山西省运城市盐湖区运城南风学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题

这是一份山西省运城市盐湖区运城南风学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题，共11页。试卷主要包含了本卷命题范围，下列说法正确的有等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围：必修第二册第六章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知平面向量，，且，则
A．B．C．D．8
2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则
A．B．C．D．2
3．已知，，是非零向量，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则
A．B．C．D．
5．已知，，且，的夹角为，则在上的投影向量为
A．B．C．D．
6．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则△ABC的形状是
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
7．如图，平行四边形ABCD中，M是BC中点，N是CD上靠近点D的三等分点，若（，），则的值为
A．B．C．D．
8．第九届中国国际“互联网＋”大学生创业大赛于2023年10月16日至21日在天津举办，天津市以此为契机，加快推进“5G＋光网”双千兆城市建设．如图，某区域地面有四个5G基站，分别为A，B，C，D．已知C，D两个基站建在河的南岸，距离为20km，基站A，B在河的北岸，测得，，，，则A，B两个基站的距离为
A．kmB．kmC．15kmD．km
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的有
A．若与是单位向量，则B．若非零向量与是相反向量，则
C．D．若与共线，与共线，则与共线
10．△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则
A．B．C．D．
11．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，点O为△ABC的外接圆圆心，满足，则下列结论正确的是
A．B．C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则 ．
13．设，向量，，且，则 ；当时，的取值范围为 ．
14．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，M是边BC边上一点，，，且，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）若，，求b，c的值．
16．（15分）
已知向量，满足，，．
（1）求与的夹角；
（2）若，，求．
17．（15分）
已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的外接圆半径为R，且．
（1）求B；
（2）若，，求的取值范围．
18．（17分）
如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M．
（1）求的值；
（2）已知点P是正方形ABCD四条边上的动点，若EF∥MP，求MP的长度．
19．（17分）
定义非零向量的“相伴函数”为（），向量称为函数（）的“相伴向量”（其中O为坐标原点）．
（1）设（），写出函数的相伴向量；
（2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，记向量的相伴函数，若且，求的取值范围；
（3）已知，，为（2）中函数，，请问在的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
山西2023～2024年度教育发展联盟高一3月份调研测试·数学
参考答案、解析及评分细则
1．B
由题意知，所以，解得．
2．B
由正弦定理．
3．A
充分性：由题意知，，为非零向量，当时，可得，故充分性满足；必要性：当，解得或，故必要性不满足，所以“”是“”的充分不必要条件．
4．C
由余弦定理知，因为，所以．
5．D
由题意得，则在上的投影向量为．
6．C
由正弦定理及，得，所以，得，因为，，所以，，所以，因为，所以，△ABC为直角三角形．
7．D
，所以，所以，所以，，．
8．A
在△ACD中，，由正弦定理得，，在△BCD中，易知，，所以，所以，由余弦定理得．
9．BC
与是单位向量且方向不同时，，A错误；根据相反向量的定义可知，与方向相反且两个向量模相等，即，B正确；，C正确；若为零向量，、为非零向量，则与不一定共线，D错误．
10．AC
因为，所以，由正弦定理可得，又，所以，因为，，所以，所以，所以或，当时，；当时，．
11．ACD
由余弦定理知，又，所以，A正确；因为点O为△ABC的外接圆圆心，所以，，所以，B错误；，C正确；因为，则，又，即①，同理，即，所以②，联立①②，解得，，，D正确．
12．1
由余弦定理，得．
13．
因为，所以，即，得；由题知，又，所以当时，取得最小值，最小值为12，当时，取得最大值，最大值为28，故的取值范围为．
14．
由等面积法可得：，所以，所以，可得，所以，当且仅当，时取等号，所以的最小值为．
15．解：
（1）由正弦定理及，得．
由余弦定理得．
因为，所以．
（2）由（1）知，又，，
由余弦定理可得，，即，
解得，．
16．解：
（1）因为，，，设，
所以，
所以，
因为，所以，即与的夹角为．
（2）因为，
则，
故．
17．解：
（1）由题知，
所以．
又，
所以，
所以．
因为，，
所以．
又，所以．
（2）因为，
所以，即．
又，
所以，
因为，
所以，即，
所以，故，
所以，
故的取值范围为．
18．解：
（1）如图所示，建立以点A为原点的平面直角坐标系．
则，，，，
所以，，
所以．
（2）设，
所以，
因为，
所以，
所以．
因为，，，
所以，所以，
所以，所以，，所以．
由题得，又EF∥MP，由图易知，点P在线段AB上或线段BC，
①若P在AB上，设，，，，则，
解得，
所以，．
②若P在BC上，设，，，，则，
解得，
所以，．
综上，MP的长度为或．
19．解：
（1），
所以函数的相伴向量．
（2）由题知，
由，得．
又，即，
所以．
又，由正弦定理，得，，
即．
因为，
所以，
所以，即的取值范围为．
（3）由（2）知，
所以，
设，因为，，
所以，，
又因为，所以，
所以，即，
所以．
因为，
所以，
所以，
又因为，
所以当且令当时，和同时等于，
所以在图像上存在点，使得．