湖南省长沙市周南中学2024届高三下学期数学三模试卷（2）

这是一份湖南省长沙市周南中学2024届高三下学期数学三模试卷（2），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）若复数（1﹣3i）z＝3﹣i（i为虚数单位），则|z|﹣z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且2a5＝a4+5，则S11的值是（ ）
A．11B．50C．55D．60
3．（5分）给定整数n≥3，有n个实数元素的集合S，定义其相伴数集T＝{|a﹣b||a，b∈S，a≠b}，如果min（T）＝1，则称集合S为一个n元规范数集．（注：min（X）表示数集X中的报小数）．对于集合M＝{﹣0.1，﹣1.1，2，2.5}、N＝{﹣1.5，﹣0.5，0.5，1.5}，则（ ）
A．M是规范数集：N不是规范数集
B．M是规范数集：N是规范数集
C．M不是规范数集：N是规范数集
D．M不是规范数集：N不是规范数集
4．（5分）已知变量x和y的统计数据如表：
根据上表可得回归直线方程，据此可以预测当x＝8时，y＝（ ）
A．8.5B．9C．9.5D．10
5．（5分）若3sinα+4csα＝5，则＝（ ）
A．﹣7B．7C．D．
6．（5分）陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县新石器时代遗址中发现的．如图所示是一个陀螺立体结构图，已知底面圆的直径AB＝8cm，圆柱体部分的高BC＝5cm，圆锥体部分的高CD＝3cm，则这个陀螺的表面积（单位：cm2）是（ ）
A．60πB．76πC．92πD．96π
7．（5分）过抛物线y2＝8x焦点F的直线交该抛物线于点M，N，已知点M在第一象限，过M作该抛物线准线的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为120°，则|MN|的长度为（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，f（x+1）是偶函数，当时，f（x）＝ln（1﹣2x），则曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为（ ）
A．B．C．2D．﹣2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．（6分）下列说法正确的是（ ）
A．若ac2＞bc2，则a＞b
B．的最小值为2
C．
D．的最小值为2
（多选）10．（6分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0（m∈R），则（ ）
A．直线l过定点（3，1）
B．圆C被x轴截得的弦长为
C．当m＝﹣2时，圆C上恰有2个点到直线l距离等于4
D．直线l被圆C截得的弦长最短时，l的方程为2x﹣y﹣5＝0
（多选）11．（6分）如图，在四面体P﹣ABC中，AB＝BC＝2，BA⊥BC，PA＝PB＝PC＝4，O为AC的中点，点M是棱BC的点，则（ ）
A．AC⊥平面POB
B．四面体P﹣ABC的体积为
C．四面体P﹣ABC外接球的半径为
D．M为BC中点，直线PC与平面PAM所成角最大
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（5分）已知二项式（x﹣2y）n展开式中第三项的二项式系数为6，那么n＝ ；展开式的第二项的系数为 ．
13．（5分）如图所示，已知△ABC满足BC＝8，AC＝3AB，P为△ABC所在平面内一点．定义点集D＝{P|，λ∈R}．若存在点P0∈D，使得对任意P∈D，满足|≥||恒成立，则||的最大值为 ．
14．（5分）已知函数，数列{an}满足a1＝a2＝1，，f（a2）+f（a3+a4）＝0，则＝ ．
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinC＝．
（1）求a的值；
（2）若△ABC外接圆的半径为，且A为锐角，求△ABC面积的最大值．
16．（15分）某保险公司为了给年龄在20～70岁的民众提供某种疾病的医疗保障，设计了一款针对该疾病的保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名进行分析，这100个样本按年龄段[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70]分成了五组，其频率分布直方图如下图所示，每人每年所交纳的保费与参保年龄如下表格所示．（保费：元）据统计，该公司每年为该项保险支出的各种费用为一百万元．
