2023-2024学年江苏省苏州市吴县中学教育集团高二（下）月考数学试卷（5月份）（含答案）

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这是一份2023-2024学年江苏省苏州市吴县中学教育集团高二（下）月考数学试卷（5月份）（含答案），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A={x|−6A. (−6,2]B. [−5,0)C. [−2,0)D. (−5,2]
2.甲、乙、丙、丁四位同学决定去黄鹤楼、东湖、汉口江滩游玩，每人只能去一个地方，则不同游览方案的种数为( )
A. 65B. 81C. 64D. 60
3.已知(x+ax)8展开式中x4项的系数为112，其中a∈R，则此二项式展开式中各项系数之和是( )
A. 38B. 1或38 C. 28 D. 1或28
4.设x∈R，则“x2−x<0”是“|x−1|<1”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.某工厂为研究某种产品的产量x(单位：吨)与所需某种原料y(单位：吨)的相关性，在生产过程中收集了4组对应数据如下表：
根据表格中的数据，得出y关于x的经验回归方程为y =0.7x+a.据此计算出样本点(4,3)处的残差为−0.15，则表格中m的值为( )
A. 5.9B. 5.5C. 4.5D. 3.3
6.某校有7名同学获省数学竞赛一等奖，其中男生4名，女生3名.现随机选取2名学生作“我爱数学”主题演讲.假设事件A为“选取的两名学生性别相同”，事件B为“选取的两名学生为男生”，则P(B|A)=( )
A. 14B. 34C. 13D. 23
7.已知离散型随机变量X的分布列如下表：
则E(X)=( )
A. 0.56B. 0.64C. 0.72D. 0.8
8.某双一流大学为提高数学学院学生的数学素养，特开设了“模糊数学”“复变函数”“微分几何”“数值分析”“拓扑学”五门选修课程，要求学院每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有( )
A. 150种B. 210种C. 300种D. 540种
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A. 若随机变量X～B(10,13)，则方差D(3X+2)=22
B. 若随机变量X～N(1,σ2)，P(X<4)=0.79，则P(X≤−2)=0.21
C. 从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为314C51CC154
D. 已知随机变量X的分布列为P(X=i)=ai(i+1)(i=1,2,3)，则P(X=2)=29
10.已知a+2b=ab(a>0,b>0)，则下列结论正确的是( )
A. ab的最小值为2B. a+b的最小值为3+2 2
C. 1a+1b的最大值为1D. 4a2+1b2的最小值为12
11.若随机变量X～B(10,12)，记f(k)=P(X=k)为恰好发生k次(k∈{0,1,2,…,10})的概率，下列说法正确的有( )
A. P(X>0.5)=10231024B. f(k)=f(10−k)
C. i=010(i⋅f(i))=5D. 当k=5或6时，f(k)取得最大值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.为了解高二学生体育健康情况，学校组织了一次体育健康测试，成绩X近似服从正态分布N(70,72)，已知成绩在77分以上的学生有208人，如果成绩大于84分为优秀，则本次体育健康测试成绩优秀的大约有______人.
(参考数据：P(μ−σ13.已知014.若曲线f(x)=lnx+x在点(x0,f(x0))处的切线方程为y=kx+b，则k+b的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某医疗机构为了解某疾病与喝酒是否有关，进行了一次抽样调查，数据如下表：
(1)根据数据，能否有99.5%把握认为，患病与喝酒有关？
(2)从喝酒的150人中按分层抽样的方法抽取15人，再从这15人中抽取3人，求至少有1人患病的概率．
参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)(其中n=a+b+c+d)．
16.(本小题15分)
回答下面两题：
(1)已知函数f(x)=x2+mx−1，若对于任意x∈[m,m+1]，都有f(x)<0成立，求实数m的取值范围；
(2)解关于x的不等式ax2+x+1>0，a∈R．
17.(本小题17分)
已知函数f(x)=13x3+x2+ax+1．
(1)当a=−3时，求函数f(x)的极值；
(2)当a<2时，若函数f(x)在区间[a,2]上单调递增，求实数a的取值范围．
18.(本小题15分)
