陕西省西安市五校联考2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份陕西省西安市五校联考2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试卷（Word版附解析），共24页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分等内容，欢迎下载使用。

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.
一、选择题：
1. 若A，B，当取最小值时，x的值等于（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，在平行六面体中，若，则有序实数组（ ）

A.
B.
C.
D.
3. 已知空间中三个点组成一个三角形，分别在线段上取三点，当周长最小时，直线与直线的交点坐标为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知直线和直线，下列说法不正确的是（ ）
A. 始终过定点B. 若，则或
C. 若，则或2D. 当时，始终不过第三象限
5. 已知直线与圆，则圆上的点到直线的距离的最小值为（ ）
A. 1B. C. D.
6. 过圆上的动点作圆的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为（ ）
A B. C. D.
7. 已知椭圆，则下列关于椭圆的说法正确的是（ ）
A. 离心率为B. 焦点为
C. 长轴长为4D. 椭圆上的点的横坐标取值范围为
8. 意大利数学家斐波那契在1202年所著的《算盘全书》中，记载有数列，.若将数列的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列，则数列的前100项和为（ ）
A. 100B. 99C. 67D. 66
9. 设数列的前n项和为，则“对任意，”是“数列为递增数列”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不是充分也不是必要条件
10. 已知，函数，若在上是单调减函数，则取值范围是
A. B. C. D.
11. 若函数，则（ ）
A. 函数只有极大值没有极小值B. 函数只有最大值没有最小值
C. 函数只有极小值没有极大值D. 函数只有最小值没有最大值
12. 设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题
13. 在四棱锥中，面，四边形为直角梯形，，，，则平面与平面夹角的余弦值为______，异面直线与的距离为______．
14. 圆的圆心到直线的距离______.
15. 已知N为抛物线上的任意一点，M为圆上的一点，，则的最小值为__________．
16. 定义在R上的奇函数的导函数满足，且，若，则不等式的解集为____.
三、解答题：
17. 如图，三棱柱的侧棱底面，，E是棱上的动点，F是的中点，，，．
（1）当是棱的中点时，求证：平面；
（2）在棱上是否存在点，使得二面角余弦值是？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
18. 已知圆心为的圆经过点，.
（1）求圆的标准方程；
（2）已知在圆C外，求的取值范围.
19. 如图1，已知抛物线的方程为，直线的方程为，直线交抛物线于两点为坐标原点.
（1）若，求的面积的大小；
（2）的大小是否是定值？证明你的结论；
（3）如图2，过点分别作抛物线的切线和（两切线交点为），分别与轴交于，求面积的最小值.
20. 已知等差数列的公差为，等比数列的公比为，若，且，，，成等差数列．
（1）求数列，通项公式；
（2）记，数列前项和为，数列的前项和为，若对任意正整数，恒成立，求实数的取值范围．
21. 已知函数．
（1）求函数的单调区间与极值；
（2）求函数在区间上的最值．高二数学期末检测卷
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.
一、选择题：
1. 若A，B，当取最小值时，x的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量的坐标公式求得的坐标，再利用向量模的坐标公式求解.
【详解】因为A，B，
所以，
则 ，
，
当 时，取最小值，
故选：C
2. 如图，在平行六面体中，若，则有序实数组（ ）

