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2023-2024学年江苏省徐州市沛县湖西中学高二（下）第二次月考数学试卷（5月份）（含答案）
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这是一份2023-2024学年江苏省徐州市沛县湖西中学高二（下）第二次月考数学试卷（5月份）（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|x2−2x−3<0}，B={x|0A. {x|−12.若f(x)=x2,(x≥0)−x,(x<0)，则f[f(−2)]=( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
3.3名男生和2名女生排成一排，其中女生甲不排两端的不同排法有( )
A. 36种B. 48种C. 72种D. 120种
4.某射手每次射击击中目标的概率是0.6，且各次射击的结果互不影响，则该射手射击30次恰有18次击中目标的概率为( )
A. 0.618×0.412B. C30180．618×0．412
C. C30180．418×0．612D. C30180．618
5.某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试.经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布N(72,82)，则数学成绩位于[80,88]的人数约为( )
参考数据：P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973．
A. 455B. 2718C. 6346D. 9545
6.某市2018年至2022年新能源汽车年销量y(单位：千台)与年份代号x的数据如下表：
若根据表中的数据用最小二乘法求得y关于x的经验回归直线方程为y =7x+7.5，则表中m的值为( )
A. 25B. 28C. 30D. 32
7.已知两个正实数x，y满足2x+1y=1，并且x+2y≥m2−2m恒成立，则实数m的取值范围是( )
A. (−2,4)B. [−2,4]
C. (−∞,−2)∪(4,+∞)D. (−∞,−2]∪[4,+∞)
8.函数f(x)=x2−ax+1在区间(12, 3)上有零点，则实数a的取值范围是( )
A. (2,+∞)B. [2,+∞)C. [2, 52)D. [2, 103)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知(x−2)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，则( )
A. a0=1B. a4=60
C. a1+a2+a3+a4+a5+a6=−63D. a0+a2+a4+a6=36−12
10.下列说法正确的是( )
A. 线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
B. 将一组数据中的每个数据都乘2022后，方差也变为原来的2022倍
C. 已知回归模型为y =x2+2x+1，则样本点(1,3)的残差为−1
D. 对独立性检验，随机变量K2的观测值k值越小，判定“两变量有关系“犯错误的概率越大
11.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，∠DAB=∠A1AB=∠A1AD=π3，AA1=3，AB=AD=2，则( )
A. BD⊥平面A1ACC1B. BD1+AB=AD+AA1
C. AC1= 17D. 点A1到平面ABCD的距离为 6
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量的概率分布如下：
则ξ的方差为______．
13.已知空间向量a=(−2,1,m)，b=(1,−1,2)，c=(−1,2,t)，若a，b，c共面，则m+t= ______．
14.已知P(A)=0.4,P(B|A)=0.2,P(B|A−)=0.3，则P(B−)= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=2x−3x−1．
(1)用定义法证明：f(x)在[2,6]上单调递增；
(2)求f(x)在[2,6]上的最大值与最小值．
16.(本小题15分)
甲袋中有5个白球和4个红球，乙袋中有4个白球和5个红球.先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球．
(1)求第一次取出的球是红球的概率；
(2)求第一次取出的球是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率．
17.(本小题15分)
已知一组数据(x,y)的散点图如图：
(1)根据散点图计算x，y的相关系数r，并据此判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？(若|r|>0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)
(2)若可用线性回归模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的线性回归方程，并预测x=40时的y值.