为帮助乡材脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，经勘测得到该金属含量y(单位：g/m2)与样本对原点的距离x(单位：m)的数据，并作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.(表中ui=1xi,u−=19i=19ui)
(1)利用样本相关系数的知识，判断y=a+bx与y=c+dx哪一个更适宜作为该金属含量y关于样本对原点的距离x的回归方程类型？
(2)根据(1)的结果解决下列问题：
(i)建立y关于x的回归方程；
(ii)样本对原点的距离x=20时，该金属含量的预报值是多少？
(3)已知该金属在距离原点xm时的平均开采成本W(单位：元)与x.y的关系为W=100(y−lnx)(1⩽x⩽100)，根据(2)的结论说明，x为何值时，开采成本最大？
附：线性回归方程y=bx+a的斜率和截距的最小二乘法公式分别为b =i=1n(xi−x−)(y−y−)i=1n(xi−x−)2,a =y−−b x−．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=alnx+x+a．
(1)判断f(x)的单调性，并写出单调区间；
(2)若f(x)存在两个零点x1，x2，求a的取值范围，并证明x1x2>1．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：B={x|x2+3x−10≤0}={x|−5≤x≤2}，
则A⋃B={x|−6故选：A．
先化简集合B，再利用并集定义即可求得A∪B．
本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：甲、乙、丙、丁四位同学决定去黄鹤楼、东湖、汉口江滩游玩，每人只能去一个地方，
每个人都有三种选择，则不同的游览方案种数为34=81种．
故选：B．
分析可知，每个人都有三种选择，利用分步乘法计数原理可得结果．
本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：(x+ax)8展开式的通项为Tr+1=C8r⋅x8−r⋅(ax)r=arC8r⋅x8−2r．
令8−2r=4，
∴r=2．
∴a2C82=112，
∴a=±2．
当a=2时，令x=1，则展开式系数和为(1+21)8=38．
当a=−2时，令x=1，则展开式系数和为(1−21)8=1．
故选：B．
利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为4得x4项列出方程求出a，给二项式中的x赋值求出展开式中各项系数的和．
本题考查二项式定理，要求熟练掌握运用通项公式．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了不等式的解法、充分条件、必要条件的判断，属于基础题．
分别解出不等式：x2−x<0，|x−1|<1，再由充分条件和必要条件的定义可判断出结论．
【解答】
解：由x2−x<0解得：0由|x−1|<1解得：0∵0,1⫋0,2
∴“x2−x<0”是“|x−1|<1”的充分不必要条件．
故选：A．
5.【答案】A
【解析】解：根据样本(4,3)处的残差为−0.15，即3−(0.7×4+a)=−0.15，可得a=0.35，
即回归直线方程为y =0.7x+0.35，
又由样本数据的平均数为x−=3+4+6+74=5,y−=2.5+3+4+m4，
得0.7×5+0.35=2.5+3+4+m4，解得m=5.9．
故选：A．
由残差的意义得到回归直线方程，进而根据回归直线方程过样本中心点，得到m的值．
本题考查了回归直线方程过样本中心点的性质，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：由题意得，事件A包含的样本点数n(A)=C32+C42=9，
事件A和B包含的样本点数n(AB)=C42=6，
所以P(B|A)=n(AB)n(A)=69=23．
故选：D．
根据条件概率公式计算即可．
本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：由题意知：0.64+q2+1−2q=1，解得：q=0.4或q=1.6(舍去)，
所以X的分布列为：
∴E(X)=0×0.64+1×0.16+2×0.2=0.56．
故选：A．
根据概率分布列的性质求得q值，再根据分布列直接求期望．
本题考查离散型随机变量的概率分布列以及期望，是基础题．
8.【答案】B
【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：
①五门选修课放在2年选完，
先将五门课程分为2组，再在三年中选出2年来学习，有C53×A32=60种安排方法，
②五门选修课放在3年选完，
先将五门课程分为3组，再安排在三年中选完，有(C53+C52C32A22)×A33=150种安排方法，