A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量的加减运算，结合空间向量的基本定理即可求得答案.
【详解】由题意得
,
结合可得，
故，
故选：C
3. 已知空间中三个点组成一个三角形，分别在线段上取三点，当周长最小时，直线与直线的交点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】当为三角形的垂足三角形时候周长最小，此时与的交点即为三角形的垂心.
【详解】如图所示：
先固定D不动，分别作D关于和的对称点，连接，设分别与和交于点，
利用几何关系可知与的交点即为三角形的垂心，
从而，即，
不妨设垂心，坐标原点为，
则，
所以有，即垂心的坐标满足,
又四点共面，
从而由四点共面的充要条件可知，
，
从而，结合，
解得.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：解决问题的关键是分析出当周长最小时，与的交点即为三角形的垂心，再求垂心时，除了利用垂直转换为数量积为0以外，还要注意四点共面的充要条件的应用，否则只能算出比例.
4. 已知直线和直线，下列说法不正确的是（ ）
A. 始终过定点B. 若，则或
C. 若，则或2D. 当时，始终不过第三象限
【答案】B
【解析】
【分析】对于A选项，提出让其前面的系数为，即可验证A正确.对于B选项，当则与重合，故B错误.利用两直线垂直，即可得到，得到C正确.把直线化为斜截式方程，找到恒过定点，即可验证D正确
【详解】，，，即始终过定点，故A正确. 若，当则与重合，故B错误.或，故C正确. 当时，直线始终过点，斜率负，不会过第三象限，故D正确.
故选：B.
5. 已知直线与圆，则圆上的点到直线的距离的最小值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】确定圆心和半径，计算圆心到直线的距离，再计算最小值得到答案.
【详解】圆，圆心为，半径，
圆心到直线的距离为，直线和圆相离，
故圆上的点到直线的距离的最小值为.
故选：B
6. 过圆上的动点作圆的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出切点弦的方程后可求不在任何切点弦上的点形成的区域的面积.
【详解】
设圆的动点为，过作圆的切线，切点分别为，
则过的圆是以直径的圆，该圆的方程为：.
由可得的直线方程为：.
原点到直线的距离为，
故圆不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为，
故选：A.
7. 已知椭圆，则下列关于椭圆的说法正确的是（ ）
A. 离心率为B. 焦点为
C. 长轴长为4D. 椭圆上的点的横坐标取值范围为
【答案】C
【解析】
【分析】根据椭圆的几何性质即可判断选项正误.
【详解】由椭圆方程，可知，，所以，
所以，故A错误；
由方程可知，焦点在x轴上，故焦点坐标为，故B错误；
长轴长为，故C正确；
因焦点在x轴上，所以椭圆上的点的横坐标的取值范围是，即为，故D错误.
故选：C.
8. 意大利数学家斐波那契在1202年所著的《算盘全书》中，记载有数列，.若将数列的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列，则数列的前100项和为（ ）
A. 100B. 99C. 67D. 66
【答案】C
【解析】
【分析】因为数列中的奇数除以2所得的余数都是1，偶数除以2所得的余数都是0，所以根据，且，可知数列是周期数列，周期为3，根据周期性可得答案.
【详解】因为数列中的奇数除以2所得的余数都是1，偶数除以2所得的余数都是0，
因为，且，所以为奇数，为奇数，为偶数，为奇数，为奇数，为偶数，，为奇数，为奇数，为偶数，为奇数，，
所以，，，，，，，，，，，，所以数列是周期数列，周期为3，
所以数列的前100项和为：.
故选：C.
【点睛】本题考查了数的整除问题，考查了数列的周期性，考查了利用数列的周期性求和，属于基础题.
9. 设数列的前n项和为，则“对任意，”是“数列为递增数列”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不是充分也不是必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，分别判断充分性和必要性是否成立即可.
【详解】数列中，对任意，，
则，
所以数列为递增数列，充分性成立；
当数列为递增数列时，，
即，所以，，
如数列不满足题意，必要性不成立；
所以“对任意，”是“数列为递增数列”的充分不必要条件.
故选：A
10. 已知，函数，若在上是单调减函数，则的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的解析式，可求导函数，根据导函数与单调性的关系，可以得到；分离参数 ，根据所得函数的特征求出 的取值范围.
【详解】因为
所以