（1）用样本的频率分布估计总体的概率分布，为使公司不亏本，则保费x至少为多少元？（精确到整数）
（2）随着年龄的增加，该疾病患病的概率越来越大，经调查，年龄在[50，60）的老人中每15人就有1人患该项疾病，年龄在[60，70]的老人中每10人就有1人患该项疾病，现分别从年龄在[50，60）和[60，70]的老人中各随机选取1人，记X表示选取的这2人中患该疾病的人数，求X的数学期望．
17．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是菱形，，△ABP是正三角形，G是△BCD的重心，点F满足．
（1）求证：FG∥平面BCP；
（2）若，求直线BG与平面BCP所成角的正弦值．
18．（17分）已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且．
（1）求a1和a2的值，并求出数列{an}的通项公式；
（2）证明：；
（3）设，求[T2024]的值（其中[x]表示不超过x的最大整数）．
19．（17分）曲线的曲率是描述几何弯曲程度的量，曲率越大，曲线的弯曲程度越大．曲线在点M处的曲率（其中y′表示函数y＝f（x）在点M处的导数，y″表示导函数f′（x）在点M处的导数）．在曲线y＝f（x）上点M处的法线（过该点且垂直于该点处的切线的直线为曲线在此处的法线）指向曲线凹的一侧上取一点D，使得，则称以D为圆心，以ρ为半径的圆为曲线在M处的曲率圆，因为此曲率圆与曲线弧度密切程度非常好，且再没有圆能介于此圆与曲线之间而与曲线相切，所以又称此圆为曲线在此处的密切圆．
（1）求出曲线在点处的曲率，并在曲线C2：xy＝1的图象上找一个点E，使曲线C2在点E处的曲率与曲线C1在点处的曲率相同；
（2）若要在曲线上支凹侧放置圆C3使其能在处与曲线C1相切且半径最大，求圆C3的方程；
（3）在（2）的条件下，在圆C3上任取一点P，曲线C1上任取关于原点对称的两点A，B，求的最大值．
2024年湖南省长沙市周南中学高考数学三模试卷（2）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）若复数（1﹣3i）z＝3﹣i（i为虚数单位），则|z|﹣z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：，则|z|＝1，
|z|﹣z＝﹣i，则|z|﹣z在复平面内对应的点为（，﹣），位于第四象限．
故选：D．
2．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且2a5＝a4+5，则S11的值是（ ）
A．11B．50C．55D．60
【解答】解：等差数列{an}中，2a5＝a4+5，
由等差数列{an}的性质可得，a6＝2a5﹣a4＝5，
则．
故选：C．
3．（5分）给定整数n≥3，有n个实数元素的集合S，定义其相伴数集T＝{|a﹣b||a，b∈S，a≠b}，如果min（T）＝1，则称集合S为一个n元规范数集．（注：min（X）表示数集X中的报小数）．对于集合M＝{﹣0.1，﹣1.1，2，2.5}、N＝{﹣1.5，﹣0.5，0.5，1.5}，则（ ）
A．M是规范数集：N不是规范数集
B．M是规范数集：N是规范数集
C．M不是规范数集：N是规范数集
D．M不是规范数集：N不是规范数集
【解答】解：由规范数集的定义可知，对于M，min（T）＝|2.5﹣2|＝0.5，所以M不是规范数集；对于N，min（T）＝|0.5﹣（﹣0.5）|＝1，所以N是规范数集．
故选：C．
4．（5分）已知变量x和y的统计数据如表：
根据上表可得回归直线方程，据此可以预测当x＝8时，y＝（ ）
A．8.5B．9C．9.5D．10
【解答】解：，，
则样本点的中心为（3，7），代入，
得，∴，
∴，
取x＝8时，预测y＝0.6×8+5.2＝10．
故选：D．
5．（5分）若3sinα+4csα＝5，则＝（ ）
A．﹣7B．7C．D．
【解答】解：∵3sinα+4csα＝5，∴，
∴，整理得：25cs2α﹣40csα+16＝0，解得，，
∴，
∴．
故选：B．