则有60+150=210种安排方法；
故选：B．
根据题意，分2种情况讨论：①五门选修课放在2年选完，②五门选修课放在3年选完，由加法原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，属于基础题．
9.【答案】BD
【解析】解：对于A，因为随机变量X～B(10,13)，所以D(X)=10×13×23=209，D(3X+2)=9D(X)=9×209=20，故A错误；
对于B，根据正态分布的性质，P(X<4)=0.79，所以，P(X≤−2)=P(X≥4)=1−P(X<4)=0.21，故B正确；
对于C，设至少有一名女生为事件A，
则P(A−)=C50⋅C104C154=10×9×8×715×14×13×12=213，则P(A)=1−P(A−)=1113，故C错误；
对于D,P(X=i)=ai(i+1)(i=1,2,3)，得P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1，
可得a2+a6+a12=1，解得a=43，所以P(X=2)=a2×3=418=29，故D正确；
故选：BD．
根据二项分布的方差以及方差的性质即可求解A，根据正态分布的对称性可求解B，根据对立事件的概率可求C，根据随机变量的分布列即可求解D．
本题考查随机变量的期望方差，考查学生的运算能力，属于中档题．
10.【答案】BD
【解析】解：对于A，由a+2b=ab(a>0,b>0)得2a+1b=1，则1=2a+1b≥2 2a⋅1b，∴ab≥8，
当且仅当a=4，b=2取等号，故A错误；
对于B，a+b=(a+b)(2a+1b)=3+2ba+ab≥3+2 2ba⋅ab=3+2 2，
当且仅当2ba=ab，即a= 2+2,b=1+ 2时，等号成立，故B正确；
对于C，∵a+2b=ab(a>0,b>0)，∴a=2bb−1,b>1，
∴1a+1b=12bb−1+1b=12+12b<1，故C错误；
对于D，∵a+2b=ab(a>0,b>0)，∴a=2bb−1,b>1，
∴4a2+1b2=4(2bb−1)2+1b2=b2−2b+2b2=2b2−2b+1=2(1b−12)2+12，
∵b>1，∴0<1b<1，则当1b=12，即b=2时，4a2+1b2取最小值12，故D正确．
故选：BD．
由a+2b=ab(a>0,b>0)得2a+1b=1，利用基本不等式可判断A；利用“1的妙用”结合基本不等式可判断B；由a+2b=ab(a>0,b>0)可得a=2bb−1,b>1，代入化简可判断C；将a=2bb−1,b>1代入4a2+1b2并整理化简，利用二次函数的性质可判断D．
本题考查基本不等式的运用，属于中档题．
11.【答案】ABC
【解析】解：P(X>0.5)=1−P(X=0)=1−(12)10=10231024，故A正确；
f(k)=P(X=k)=C10k⋅(12)10，f(10−k)=P(X=10−k)=C1010−k(12)10=C10k(12)10，
即f(k)=f(10−k)，故B正确；
i=010(i⋅f(i))=0×f(0)+1×f(1)+2×f(2)+3×f(3)+...+10f(10)，
=(12)10[0+C101+2C102+3C103+...+10C1010]，
(1+x)10=1+C101x+C102x2+...+C1010x10，两边求导数，
10(1+x)9=C101+2C102x+3C103x2+...+10C1010x9，
令x=1，得10(1+x)9=C101+2C102+3C103+...+10C1010=10×29，
i=010(i⋅f(i))=(12)10×10×29=5，故C正确；
设f(k)最大，则C10k⋅(12)10≥C10k+1⋅(12)10C10k⋅(12)10≥C10k−1⋅(12)10，得92≤k≤112，
即当k=5时，f(k)取得最大值，故D错误．
故选：ABC．
根据二项分布的概率公式，即可判断AB；根据概率公式，化简i=010(i⋅f(i))，再根据二项式定理，以及赋值法，即可判断C；根据不等式f(k)≥f(k+1)且f(k)≥f(k−1)，即可判断D．
本题考查二项分布的性质和应用，涉及概率的计算，属于基础题．
12.【答案】26
【解析】解：由高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布N(70,72)，得μ=70，σ=7，
P(X≥77)=P(X≥μ+σ)=12−12P(μ−σ又成绩在77分以上的学生有208人，则高二学生总数为2080.16=1300人，
P(X≥84)=12−12P(μ−2σ则本次体育健康测试成绩优秀的大约有1300×0.02=26人．
故答案为：26．
由已知求得μ=70，σ=7，利用对称性求得P(X≥77)=0.16，可得成绩在77分以上的学生有208人，求得高二学生总人数，求出P(X≥84)=0.02，利用概率求得结果．
本题考查正态分布曲线中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
