2022-2023学年海南省儋州市川绵中学高二下学期期末考试数学试题含答案

2022-2023学年海南省儋州市川绵中学高二下学期期末考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（     ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据集合的交集运算即可.

【详解】集合，所以.

故选：B.

2．已知全部是正项的等比数列的前项和为，若，则其公比为（　　）

A．3 B．﹣1 C．1 D．2

【答案】D

【分析】设公比为，根据条件列出方程求解即可．

【详解】设该等比数列的公比为，

由可得，，

即，又等比数列每一项均是正数，于是，

由可解得.

故选：D

3．函数的极小值为（　　）

A． B．1 C．0 D．不存在

【答案】A

【分析】利用导数研究函数单调性，求解函数极小值.

【详解】函数，定义域为，，

，解得；，解得，

在上单调递减，在上单调递增，

时有极小值，极小值为.

故选：A

4．已知数列是等差数列，若，则等于（    ）

A．7 B．21 C．14 D．17

【答案】C

【分析】由条件结合等差数列的性质可求，再结合等差数列性质求.

【详解】由等差数列性质，数列为等差数列，若，，

则，

因为数列为等差数列，，

所以，又，

所以，

因为数列为等差数列，，

所以，

故选：C.

5．已知的展开式中的系数是10，则实数a的值是（    ）

A． B．1 C．2 D．

【答案】B

【分析】根据题意结合二项展开式的通项公式运算求解.

【详解】因为的二项展开式通项为，

令，解得，可得，

由题意可得：，解得.

故选：B.

6．某数学兴趣小组把两个0、一个2、一个1与一个7组成一个五位数（如20107），若其中两个0不相邻，则这个五位数的个数为（    ）

A．18 B．36 C．72 D．144

【答案】A

【分析】由于三个0均不相邻，所以采用插空法，第一步排列一个2，一个1，一个7，第二步再把0插入其中五个空，即可得答案．

【详解】利用插空法，第一步排列一个2，一个1，一个7，

共有种排法，

第二步最前面不能排0,再把0插入其中3个空,，所以有种排法，

所以共有个五位数．

故选： A

7．随机变量的分布列为

则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据分布列的性质求出，再根据方差公式可求出结果.

【详解】由，得，

，

.

故选：A

8．已知，为两个随机事件，，，，，则（    ）

A．0.1 B． C．0.33 D．

【答案】B

【分析】根据互斥、对立事件的加法公式和条件概率公式和乘法公式即可求解。

【详解】，

所以，

，

所以，

所以，

即，

所以，

即，

解得，

故选：B.

二、多选题

9．已知函数的导函数的图象大致如图所示，下列结论正确的是（    ）

A．在上单调递增 B．在上单调递增

C．曲线在处的切线的斜率为0 D．曲线在处的切线的斜率为4

【答案】BD

【分析】根据导数的正负与函数单调性的关系可判断A，B；根据导数的几何意义可判断C，D.

【详解】由导函数的图象可知当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增，A错误；

由图象可知当时，，在上单调递增，B正确；

由于，根据导数的几何意义可知在处的切线的斜率为4，C错误，D正确，

故选：BD

10．已知数列中，，下列说法正确的是（    ）

A．若是等比数列，则

B．若是等比数列，则

C．若是等差数列，则

D．若是等差数列，则公差为

【答案】BD

【分析】分情况讨论，分别代入等差、等比数列的通项公式计算即可．

【详解】若是等比数列，则，，

，正确，A不正确；

若是等差数列，则公差，正确，C不正确．

故选：．

11．随机变量的分布列如表：其中，下列说法正确的是（    ）

A． B．

C．有最大值 D．随y的增大而减小

【答案】ABC

【分析】利用分布列的性质以及期望与方差公式，列出表达式，结合二次函数的性质判断选项的正误即可．

【详解】由题意可知，即，故A正确；

，故B正确；

，

因为，，易得，

而开口向下，对称轴为，

所以在上单调递增，在上单调递减，

故在处取得最大值，

所以随着y的增大先增大后减小，当时取得最大值，故C正确，D错误.

故选：ABC.

12．袋中装有除颜色外完全相同的1个红球和2个白球，从袋中不放回的依次抽取2个球.记事件A=“第一次抽到的是白球”，事件B=“第二次抽到的是白球”，则（    ）

A．事件A与事件B互斥 B．事件A与事件B相互独立

C． D．

【答案】CD

【分析】根据互斥事件以及相互独立事件的概念，可判断A,B; 事件B=“第二次抽到的是白球”，分两种情况，即第一次抽到红球第二次抽到白球和第一次抽到白球第二次也抽到白球，由此判断C;根据条件概率的公式计算，可判断D.

【详解】对于A,由于第一次抽到的是白球和第二次抽到白球，可以同时发生，

故事件A与事件B不互斥，A错误；

对于B，由于是从袋中不放回的依次抽取2个球，因此第一次抽球的结果对第二次抽到什么颜色的球是有影响的，因此事件A与事件B不是相互独立关系，B错误；

对于C，事件B=“第二次抽到的是白球”，分两种情况，即第一次抽到红球第二次抽到白球和第一次抽到白球第二次也抽到白球，

故，故C正确；

对于D， ,故,故D正确，

故选：CD

三、填空题

13．在等差数列中，，则         ．

【答案】25

【分析】根据等差数列性质分析运算.