6．（5分）陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县新石器时代遗址中发现的．如图所示是一个陀螺立体结构图，已知底面圆的直径AB＝8cm，圆柱体部分的高BC＝5cm，圆锥体部分的高CD＝3cm，则这个陀螺的表面积（单位：cm2）是（ ）
A．60πB．76πC．92πD．96π
【解答】解：由题意可得圆锥体的母线长为，
所以圆锥体的侧面积为，
圆柱体的侧面积为8π×5＝40π，圆柱的底面面积为π×42＝16π，
所以此陀螺的表面积为40π+20π+16π＝76π（cm2）．
故选：B．
7．（5分）过抛物线y2＝8x焦点F的直线交该抛物线于点M，N，已知点M在第一象限，过M作该抛物线准线的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为120°，则|MN|的长度为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：根据平行线的性质及抛物线的性质易得直线MN的倾斜角θ＝60°，
∴|MF|＝p+|MF|csθ，解得|MF|＝，
同理可得|NF|＝，
∴|MN|＝|MF|+|NF|＝+＝＝＝．
故选：C．
8．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，f（x+1）是偶函数，当时，f（x）＝ln（1﹣2x），则曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为（ ）
A．B．C．2D．﹣2
【解答】解：根据题意，函数f（x）的定义域为R，f（x+1）是偶函数，则f（1+x）＝f（1﹣x），
两边同时求导可得：f′（1+x）＝﹣f′（1﹣x），
当时，f（x）＝ln（1﹣2x），求导可得f′（x）＝，则有f（0）＝﹣2，
又由f′（1+x）＝﹣f′（1﹣x），
令x＝1可得：f′（2）＝﹣f′（0）＝2，
则曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为2．
故选：C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．（6分）下列说法正确的是（ ）
A．若ac2＞bc2，则a＞b
B．的最小值为2
C．
D．的最小值为2
【解答】解：A中，由ac2＞bc2，则c2＞0，所以a＞b，所以A正确；
B中，当＜0时，显然+＜0，所以B不正确；
C中，因为m＞0，a＞b，所以﹣＝＝，
可知m（a﹣b）＞0，当a（a+m）符号不确定，所以﹣的符号不确定，不能比较与的大小，所以C不正确；
D中，因为≥1，所以+≥2＝2，当且仅当＝时，即sinx＝0时等号成立，所以D正确．
故选：AD．
（多选）10．（6分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0（m∈R），则（ ）
A．直线l过定点（3，1）
B．圆C被x轴截得的弦长为
C．当m＝﹣2时，圆C上恰有2个点到直线l距离等于4
D．直线l被圆C截得的弦长最短时，l的方程为2x﹣y﹣5＝0
【解答】解：A选项，l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0变形为（2x+y﹣7）m+x+y﹣4＝0，
令，解得，
故直线l恒过定点A（3，1），选项A正确；
B选项，C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25中令y＝0得，
故圆C被x轴截得的弦长为，B错误；
C选项，当m＝﹣2时，l：﹣3x﹣y+10＝0，圆心C（1，2）到l的距离为，
由，可知圆C上恰有2个点到直线l距离等于4，选项C正确；
D选项，C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25的圆心为C（1，2），
当直线l与AC垂直时，直线l被圆C截得的弦长最短，其中，
此时k1＝2，方程为y﹣1＝2（x﹣3），
故直线l被圆C截得的弦长最短时，方程为2x﹣y﹣5＝0，选项D正确．
故选：ACD．
（多选）11．（6分）如图，在四面体P﹣ABC中，AB＝BC＝2，BA⊥BC，PA＝PB＝PC＝4，O为AC的中点，点M是棱BC的点，则（ ）
A．AC⊥平面POB
B．四面体P﹣ABC的体积为
C．四面体P﹣ABC外接球的半径为
D．M为BC中点，直线PC与平面PAM所成角最大
【解答】解：由已知得△ABC是等腰直角三角形，故斜边，且△ABC的外心为AC的中点O，其满足．而PA＝PB＝PC＝4，故PO⊥平面ABC，且．
