江苏省徐州市沛县湖西中学2023-2024学年高二下学期第二次月考（5月）数学试题

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一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
1．C
【分析】解出集合，利用交集的定义可求得集合
【详解】因为，，
所以，.
故选：C.
2．若 ，则等于( )
A．1B．2C．3D．4
2．D
【分析】由分段函数的解析式先求，再求即可.
【详解】由，可得.
所以.
故选D.
【点睛】本题主要考查了分段函数的求值，属于基础题.
3．3名男生和2名女生排成一排，其中女生甲不排两端的不同排法有（ ）
A．36种B．48种C．72种D．120种
3．C
【分析】
首先排好女生甲，再将其余人全排列，按照分步乘法计数原理计算可得.
【详解】依题意首先将女生甲排到除两端外的三个位置中的一个位置，有种排法，
其余名同学全排列，有种排法，
按照分步乘法计数原理可知一共有种排法.
故选：C
4．某射手每次射击击中目标的概率是0.6，且各次射击的结果互不影响，则该射手射击30次恰有18次击中目标的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．B
【分析】依据二项分布的概率公式来解.
【详解】设为射手在30次射击中击中目标的次数，则，
故在30次射击中，恰有18次击中目标的概率为.
故选：B.
5．某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试．经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布，则数学成绩位于[80，88]的人数约为（ ）
参考数据：，，．
A．455B．2718C．6346D．9545
5．B
【分析】根据题设条件结合对称性得出数学成绩位于[80，88]的人数.
【详解】由题意可知，，
则数学成绩位于[80，88]的人数约为.
故选：B
6．某市2018年至2022年新能源汽车年销量y（单位：千台）与年份代号x的数据如下表：
若根据表中的数据用最小二乘法求得y关于x的经验回归直线方程为，则表中m的值为（ ）
A．25B．28C．30D．32
6．C
【分析】
根据线性回归直线方程经过样本中心，即可代入求解.
【详解】
由已知得，回归直线方程为过样本点中心，
∴，即，
∴．
故选：C．
7．已知两个正实数满足，并且恒成立，则实数m的取值范围（ ）
A． B． C． D．
7．B
【分析】将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，结合式子的特点联系基本不等式来求出最小值，得到关于m的不等式，即可得到m的范围.
【详解】因为恒成立，则，
，
当且仅当即时等号成立，所以的最小值为8，
所以，即，解得：.
故选：B
8．函数在区间上有零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8.B
【分析】将题意转化成在区间上有解，设，利用导数求出的取值范围即可得到答案
【详解】解：由题意得在区间上有解，即在区间上有解，
设，所以
令，解得，
所以当，，单调递减；当，，单调递增，
所以，因为
所以，
所以实数a的取值范围是，
故选：B
二、多选题
9．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
9．BC
【分析】设令，利用赋值法可判断ACD选项；利用二项展开式通项可判断B选项.
【详解】令.
对于A选项，，A错；
对于B选项，的展开式通项为，
令，可得，则，B对；
对于C选项，
，C对；
对于D选项，，
所以，，D错.
故选：BC.
10．下列说法正确的是（ ）
A．线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
B．将一组数据中的每个数据都乘2022后，方差也变为原来的2022倍
C．已知回归模型为，则样本点的残差为
D．对于独立性检验，随机变量的观测值值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大
10．CD
【分析】根据相关系数、方差的性质、残差的计算以及独立性检验的计算，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对：线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，故错误；
对：将一组数据中的每个数据都乘2022后，方差变为原来的倍，故错误；
对：当时，，所以样本点的残差为，故正确；
对：对于独立性检验，随机变量的观测值值越小，则“两变量有关系”的把握程度越小，
则判定“两变量有关系”犯错误的概率越大，故正确.
故选：．
11．在平行六面体中，，，，则（ ）
A．平面 B．
C． D．点到平面的距离为
11．ABD
【分析】对于A项，利用图形的几何性质及空间向量的数量积并线面垂直的判定定理即可判断；对于B项，根据空间向量加法法则计算即可；对于C项，由空间向量的数量积计算即可判定；对于D项，利用三余弦定理结合已知条件计算即可；
【详解】
如图所示，连接AC，BD，，作于G点，作GJ⊥AB于J点，
对于A项，由题意可得底面ABCD为菱形，则有AC⊥BD，又，
即，
∵面，故平面，即A正确；
对于B项，显然，
在平行四边形中，又有，即B正确；
对于C项，，
∴，故，即C错误；
对于D项，由A项平面，平面，可得，
又面ABCD，故面ABCD，
面ABCD，则，面，
故面，面，，即均为直角三角形，
∴，
则，即D正确；
故选:ABD
三、填空题
12．已知随机变量的概率分布如下：则的方差为 ．
12．
【分析】根据分布列，利用期望和方差的公式求解.