附：相关公式及参考数据：r=i=1n(xi−x−)(yi−y−) i=1n(xi−x−)2i=1n(yi−y−)2， 55≈0.447．
回归方程y=bx+a中，b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2，a=y−−bx−．
18.(本小题17分)
为了研究学生是否喜欢篮球运动与性别的关系，某校高二年级随机对该年级50名学生进行了跟踪调查，其中喜欢篮球运动的学生有30人，在余下的学生中，女生占34，根据数据制成2×2列联表如下：
(1)根据题意，完成上述2×2列联表，并判断是否有99.5%的把握认为喜欢篮球运动和性别有关？
(2)在不喜欢篮球运动的20人中随机抽取2人继续跟踪调查，其中男生人数记为随机变量X，求X的分布列和数学期望．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，E，F分别在棱PB，BC上．
(1)当E为棱PB中点时，求证：AE⊥EF；
(2)当F为棱BC中点时，求平面AEF与平面PDC所成的二面角余弦值的最大值．
答案
1.C
2.C
3.C
4.B
5.B
6.C
7.B
8.D
9.BC
10.CD
11.ABD
12.1116
13.−6
15.(1)证明：∀x1，x2∈[2,6]，且x1则f(x1)−f(x2)=2x1−3x1−1−2x2−3x2−1=x1−x2(x1−1)(x2−1)．
由2≤x10，
于是f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)所以，函数f(x)=2x−3x−1在区间[2,6]上单调递增．
(2)因为函数f(x)=2x−3x−1在区间[2,6]上单调递增，
所以函数f(x)在区间[2,6]的两个端点上分别取得最小值和最大值，
即x=2时取得最小值，最小值为f(2)=2×2−32−1=1，x=6时取得最大值，最大值为f(6)=2×6−36−1=95．
故f(x)的最小值是1，最大值是95．
16.解：(1)设“取出的是甲袋”为事件A1，“取出的是乙袋”为事件A2，“第一次取出的球是红球”为事件B，“第二次取出的球是白球”为事件C，
则P(Ai)=12(i=1,2)，
由题意易得P(B|A1)=49，P(B|A2)=59，
所以P(B)=P(A)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=12×(49+59)=12，
即第一次取出的球是红球的概率为12；
(2)P(BC|A1)=4×5A92=518，P(BC|A2)=5×4A92=518，
故P(BC)=P(A1)P(BC|A1)+P(A2)P(BC|A2)=12×(518+518)=518，
所以P(C|B)=P(BC)P(B)=51812=59，
故第一次取出的球是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率为59．
17.解：(1)x−=1+3+4+7+105=5，y−=5+9+11+12+135=10，
因为i=15(xi−x−)2=50，i=15(yi−y−)2=40，i=15(xi−x−)(yi−y−)=40，
所以r=i=15(xi−x−)(yi−y−) i=15(xi−x−)2 i=15(yi−y−)2=40 20× 40=2 5≈0.894>0.75，
所以可用线性回归模型拟合y与x的关系．
(2)因为b =i=15(xi−x−)(yi−y−)i=15(xi−x−)2=4050=0.8，x−=5，y−=10，
所以a =10−0.8×5=6，所以y关于x的线性回归方程为y =0.8x+6．
将x=40代入线性回归方程可得，y =0.8×40+6=38．
18.解：(1)由题意，2×2列联表如下：
提出假设H0：性别与是否喜欢篮球运动无关，
根据列联表中的数据可以求得χ2=50×(20×15−10×5)230×20×25×25=253≈8.333，
因为当H0成立时，χ2≥7.879的概率约为0.005，
所以有99.5%的把握认为喜欢篮球运动和性别有关．
(2)X的所有可能取值为0，1，2，
P(X=0)=C50C152C202=2138，P(X=1)=C51C151C202=1538，P(X=2)=C52C150C202=119，
故随机变量X的分布列为：
数学期望E(X)=0×2138+1×1538+2×119=12．
19.解：(1)证明：因为底面ABCD为正方形，
所以AB⊥AD，
又因为PA⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥AD，
以AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间坐标系A−xyz，
则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，
当E为棱PB中点时，E(1,0,1)，
设F(2,a,0)(0≤a≤2)，
所以AE=(1,0,1)，EF=(1,a,−1)，
所以AE⋅EF=(1,0,1)⋅(1,a,−1)=1×1+0×a+1×(−1)=0，
所以AE⊥EF，
所以AE⊥EF．
(2)当F为棱BC中点时，F(2,1,0)，
设E(b,0,2−b)(0≤b≤2)，
所以AE=(b,0,2−b)，AF=(2,1,0)，PD=(0,2,−2)，DC=(2,0,0)，
设平面PCD的法向量为n1=(x1,y1,z1)，
所以PD⋅n1=2y1−2z1=0DC⋅n1=2x1=0，
取z1=1，则y1=1，x1=0，
所以n1=(0,1,1)，
设平面AEF的法向量为n2=(x2,y2,z2)，
所以AE⋅n2=bx2+(2−b)z2=0AF⋅n2=2x2+y2=0，
取z1=b，则y1=−2(b−2)，x1=b−2，
所以n2=(b−2,−2(b−2),b)，