由于O是AC的中点，PA＝PC，
故PO⊥AC，而AC⊥OB，PO，OB在平面POB内交于点O，
故AC⊥平面POB，故A正确；
我们有，故B错误；
设四面体P﹣ABC的外接球球心为点T，外接球半径为R，
则，
解得，故C正确；
以O为原点，为x，y，z轴正方向，
建立空间直角坐标系．
则，，，，设，
则，故，
若是平面PAM的法向量，
，即，
令u＝t，可得．
而，cs＜，＞＝＝，
故直线PC与平面PAM所成角的正弦值等于|cs＜，＞|＝||＝，
在t＝1处最大，
所以当M与点B重合时，直线PC与平面PAM所成角最大，D错误．
故选：AC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（5分）已知二项式（x﹣2y）n展开式中第三项的二项式系数为6，那么n＝ 4 ；展开式的第二项的系数为 ﹣8 ．
【解答】解：二项式（x﹣2y）n展开式的通项为，
则展开式中第三项的二项式系数为，
解得n＝4．
展开式的第二项的系数为．
故答案为：4；﹣8．
13．（5分）如图所示，已知△ABC满足BC＝8，AC＝3AB，P为△ABC所在平面内一点．定义点集D＝{P|，λ∈R}．若存在点P0∈D，使得对任意P∈D，满足|≥||恒成立，则||的最大值为 3 ．
【解答】解：延长AB到M满足，取AC的靠近A的三等分点N，连接MN，如图，
，
所以P，M，N三点共线，
又存在点P0∈D，使得对任意P∈D，满足恒成立，
则AP0的长表示A到直线MN的距离，即△AMN的边MN上的高，设|AP0|＝h，
由|AC|＝3|AB|得|AC|＝|AM|，|AB|＝|AN|，∠A公用，因此△ABC≅△ANM，
所以|MN|＝|BC|＝8，
△AMN中，设∠ANM＝θ，
由正弦定理得，∠MAN记为角A，
所以，
所以
＝，
若θ不是钝角，
则，
又sinθ＝3sinM≤1，所以，即，
所以，
设，则，它是减函数，
所以t＝9时，，
若θ是钝角，则
＝，
设，则t≥9，，
令，则，
令f′（t）＝0，得t＝10，
所以9≤t＜10时，f′（t）＜0，f（t）递减，t＞10时f′（t）＞0，f（t）递增，
所以t＝10时，f（t）min＝8，（S△ABC）max＝12，此时．
故答案为：3．
14．（5分）已知函数，数列{an}满足a1＝a2＝1，，f（a2）+f（a3+a4）＝0，则＝ 2 ．
【解答】解：由题意可知：f（x）的定义域为R，
且，即f（x）＝﹣f（﹣x），
可知f（x）为定义在R上的奇函数；
且，
因为y＝3x在R上单调递增，可知f（x）在R上单调递增；
综上所述：f（x）在R上单调递增，且为奇函数．
因为f（a2）+f（a3+a4）＝0，则f（a3+a4）＝﹣f（a2）＝f（﹣a2），
可得a3+a4＝﹣a2，即a2+a3+a4＝0，
由可知：3为数列{an}的周期，则an+an+1+an+2＝0，
且2024＝3×674+2，所以．
故答案为：2．
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinC＝．
（1）求a的值；
（2）若△ABC外接圆的半径为，且A为锐角，求△ABC面积的最大值．
【解答】解：（1）由题得4sinCcsA＝（b﹣4csC）sinA，
所以4sinCcsA+4sinAcsC＝bsinA，
所以4sin（A+C）＝bsinA，
又A+C＝π﹣B，
所以4sinB＝bsinA，
由正弦定理得4b＝ab，
因为b≠0，
所以a＝4；
（2）由正弦定理得，
所以，
又A为锐角，
所以，
由余弦定理得，可得bc≤20，当且仅当时取等号，
所以△ABC的面积，
故△ABC面积的最大值为8．
16．（15分）某保险公司为了给年龄在20～70岁的民众提供某种疾病的医疗保障，设计了一款针对该疾病的保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名进行分析，这100个样本按年龄段[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70]分成了五组，其频率分布直方图如下图所示，每人每年所交纳的保费与参保年龄如下表格所示．（保费：元）据统计，该公司每年为该项保险支出的各种费用为一百万元．
（1）用样本的频率分布估计总体的概率分布，为使公司不亏本，则保费x至少为多少元？（精确到整数）