13.【答案】92
【解析】解：因为0则42−a+1a=12(42−a+1a)(2−a+a)=12(5+4a2−a+2−aa)≥12(5+2 4a2−a⋅2−aa)=92，
当且仅当4a2−a=2−aa，即a=23时取等号
故答案为：92．
由已知结合乘1法，利用基本不等式即可求解．
本题主要考查了乘1法及基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
14.【答案】1
【解析】解：由f(x)=lnx+x，得f′(x)=1x+1，
则曲线在点(x0,f(x0))处的切线方程为y−(x0+lnx0)=(1x0+1)(x−x0)，
整理得：y=(1x0+1)x−1+lnx0，
∴k=1x0+1,b=−1+lnx0，
即k+b=1x0+1+(−1+lnx0)=1x0+lnx0，其中x0>0，
构造函数g(x)=1x+lnx，则g′(x)=−1x2+1x=x−1x2，
当x>1，g′(x)>0，∴g(x)在区间(1,+∞)上单调递增，
当0∴g(x)min=g(1)=11+ln1=1，
即k+b有最小值为1．
故答案为：1．
先利用导数求函数在某点处的切线方程，然后找到k，b与这个点横坐标x0的对应关系，最后把k+b看成一个关于x0函数，利用求导可得最小值．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求最值，考查运算求解能力，是中档题．
15.【答案】解：(1)由2×2列联表中的数据可知，K2=250×(110×10−90×40)2200×50×150×100≈10.417>7.879，
∴有99.5%把握认为，患病与喝酒有关．
(2)由题意知：所抽取的15人中，未患病的有15×110150=11人，患病的有15×40150=4人，
记“至少有一人患病”为事件A，
则P(A)=1−C113C153=5891．
【解析】(1)根据2×2列联表中的数据计算观测值，利用观测值与临界值比较即可求解；
(2)根据分层抽样的抽样比及组合的定义，利用对立事件及古典概型的计算公式即可求解．
本题主要考查了独立性检验的应用，考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
16.【答案】解：(1)由题意可知，f(m)=m2+m2−1<0f(m+1)=(m+1)2+m(m+1)−1<0，
解得：− 22(2)当a=0时，x+1>0，得x>−1，
当a<0时，Δ=1−4a>0，
f(x)=0的两个根分别为x1=−1+ 1−4a2a，x2=−1− 1−4a2a，x1此时不等式的解集为{x|−1+ 1−4a2a当a>0时，Δ=1−4a<0，即a>14，此时不等式的解集为R，
当Δ=1−4a=0，得a=14，此时不等式的解集为{x|x≠−2}，
当Δ=1−4a>0，即0此时不等式的解集为{x|−1− 1−4a2a综上可知，a=0时，不等式的解集为{x|x>−1}，
a<0时，不等式的解集为{x|−1+ 1−4a2aa>14时，不等式的解集为R，
a=14时，不等式的解集为{x|x≠−2}，
0【解析】(1)转化为根的分布，列式求解；
(2)讨论a的取值，求解不等式．
本题考查分类讨论的思想及不等式的解法，属于中档题．
17.【答案】解：(1)当a=−3时，f(x)=13x3+x2−3x+1，则f′(x)=x2+2x−3，
当−31时，f′(x)>0，
∴函数f(x)在(−∞,−3)单调递增，在(−3,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，
∴f(x)极小值=f(1)=−23，f(x)极大值=f(−3)=10；
(2)依题意，f′(x)=x2+2x+a≥0在[a,2]上恒成立，
①当△=4−4a≤0，即1≤a<2时，x2+2x+a≥0恒成立，符合题意；
②当△=4−4a>0，即a<1时，由于对称轴x=−1，故只需a>−1a2+2a+a≥0，即0≤a<1即可；
综上，实数a的取值范围为[0,2)．
【解析】(1)将a=−3代入，求导，解关于导函数的不等式，求得单调性，进而得到极值；
(2)依题意，f′(x)=x2+2x+a≥0在[a,2]上恒成立，然后分△≤0及△>0讨论即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查转化思想及分类讨论思想，考查运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)y=a+bx的线性相关系数r1=i=19(xi−x−)(yi−y−) i=19(xi−x−)2i=19(yi−y−)2=26.13 60×14.12≈0.898，
y=c+dx的线性相关系数r2=i=19(ui−u−)(yi−y−) i=19(ui−u−)2i=19(yi−y−)2=−1.40 0.14×14.12≈−0.996，
∵|r1|<|r2|，