设平面AEF与平面PDC所成角为α，
则|csα|=|cs|=|n1⋅n2|n1||n2||=|−2(b−2)+b 2 5(b−2)2+b2|=4−b2 3b2−10b+10，
令t=4−b∈[2,4]，则|csα|=t2 3t2−14t+18=t2 18t2−14t+3，
所以当1t=718，即b=107时，|csα|取最大值3 1010，
所以平面AEF与平面PDC所成的二面角余弦值的最大值为3 1010．
年份
2019
2020
2021
2022
年份代号x
1
2
3
4
年销量y
15
20
m
35
ξ
0
1
2
P
14
14
12
男生
女生
合计
喜欢
20
30
不喜欢
20
合计
50
P(χ2≥k)
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
男生
女生
合计
喜欢
20
10
30
不喜欢
5
15
20
合计
25
25
50
X
0
1
2
P
2138
1538
119
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|x2−2x−3<0}，B={x|0
A. 2B. 3C. 4D. 5
3.3名男生和2名女生排成一排，其中女生甲不排两端的不同排法有( )
A. 36种B. 48种C. 72种D. 120种
4.某射手每次射击击中目标的概率是0.6，且各次射击的结果互不影响，则该射手射击30次恰有18次击中目标的概率为( )
A. 0.618×0.412B. C30180．618×0．412
C. C30180．418×0．612D. C30180．618
5.某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试.经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布N(72,82)，则数学成绩位于[80,88]的人数约为( )
参考数据：P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973．
A. 455B. 2718C. 6346D. 9545
6.某市2018年至2022年新能源汽车年销量y(单位：千台)与年份代号x的数据如下表：
若根据表中的数据用最小二乘法求得y关于x的经验回归直线方程为y =7x+7.5，则表中m的值为( )
A. 25B. 28C. 30D. 32
7.已知两个正实数x，y满足2x+1y=1，并且x+2y≥m2−2m恒成立，则实数m的取值范围是( )
A. (−2,4)B. [−2,4]
C. (−∞,−2)∪(4,+∞)D. (−∞,−2]∪[4,+∞)
8.函数f(x)=x2−ax+1在区间(12, 3)上有零点，则实数a的取值范围是( )
A. (2,+∞)B. [2,+∞)C. [2, 52)D. [2, 103)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知(x−2)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，则( )
A. a0=1B. a4=60
C. a1+a2+a3+a4+a5+a6=−63D. a0+a2+a4+a6=36−12
10.下列说法正确的是( )
A. 线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
B. 将一组数据中的每个数据都乘2022后，方差也变为原来的2022倍
C. 已知回归模型为y =x2+2x+1，则样本点(1,3)的残差为−1
D. 对独立性检验，随机变量K2的观测值k值越小，判定“两变量有关系“犯错误的概率越大
11.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，∠DAB=∠A1AB=∠A1AD=π3，AA1=3，AB=AD=2，则( )
A. BD⊥平面A1ACC1B. BD1+AB=AD+AA1
C. AC1= 17D. 点A1到平面ABCD的距离为 6
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量的概率分布如下：
则ξ的方差为______．
13.已知空间向量a=(−2,1,m)，b=(1,−1,2)，c=(−1,2,t)，若a，b，c共面，则m+t= ______．
14.已知P(A)=0.4,P(B|A)=0.2,P(B|A−)=0.3，则P(B−)= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=2x−3x−1．
(1)用定义法证明：f(x)在[2,6]上单调递增；
(2)求f(x)在[2,6]上的最大值与最小值．
16.(本小题15分)
甲袋中有5个白球和4个红球，乙袋中有4个白球和5个红球.先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球．
(1)求第一次取出的球是红球的概率；
(2)求第一次取出的球是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率．
17.(本小题15分)
已知一组数据(x,y)的散点图如图：
(1)根据散点图计算x，y的相关系数r，并据此判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？(若|r|>0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)
(2)若可用线性回归模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的线性回归方程，并预测x=40时的y值.