【详解】由分布列得：，
．
故答案为：.
13．已知空间向量，，，若，，共面，则 ．
13．
【分析】由空间向量基本定理结合题意列方程求解即可.
【详解】若，，共面，则存在实数，使，
即
所以，解得，，．
所以．
故答案为：
已知，则
14．0.74/
【分析】
运用条件概率公式、对立事件概率公式及全概率公式即可求得结果.
【详解】因为，，，
所以，
所以，
所以，
故答案为：0.74.
四、解答题
15．已知函数.
(1)证明：在上单调递增；
(2)求上的最大值与最小值.
15.(1)证明见解析
(2)最小值是1，最大值是
【分析】（1）利用单调性的定义，设，由可证得结论；
（2）由单调性可确定最值点，结合解析式可得最值.
【详解】（1）证明：，且，则
.
由，得，，
于是，即.
所以，函数在区间上单调递增.
（2）因为函数在区间上单调递增，
所以函数在区间的两个端点上分别取得最小值和最大值，即时取得最小值，最小值为，时取得最大值，最大值为.
故的最小值是1，最大值是.
年份
2019
2020
2021
2022
年份代号x
1
2
3
4
年销量y
15
20
m
35
0
1
2
16．甲袋中有5个白球和4个红球，乙袋中有4个白球和5个红球．先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球．
(1)求第一次取出的球是红球的概率；
(2)求第一次取出的球是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率．
17．已知一组数据的散点图如下：
(1)根据散点图计算，的相关系数，并据此判断是否可用线性回归模型拟合与的关系？（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
(2)若可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的线性回归方程，并预测时的值．
附：相关公式及参考数据：，．
回归方程中，，．
17．(1)0.897，可用线性回归模型拟合与的关系
(2)，38
【分析】（1）根据相关公式计算相关系数判定即可；
（2）根据相关公式计算，可得回归方程，代入即可预测结果.
【详解】（1），，
因为，，，
所以，
所以可用线性回归模型拟合与的关系．
（2）因为，，，
所以，所以关于的线性回归方程为．
将代入线性回归方程可得，．
18．为了研究学生是否喜欢篮球运动与性别的关系，某校高二年级随机对该年级50名学生进行了跟踪调查，其中喜欢篮球运动的学生有30人，在余下的学生中，女生占，根据数据制成列联表如下：
(1)根据题意，完成上述列联表，并判断是否有的把握认为喜欢篮球运动和性别有关？
(2)在不喜欢篮球运动的20人中随机抽取2人继续跟踪调查，其中男生人数记为随机变量，求的分布列和数学期望．
附：，其中．
18．(1)表格见解析，有的把握认为喜欢篮球运动和性别有关
(2)分布列见解析，．
【分析】（1）根据条件补充表格，并利用卡方公式计算即可判定；
（2）根据离散型随机变量的取值计算其对应概率得出分布列，再由期望公式计算即可.
【详解】（1）由题意，列联表如下：
提出假设：性别与是否喜欢篮球运动无关．
根据列联表中的数据可以求得，
因为当成立时，的概率约为0.005，
所以有的把握认为喜欢篮球运动和性别有关．
（2）的所有可能取值为0，1，2，
，，，
故随机变量的分布列为
数学期望．
19．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，，分别在棱，上．

(1)当为棱中点时，求证：；
(2)当为棱中点时，求平面与平面所成的二面角余弦值的最大值．
19．(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）以为正交基底建立空间坐标系，设，由，即可证明；
（2）分别求出平面与平面的法向量，由二面角的向量公式结合二次函数的性质即可得出答案.