【详解】因为为等差数列，所以.

故答案为：25.

14．曲线在点处的切线方程为          

【答案】

【分析】根据导数的几何意义求解即可.

【详解】由，

所以，

所以，

所以曲线在点处的切线斜率为2，

所以所求切线方程为，即.

故答案为：.

15．某校高二学生一次数学诊断考试成绩（单位：分）服从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为事件，记该同学的成绩为事件，则在事件发生的条件下事件发生的概率      ．（结果用分数表示）

附参考数据：；；．

【答案】

【分析】计算出和，然后利用条件概率公式可得出的值.

【详解】由题意可知，，事件为，，，

所以，，

，

由条件概率公式得，故答案为.

【点睛】本题考查条件概率的计算，同时也考查了正态分布原则计算概率，解题时要将相应的事件转化为正态分布事件，充分利用正态密度曲线的对称性计算，考查计算能力，属于中等题.

16．现有两个罐子，1号罐子中装有2个红球､1个黑球，2号罐子中装有3个红球､1个黑球.现先从1号罐子中随机取出一个球放入2号罐子，再从2号罐子中取一个球，则从2号罐子中取出的球是红球的概率为          .

【答案】

【分析】根据给定条件，利用全概率公式求解作答.

【详解】记1号罐子中取出红球的事件为，取出黑球的事件为，从2号罐子中取出红球的事件为，

显然互斥，，

所以.

故答案为：

四、解答题

17．等差数列的首项，且满足，数列满足.

(1)求数列的通项公式；

(2)设数列的前项和是，求.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由已知可得，代入，求出，即可得到通项公式；

（2）由（1）知，，得到是为首项，以4为公比的等比数列.进而根据等比数列前项和公式，即可求出答案.

【详解】（1）解：设公差为.

由可得，.

又，所以.

所以.

（2）解：由（1）知，.

则，故是为首项，以4为公比的等比数列.

所以.

18．已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求函数的极值．

【答案】(1)

(2)极小值，无极大值

【分析】（1）由导数的几何意义，求在处的斜率，进而得到切线方程；

（2）根据导函数的正负判断单调区间，再求极值即可.

【详解】（1）由题知，，，

∴，而，

∴曲线在点处的切线方程为，即．

（2）令得；令得，

∴的单调减区间是，的单调增区间是．

∴当时，取极小值，无极大值．

19．已知，求：

（1）的值；

（2）及的值；

【答案】（1）-1；（2）1093，-1094.

【分析】(1)将代入等式计算即可；

(2)利用赋值法可得

和，两式加减计算即可.

【详解】详解：令.

（1）；

（2）由赋值法可得，

所以，，

；

20．一盒中装有大小和质地相同的3个白球和2个红球，现从该盒中任取2球，记随机变量表示从该盒中取出的红球个数．

(1)求随机变量的分布列；

(2)求随机变量的期望和方差．

【答案】(1)见解析

(2)期望为，方差为.

【分析】(1)先写出随机变量的所有可能取值，分别求概率，即可得到随机变量的分布列；

(2) 由(1)所求出的分布列代入期望和方差的公式即可求出随机变量的期望和方差．

【详解】（1）由题可知，随机变量可能的取值有，

所以

所以随机变量的分布列为：

（2）由(1)的分布列得，

．

21．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球次均命中的概率为．

（1）求甲投球次，命中次的概率；

（2）若乙投球次，设命中的次数为，求的分布列．

【答案】（1）；（2）答案见解析．

【分析】（1）甲投球次，命中次人两种情况：第一次命中第二次没有命中，第一次没有命中第二次命中，然后利用互斥事件的概率加法公式求解即可，

（2）由题意可求得，服从，则利用二项分布的概率公式求解出对应的概率，从而可列出分布列

【详解】解：（1）设“甲投球一次命中”为事件，

则，

故甲投球次命中次的概率为

（2） 设“乙投球一次命中”为事件．

由题意得， 解得，

所以，

由题意得服从，则

22．已知函数.

(1)当时，求f（x）的极值；

(2)若函数f（x）至少有两个不同的零点，求a的最大值.

【答案】(1)极大值，极小值

(2)-3

【分析】（1）先求出单调区间再分别求出极值；

（2）通过参变分离转化为研究的单调性和图像，进而求出参数范围.

【详解】（1）解：f（x）的定义域是（0，+∞），当时，

.

或.

或，故f（x）在区间（0，）与（1，+∞）单调递增，

，故f（x）在区间单调递减

所以当时，f（x）有极大值

当时，f（x）有极小值

（2）f（x）至少有两个不同的零点，

则等价于方程至少有两个相异实数根，

由，得

设，则，

令，则，

令，可得或（舍）.

所以在（0，）上，，h（x）单调递减，

在（，+∞）上，，h（x）单调递增，

所以函数h（x）的最小值为，

又，所以当时，

又，

因此必存在唯一，使得.

当x变化时，h（x），，F（x）的变化情况如下表

当时，F（x）有极大值，当时，F（x）有极小值F（1）

又，，且时，

所以可得时，

直线与函数的图象至少有两个公共点，

所以a的最大值为-3.