，且OM=12PA=1，
所以VP−BDM=VP−ABCD−VP−ABD−VM−BCD=13×22×2−13×12×2×2×2−13×12×2×2×1=23．
17.解：(1)由正弦定理及bsinB+csinC−asinA2csinB+ 33sinA=0，
得b2+c2−a22bc+ 33sinA=0，
再由余弦定理得csA+ 33sinA=0，即tanA=− 3，
因为A∈0,π，所以A=2π3．
(2)因为D是边BC的中点，所以S▵ADC=S▵ABD．
由(1)知∠BAC=2π3，因为AD⊥AB，所以∠CAD=π6，
故12b⋅ADsinπ6=12c⋅AD，故b=2c．
由余弦定理得a2=b2+c2−2bccs2π3=b2+c2+bc=7c2，
故a= 7c，因为a=2 7，所以c=2，b=4．
在Rt▵ABD中，BD=BC2=a2= 7，AB=c=2，
所以AD= BD2−AB2= 7−4= 3，即AD的长为 3．
18.解：(1)因为P，N分别为线段CD，DD1的中点，所以PN//CD1．
因为PN⊄平面BCD1，CD1⊂平面BCD1，所以PN//平面BCD1.
因为M，N分别为线段AA1，DD1的中点，所以MN//AD//BC．
因为MN⊄平面BCD1，BC⊂平面BCD1，所以MN//平面BCD1．
因为PN∩MN=N，PN⊂平面PMN，MN⊂平面PMN，
所以平面PMN//平面BCD1．
(2)由题知DD1⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，故DD1⊥AD，故AD1= 2，
因为四边形ABCD是菱形，且∠BAD=60∘，
则BD=AD=1，所以CD1=BD1=AD1= 2．
而BC=1，故S△BCD1=12×1× 2−14= 74.
设d为点A到平面BCD1的距离，AD1与平面BCD1所成的角为θ，
故sinθ=dAD1=d 2．
又VD1−ABC=13×DD1×S△ABC=13×12×1×1× 32= 312，
而VA−BCD1=13×d×S△BCD1= 712d，故 712d= 312，故d= 217.
故sinθ= 217 2= 4214，即AD1与平面BCD1所成角的正弦值为 4214．
19.解：(1)设AC，BD交于点O，连接OM，则O为BD中点．
在▵PBD中，O，M分别为BD，PD中点，所以OM//PB．
因为OM⊂平面MAC，PB⊄平面MAC，
所以PB//平面MAC．
(2)过点M作ME⊥AD，垂足为E，过点E作EF⊥AC，垂足为F，连接MF．
因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
所以ME⊥平面ABCD．
因为AC⊂平面ABCD，所以ME⊥AC．
又EF⊥AC，ME∩EF=E，ME，EF⊂平面MEF．
所以AC⊥平面MEF．
因为MF⊂平面MEF，所以AC⊥MF，
则∠MFE即为平面MAC与底面ABCD所成二面角的平面角．
设AB=2，则EF=3 24，ME= 32，故MF= 3 242+ 322= 304，
所以cs∠MFE=EFMF= 155，
即二面角M−AC−D的余弦值为 155．
(3)存在点Q，当PQQC=12时，平面BDQ⊥平面MAC．
证明如下：
如图，取AD中点N，连接CN交BD于点G，连接GQ，
因为▵PAD是正三角形，所以PN⊥AD．
因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
所以PN⊥平面ABCD．
因为GNCG=NDBC=12=PQQC，所以QG//PN，所以QG⊥平面ABCD．
因为AC⊂平面ABCD，所以QG⊥AC．
因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD．
又QG∩BD=G，QG，BD⊂平面BDQ，所以AC⊥平面BDQ，
又AC⊂平面MAC，所以平面BDQ⊥平面MAC，
所以棱PC上点存在点Q，当PQQC=12时，平面BDQ⊥平面AMC．