【详解】（1）因为底面为正方形，所以，又因为平面，，平面，
所以，．以为正交基底建立空间坐标系，
则，，，，．

当为棱中点时，，设，
则，，
所以，所以．
（2）当为棱中点时，，设，
则，，，．
设平面的法向量为，则
取，则是平面的一个法向量，
设平面的法向量为，则
取，则是平面的一个法向量．
设平面与平面所成角为，
则．
令，则，
所以当，即时，取最大值．
所以平面与平面所成的二面角余弦值的最大值为．
参考答案：
1．D
【分析】求出集合，利用集合的运算可得出正确的选项.
【详解】因为或，则，
又因为，则，
.
故选：D.
2．B
【分析】
根据空间向量的共面定理可求的值.
【详解】因为点在外，由空间向量的共面定理可知且；
由题意，所以；
所以，解得.
故选：B.
5．B
【分析】由选项可以推出的即为的一个充分条件，可以通过赋值法来排除不符合的选项.
【详解】对A，因为，，所以不妨设，则，故A不正确;
对B，因为， ，所以，当且仅当时等号成立，故B正确；
对C，因为，，所以不妨设，则，故C不正确；
对D，因为，，所以不妨设，则，故D 不正确.
故选：B.
6．D
【分析】由题意可知先从集合中选两个元素与1对应，然后集合中剩下的3个元素，每个元素都有2种对应形式，再利用分步乘法原理可求得结果.
【详解】由题意可知先从集合中选两个元素与1对应，有种方法，
然后集合中剩下的3个元素，每个元素都有2种对应形式，则有种方法，
所以由分步乘法原理可知这样的函数有个.
故选：D
7．A
【分析】由于，可得，由，利用二项式定理展开可得，从而可比较出大小
【详解】因为，所以，
所以，即，
因为
所以，
所以，
故选：A
8．C
【分析】利用函数的对称性，构造，原不等式可化为，利用其单调性去函数符号解不等式即可.
【详解】由题意可知，设，显然有，
又是定义在上的增函数，易知在上是增函数.
原不等式可化为，
即，解不等式组可得.
故选：C
9．AC
【分析】根据正态分布的对称性以及原则，结合选项一一分析即可得出答案.
【详解】对于A，设两万名高三学生数学期末统考成绩为，则，
所以，则，
所以，
所以该次成绩高于144分的学生约有人，故A正确；
对于B，，
所以，故B不正确；
对于C，因为，
所以
，
若将该次成绩的前2.28%划定为优秀，则优秀分数线约为128分，故C正确；
对于D，试卷平均得分即为，试卷总分，
所以，故D不正确.
故选：AC.
10．ACD
【分析】由，写出展开式的通项，即可求出展开式的系数，即可得解.
【详解】因为，
又展开式的通项为（且），
所以，，
，，
，，故A正确；
所以，故B错误；
所以，故C正确；
所以，故D正确；
故选：ACD
11．ABD
【分析】对于A项，利用图形的几何性质及空间向量的数量积并线面垂直的判定定理即可判断；对于B项，根据空间向量加法法则计算即可；对于C项，由空间向量的数量积计算即可判定；对于D项，利用三余弦定理结合已知条件计算即可；
【详解】
如图所示，连接AC，BD，，作于G点，作GJ⊥AB于J点，
对于A项，由题意可得底面ABCD为菱形，则有AC⊥BD，又，
即，
∵面，故平面，即A正确；
对于B项，显然，
在平行四边形中，又有，即B正确；
对于C项，，
∴，故，即C错误；
对于D项，由A项平面，平面，可得，
又面ABCD，故面ABCD，
面ABCD，则，面，
故面，面，，即均为直角三角形，
∴，
则，即D正确；
故选:ABD
12．AB
【分析】利用条件概率公式和相互独立事件的概率公式对选项一一判断即可.
【详解】对于A，因为，，，
所以，
所以，即，故A正确；
对于B，因为①，，
又因为，所以，所以
代入①可得：，所以，
，所以，故B正确；
对于C，，故C不正确；
对于D，，故D不正确；
故选：AB.
13．
【分析】根据分布列，利用期望和方差的公式求解.
【详解】由分布列得：，
．
故答案为：.
14．
【分析】根据命题与命题的否定的真假性相反，可得“，”为真命题，再利用二次函数的图象特征即可求解.
【详解】由“，”为假命题，
可知“，”为真命题，
设，则有在上恒成立，则须满足：
，解得：，
故答案为：.