∴y=c+dx更适宜作为该金属含量y关于样本对原点的距离x的回归方程类型；
(2)(i)依题意，可得β =i=19(ui−u−)(yi−y−)i=19(ui−u−)2=−−10，
α =y−−β u−=97.9−(−10)×0.21=100，
∴y =100−10u=100−10x，
∴y关于x的回归方程为y =100−10x；
(ii)当x=20时，金属含量的预报值为y =100−1020=99.5g/m3；
(3)∵W=1000(y−lnx)=1000(100−10x−lnx)，
令f(x)=100−10x−lnx，则f′(x)=10x2−1x=10−xx2，
当1≤x<10时，f′(x)>0，f(x)在[1,10)上单调递增，
当10∴f(x)在x=10处取得极大值，也是最大值，此时W取得最大值，
故x=10m时，开采成本最大．
【解析】(1)由题意，根据线性相关系数的计算公式计算出r1，r2，即可下结论；
(2)利用最小二乘法求出回归方程，令x=20，即可求解；
(3)由题意可得W=1000(100−10x−lnx)，结合导数讨论该函数的性质即可求解．
本题主要考查了相关系数的性质，考查了线性回归方程的求解，以及利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题．
19.【答案】(1)解：因为f(x)=alnx+x+a，x>0，所以f′(x)=ax+1，
当a≥0时，f′(x)>0，即f(x)的单调递增区间为(0,+∞)，无递减区间；
当a<0时，令f′(x)<0，可解得00，可解得x>−a，
所以f(x)的单调递减区间为(0,−a)，单调递增区间为(−a,+∞)．
(2)f′(x)=ax+1=a+xx(x>0)，
若f(x)存在两个零点x1，x2，由(1)可知，a<0，f(x)的单调递减区间为(0,−a)，单调递增区间为(−a，十∞)．
f(x)min=f(−a)=aln(−a)<0，解得a<−1，注意此时f(1e)=1e>0
①当−2≤a<−1时，f(e3)=e3+4a>0，此时1e<−a②当a<−2时，f(e−a)=alne−a+e−a+a=e−a−a²+a，
设g(a)=e−a−a²+a，a<−2，则g′(a)=−e−a−2a+1，g″(a)=e−a−2>0，
所以g′(a)在(−∞,−2)单调递增，则g′(a)所以g(a)在(−∞,−2)单调递减，则g(a)>g(−2)=e²−6>0，即f(e−a)>0，
此时1e<−a综上，若f(x)有两个零点，则a的取值范围为(−∞,−1)．
下面证明x1x2>1，
不妨设0alnx1+x1+a=0alnx2+x2+a=0，
两式相减得，−a=x1−x2lnx1−lnx2，
两式相加得，lnx1+lnx2=x1+x2−a−2=x1+x2x1−x2(lnx1−lnx2)−2，
要证x1x2>1，只需证ln(x1x2)=lnx1+lnx2>0，
即证x1+x2x1−x2(lnx1−lnx2)−2>0，
即证lnx1−lnx22−x1−x2x1+x2=12lnx1x2−x1x2−1x1x2+1<0，
令h(t)=12lnt−t−1t+1，t∈(0,1)，
h′(x)=12t−2(t+1)2=(t−1)22t(t+1)2>0，则h(t)在(0,1)上单调递增，
所以h(t)又因为x1x2∈(0,1)，所以12lnx1x2−x1x2−1x1x2+1<0，得证．
【解析】(1)对f(x)求导，再对a分类讨论，由导数与单调性的关系求解即可；
(2)结合(1)中结论及题意可得a<0，求得f(x)的最值，结合题意可得a<−1，根据函数的单调性及零点存在性定理可得若f(x)有两个零点，则a的取值范围为(−∞,−1).不妨设01，只需证12lnx1x2−x1x2−1x1x2+1<0，令h(t)=12lnt−t−1t+1，t∈(0,1]，利用导数证得h(t)<0，即可得证．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值问题，考查函数零点问题，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于难题．x/吨
3
4
6
7
y/吨
2.5
3
4
m
X
0
1
2
P
0.64
q2
1−2q
未患病
患病
合计
喝酒
110
40
150
不喝酒
90
10
100
合计
200
50
250
P(χ2≥x0)
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
x0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
x−
y−
u−
i=19(xi−x−)2
i=19(ui−u−)2
i=19(yi−y−)2
i=19(xi−x−)(yi−y−)
i=19(ui−u−)(yi−y−)
6
97.90
0.21
60
0.14
14.12
26.13
−1.40
X
0
1
2
P
0.64
0.16
0.2