因为在上是单调减函数
所以
即
所以
当时， 恒成立
当 时，


令 ，可知双刀函数，在 上为增函数，所以
即
所以选C
【点睛】导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；
（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）..
11. 若函数，则（ ）
A. 函数只有极大值没有极小值B. 函数只有最大值没有最小值
C. 函数只有极小值没有极大值D. 函数只有最小值没有最大值
【答案】CD
【解析】
【分析】由导数法研究函数的极值、最值.
【详解】，单调递增，由，
则.
∴函数有唯一极小值，即最小值，没有极大值、最大值.
故选：CD.
12. 设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用互为反函数的两个函数图象关于直线对称，可将问题转化为求到直线距离的最小值，利用切线找到距离最近的点即可解决问题.
【详解】∵函数与函数互为反函数，
∴函数与函数的图象关于直线对称，
∴的最小值是点到直线的最短距离的2倍，
设曲线上斜率为1的切线为，
∵，由得，
即切点为（，2），
∴ ，
∴切线到直线的距离，
∴两点间的最短距离为2=．
故选:B．
二、填空题
13. 在四棱锥中，面，四边形为直角梯形，，，，则平面与平面夹角的余弦值为______，异面直线与的距离为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】第一空，建系利用空间向量求解即可；第二空，与的距离即为到平面的距离，即点C到面的距离，用等体积求解即可．
【详解】第一空，
∵⊥面，，面，
∴，．
又∵，∴，
∴，，两两垂直．
∴以A为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，，
，，，，
设，分别为平面与平面的法向量，则
，即，令，取，
，即，令，取，
则，
设平面与平面的夹角为θ，
则，
∴平面与平面夹角的余弦值为．
第二空，
如图，取中点M，连接，，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵面，面，
∴面，
∴与的距离为到面的距离，
即点C到面的距离．
设点C到面的距离为h，
，，
由，
得，
解得，
∴异面直线与的距离为．
故答案为：，.
14. 圆的圆心到直线的距离______.
【答案】3
【解析】
【分析】由标准方程得到圆心，再由点到直线的距离得到结果.
【详解】由已知可得圆的标准方程为，圆心为，
所以圆心到直线的距离，
故答案为：3.
15. 已知N为抛物线上的任意一点，M为圆上的一点，，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意画出示意图，由图中几何关系取线段中点，中点，连接，可证得所以，即，可得，即可将转化为，然后根据当、、三点不共线时，，当、、三点共线时，，将问题转化为的最小值即为的最小值，再根据两点间距离公式求出的最小值即可.
【详解】
根据题意可得抛物线与圆都关于轴对称，且圆的圆心坐标为，半径为.
因为，圆下方与轴交点坐标为，
取线段中点，中点，可得，连接，画出示意图如上图所示.
因为、分别为和的中点，
所以，，所以，
又因为，，
所以，所以，
因为，所以，
所以，
当且仅当、、三点共线时取到等号，此时点为线段与圆的交点.
所以的最小值即为的最小值.
因为N为抛物线上的任意一点，设，，
因为，
则，
当时，，
即最小值为.
故答案为：.
16. 定义在R上的奇函数的导函数满足，且，若，则不等式的解集为____.
【答案】
【解析】
【分析】令，易得在R上递减，再由，得到是以4为周期的周期函数，然后由，得到，由求解.
【详解】解：令，则，
所以在R上递减，
又，则，
即，
所以是以4为周期周期函数，
又，则，
所以，则，
所以不等式的解集为，
故答案为：
三、解答题：
17. 如图，三棱柱的侧棱底面，，E是棱上的动点，F是的中点，，，．
（1）当是棱的中点时，求证：平面；
（2）在棱上是否存在点，使得二面角的余弦值是？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.
【解析】
【分析】（1）取的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得平面；
（2）以为坐标原点，射线、、分别为轴、轴、轴正半轴建立空间直角坐标系，设点，利用空间向量法可得出关于的方程，结合的取值范围可求得的值，由此可得出结论.
【详解】（1）证明：取的中点，连接、．
、分别是、的中点，且，
在三棱柱中，且，
为中点，则且，且，
所以，四边形为平行四边形，则，
平面，平面，平面；
（2）以为坐标原点，射线、、分别为轴、轴、轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则、、，，
设，平面的一个法向量为，则，
由，得，令，可得，
易得平面的一个法向量为，
二面角的余弦值为，即
整理得，
，解得.
因此，在棱上存在点，使得二面角的余弦值是，此时．
【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角的动点问题，考查计算能力与推理能力，属于中等题.
18. 已知圆心为的圆经过点，.
（1）求圆的标准方程；
（2）已知在圆C外，求的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）设圆的标准方程为：，代入，，求解即可；
（2）因为在圆C外，所以，代入求解即可.
【小问1详解】
解：设圆的标准方程为：，
代入，，
得，解得：，
所以圆的标准方程为：；
【小问2详解】
解：因为在圆C外，
所以，
又因为，，
所以，
解得或，
所以的取值范围为：.
19. 如图1，已知抛物线的方程为，直线的方程为，直线交抛物线于两点为坐标原点.
（1）若，求的面积的大小；
（2）的大小是否是定值？证明你的结论；
（3）如图2，过点分别作抛物线的切线和（两切线交点为），分别与轴交于，求面积的最小值.
【答案】19. 1 20. 是定值，证明见解析
21.
【解析】
【分析】（1）求得的坐标，进而求得的面积.
（2）通过证明来得到的大小是定值.
（3）利用导数求得切线方程，求得的坐标，进而求得面积的表达式，并根据二次函数的性质求得其最小值.
【小问1详解】
当时，直线的方程为，
由解得，
所以的面积为.
【小问2详解】
由（1）中发现等腰直角三角形，猜测.
证明：，
得，即，，
所以，所以为定值.
【小问3详解】
，对函数求导得到，
所以方程为，整理得，
同理方程为，
分别令得到，
，解得，
由第（2）小题，，得到，
所以，
所以面积的最小值为.
【点睛】求直线和圆锥曲线交点的坐标，可以通过联立方程组来进行求解，如果含有参数，则可以考虑利用根与系数关系来对问题进行求解，此时如果直线和圆锥曲线有两个不同的公共点，则需要利用判别式来进行确认.
20. 已知等差数列的公差为，等比数列的公比为，若，且，，，成等差数列．
（1）求数列，的通项公式；
（2）记，数列的前项和为，数列的前项和为，若对任意正整数，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1），（2）
【解析】
【分析】（1）分别根据，和成等差数列，分别表示为和的方程组，求出首项，即得通项公式；（2）根据（1）的结果可求得，并且求出,利用裂项相消法求和，转化为，恒成立，转化为求数列的最值.
【详解】解：（1）因为，，成等差数列，所以①，
又因为，，成等差数列，所以，得②，
由①②得，．所以，.
（2），.
.
.
令，则，
则，
所以，当时，，当时，
所以的最小值为.
又恒成立，所以，．
【点睛】本题考查了数列通项的求法，和求数列的前项和的方法，以及和函数结合考查数列的最值，尤其在考查数列最值时，需先判断函数的单调性，判断的正负，根据单调性求函数的最值.
21. 已知函数．
（1）求函数的单调区间与极值；
（2）求函数在区间上的最值．
【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是，极大值是，极小值是
（2）最大值为，最小值为．
【解析】
【分析】（1）对求导，根据导数的正负确定函数的单调区间，进一步确定极值即可；
（2）根据极值和端点值即可确定最值.
【小问1详解】
．
令，得或；令，得，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是．
所以的极大值是，的极小值是．
【小问2详解】
因为，
由（1）知，在区间上，有极小值，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为．