15．（答案不唯一，比如，，）
【分析】根据条件写出一个满足题意的函数即可.
【详解】由③可知，在区间上，为减函数；
由可知符合题意.
故答案为：（答案不唯一，比如，，）
16．/
【分析】如图，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.
【详解】如图，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，
则，
因为是的重心，所以，
所以，
设平面的一个法向量为，
因为，
所以，令，则，
因为直线与平面所成角为，
所以（），
所以，化简得，
解得或（舍去）
故答案为：
17．(1)6
(2)225
【分析】（1）根据对数的运算法则及指数对数恒等式计算可得；
（2）写出展开式的通项，即可得到时是有理项，从而得到其系数，即可得解.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
所以．
（2）由（1）可得，
则展开式的通项为，（且）．
所以当时，是有理项，系数分别为，，，
故展开式中有理项的系数之和为．
18．(1)0.897，可用线性回归模型拟合与的关系
(2)，38
【分析】（1）根据相关公式计算相关系数判定即可；
（2）根据相关公式计算，可得回归方程，代入即可预测结果.
【详解】（1），，
因为，，，
所以，
所以可用线性回归模型拟合与的关系．
（2）因为，，，
所以，所以关于的线性回归方程为．
将代入线性回归方程可得，．
19．(1)表格见解析，有的把握认为喜欢篮球运动和性别有关
(2)分布列见解析，．
【分析】（1）根据条件补充表格，并利用卡方公式计算即可判定；
（2）根据离散型随机变量的取值计算其对应概率得出分布列，再由期望公式计算即可.
【详解】（1）由题意，列联表如下：
提出假设：性别与是否喜欢篮球运动无关．
根据列联表中的数据可以求得，
因为当成立时，的概率约为0.005，
所以有的把握认为喜欢篮球运动和性别有关．
（2）的所有可能取值为0，1，2，
，，，
故随机变量的分布列为
数学期望．
20．(1)
(2)．
【分析】（1）根据全概率公式计算即可；
（2）根据全概率公式和条件概率公式计算即可.
【详解】（1）设“取出的是甲袋”为事件，“取出的是乙袋”为事件，“第一次取出的球是红球”为事件，“第二次取出的球是白球”为事件，则．
由题意易得，，
所以．
即第一次取出的球是红球的概率为．
（2），．
故．
所以，
故第一次取出的球是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率为．
21．(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）以为正交基底建立空间坐标系，设，由，即可证明；
（2）分别求出平面与平面的法向量，由二面角的向量公式结合二次函数的性质即可得出答案.
【详解】（1）因为底面为正方形，所以，又因为平面，，平面，
所以，．以为正交基底建立空间坐标系，
则，，，，．

当为棱中点时，，设，
则，，
所以，所以．
（2）当为棱中点时，，设，
则，，，．
设平面的法向量为，则
取，则是平面的一个法向量，
设平面的法向量为，则
取，则是平面的一个法向量．
设平面与平面所成角为，
则．
令，则，
所以当，即时，取最大值．
所以平面与平面所成的二面角余弦值的最大值为．
22．(1)
(2)．
【分析】（1）分类讨论去绝对值符号，根据二次函数的图象与性质及零点存在性定理计算即可；
（2）结合（1）的结论，分类讨论找出零点所属分段函数的哪一段，计算即可.
【详解】（1）①当时，，
令，解得，，，所以有三个零点，符合题意；
②当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，如图所示，绘制函数草图，要满足函数有三个零点，则；
③当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，如图所示，绘制函数草图，要满足函数有三个零点，则，，解得，所以．
综上所述，的取值范围是．
（2）当时，，
当时，，
所以是函数的两个零点，所以，
因为，所以，
①当时，为函数较大零点，
所以，所以；
②当时，，所以为较大零点，
所以，所以；
③当时，，所以为较小零点，
所以，
将其看成关于的函数，可知其在上单调递减，
所以，所以．
综上所述，实数的取值范围是．
男生
女生
合计
喜欢
20
30
不喜欢
20
合计
50
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
男生
女生
合计
喜欢
20
10
30
不喜欢
5
15
20
合计
25
25
50
0
1
2
男生
女生
合计
喜欢
20
10
30
不喜欢
5
15
20
合计
25
25
50
0
1
2