附：相关公式及参考数据：r=i=1n(xi−x−)(yi−y−) i=1n(xi−x−)2i=1n(yi−y−)2， 55≈0.447．
回归方程y=bx+a中，b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2，a=y−−bx−．
18.(本小题17分)
为了研究学生是否喜欢篮球运动与性别的关系，某校高二年级随机对该年级50名学生进行了跟踪调查，其中喜欢篮球运动的学生有30人，在余下的学生中，女生占34，根据数据制成2×2列联表如下：
(1)根据题意，完成上述2×2列联表，并判断是否有99.5%的把握认为喜欢篮球运动和性别有关？
(2)在不喜欢篮球运动的20人中随机抽取2人继续跟踪调查，其中男生人数记为随机变量X，求X的分布列和数学期望．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，E，F分别在棱PB，BC上．
(1)当E为棱PB中点时，求证：AE⊥EF；
(2)当F为棱BC中点时，求平面AEF与平面PDC所成的二面角余弦值的最大值．
答案
1.C
2.C
3.C
4.B
5.B
6.C
7.B
8.D
9.BC
10.CD
11.ABD
12.1116
13.−6
15.(1)证明：∀x1，x2∈[2,6]，且x1
由2≤x1
于是f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)
(2)因为函数f(x)=2x−3x−1在区间[2,6]上单调递增，
所以函数f(x)在区间[2,6]的两个端点上分别取得最小值和最大值，
即x=2时取得最小值，最小值为f(2)=2×2−32−1=1，x=6时取得最大值，最大值为f(6)=2×6−36−1=95．
故f(x)的最小值是1，最大值是95．
16.解：(1)设“取出的是甲袋”为事件A1，“取出的是乙袋”为事件A2，“第一次取出的球是红球”为事件B，“第二次取出的球是白球”为事件C，
则P(Ai)=12(i=1,2)，
由题意易得P(B|A1)=49，P(B|A2)=59，
所以P(B)=P(A)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=12×(49+59)=12，
即第一次取出的球是红球的概率为12；
(2)P(BC|A1)=4×5A92=518，P(BC|A2)=5×4A92=518，
故P(BC)=P(A1)P(BC|A1)+P(A2)P(BC|A2)=12×(518+518)=518，
所以P(C|B)=P(BC)P(B)=51812=59，
故第一次取出的球是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率为59．
17.解：(1)x−=1+3+4+7+105=5，y−=5+9+11+12+135=10，
因为i=15(xi−x−)2=50，i=15(yi−y−)2=40，i=15(xi−x−)(yi−y−)=40，
所以r=i=15(xi−x−)(yi−y−) i=15(xi−x−)2 i=15(yi−y−)2=40 20× 40=2 5≈0.894>0.75，
所以可用线性回归模型拟合y与x的关系．
(2)因为b =i=15(xi−x−)(yi−y−)i=15(xi−x−)2=4050=0.8，x−=5，y−=10，
所以a =10−0.8×5=6，所以y关于x的线性回归方程为y =0.8x+6．
将x=40代入线性回归方程可得，y =0.8×40+6=38．
18.解：(1)由题意，2×2列联表如下：
提出假设H0：性别与是否喜欢篮球运动无关，
根据列联表中的数据可以求得χ2=50×(20×15−10×5)230×20×25×25=253≈8.333，
因为当H0成立时，χ2≥7.879的概率约为0.005，
所以有99.5%的把握认为喜欢篮球运动和性别有关．
(2)X的所有可能取值为0，1，2，
P(X=0)=C50C152C202=2138，P(X=1)=C51C151C202=1538，P(X=2)=C52C150C202=119，
故随机变量X的分布列为：
数学期望E(X)=0×2138+1×1538+2×119=12．
19.解：(1)证明：因为底面ABCD为正方形，
所以AB⊥AD，
又因为PA⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥AD，
以AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间坐标系A−xyz，
则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，
当E为棱PB中点时，E(1,0,1)，
设F(2,a,0)(0≤a≤2)，
所以AE=(1,0,1)，EF=(1,a,−1)，
所以AE⋅EF=(1,0,1)⋅(1,a,−1)=1×1+0×a+1×(−1)=0，
所以AE⊥EF，
所以AE⊥EF．
(2)当F为棱BC中点时，F(2,1,0)，
设E(b,0,2−b)(0≤b≤2)，
所以AE=(b,0,2−b)，AF=(2,1,0)，PD=(0,2,−2)，DC=(2,0,0)，
设平面PCD的法向量为n1=(x1,y1,z1)，
所以PD⋅n1=2y1−2z1=0DC⋅n1=2x1=0，
取z1=1，则y1=1，x1=0，
所以n1=(0,1,1)，
设平面AEF的法向量为n2=(x2,y2,z2)，
所以AE⋅n2=bx2+(2−b)z2=0AF⋅n2=2x2+y2=0，
取z1=b，则y1=−2(b−2)，x1=b−2，
所以n2=(b−2,−2(b−2),b)，
设平面AEF与平面PDC所成角为α，
则|csα|=|cs
令t=4−b∈[2,4]，则|csα|=t2 3t2−14t+18=t2 18t2−14t+3，
所以当1t=718，即b=107时，|csα|取最大值3 1010，
所以平面AEF与平面PDC所成的二面角余弦值的最大值为3 1010．
年份
2019
2020
2021
2022
年份代号x
1
2
3
4
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