（2）随着年龄的增加，该疾病患病的概率越来越大，经调查，年龄在[50，60）的老人中每15人就有1人患该项疾病，年龄在[60，70]的老人中每10人就有1人患该项疾病，现分别从年龄在[50，60）和[60，70]的老人中各随机选取1人，记X表示选取的这2人中患该疾病的人数，求X的数学期望．
【解答】解：（1）由频率分布直方图可得（0.007+0.016+a+0.025+0.02）×10＝1，
解得a＝0.032，
故每年收取的保费为：10000（0.07x+0.16×2x+0.32×3x+0.25×4x+0.2×5x）＝10000×3.35x，
所以要使公司不亏本，则10000×3.35x≥1000000，
解得，即保费xmin＝30元；
（2）由题意知，年龄在[50，60）的老人中患该项疾病的概率为，
年龄在[60，70]的老人中患该项疾病的概率为，
又可得X的取值为0，1，2，
则，
，
，
所以．
17．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是菱形，，△ABP是正三角形，G是△BCD的重心，点F满足．
（1）求证：FG∥平面BCP；
（2）若，求直线BG与平面BCP所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：如图，连接AC、BD，交点为M，则M是BD的中点，
因为G是△BCD的重心，所以CG＝2GM，
又M是AC的中点，所以AC＝3GC，
由知F在线段AP上，且AP＝3FP，所以FG∥PC，
而FG⊄平面BCP，PC⊂平面BCP，
所以FG∥平面BCP；
（2）解：设AB＝2，则CP＝3．取AB中点O，连接CO、PO，
则AB⊥CO，AB⊥PO，CO∩PO＝O，CO，PO⊂平面COP，
故AB⊥平面COP，又AB⊂平面ABP，
所以平面COP⊥平面ABP，交线为PO，
由，PC＝3，则，
得，
所以C到平面ABP的距离h1等于C到直线OP的距离＝，
设G到平面BCP的距离为h2，由FG∥平面BCP知F到平面BCP的距离也是h2，
由VF﹣BCP＝VC﹣BPF得，，
，
从而，
在△CGB中，CB＝2，，，
由余弦定理得BG＝＝．
所以直线BG与平面BCP所成角的正弦值是．
18．（17分）已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且．
（1）求a1和a2的值，并求出数列{an}的通项公式；
（2）证明：；
（3）设，求[T2024]的值（其中[x]表示不超过x的最大整数）．
【解答】（1）解：当n＝1时，，因为a1＞0，所以a1＝1，
当n＝2时，，即，所以，
因为a2＞0，所以，解得a2＝2或a2＝﹣1（舍），所以a2＝2，
一般地，当n≥2时，，
所以，由an＞0得，
当n≥3时，有，
所以，
即（an+an﹣1）（an﹣an﹣1）＝an+an﹣1，又an+an﹣1＞0
所以an﹣an﹣1＝1（n≥3），又a2﹣a1＝1，
所以{an}是首项为1，公差为1的等差数列，
所以an＝n；
（2）证明：设f（x）＝ln（1+x）﹣x，x∈（0，+∞），
则，所以f（x）在（0，+∞）单调递减，
所以f（x）＜f（0）＝0，即x∈（0，+∞）时，
ln（1+x）﹣x＜0即ln（1+x）＜x，
令，则，即，
则
＝ln（n+1）﹣ln1＝ln（n+1），
所以成立；
（3）解：因为，所以，
同理由，则，
所以，
分别取n＝1，2，⋯，2024，
则
＜
＝，
＞
＝，
所以，因为452＝2025，
所以．即88＜T2024＜89，
所以[T2024]＝88．
19．（17分）曲线的曲率是描述几何弯曲程度的量，曲率越大，曲线的弯曲程度越大．曲线在点M处的曲率（其中y′表示函数y＝f（x）在点M处的导数，y″表示导函数f′（x）在点M处的导数）．在曲线y＝f（x）上点M处的法线（过该点且垂直于该点处的切线的直线为曲线在此处的法线）指向曲线凹的一侧上取一点D，使得，则称以D为圆心，以ρ为半径的圆为曲线在M处的曲率圆，因为此曲率圆与曲线弧度密切程度非常好，且再没有圆能介于此圆与曲线之间而与曲线相切，所以又称此圆为曲线在此处的密切圆．
（1）求出曲线在点处的曲率，并在曲线C2：xy＝1的图象上找一个点E，使曲线C2在点E处的曲率与曲线C1在点处的曲率相同；
（2）若要在曲线上支凹侧放置圆C3使其能在处与曲线C1相切且半径最大，求圆C3的方程；
（3）在（2）的条件下，在圆C3上任取一点P，曲线C1上任取关于原点对称的两点A，B，求的最大值．
【解答】解：（1）曲线在点附近满足，进一步有，
y′＝＝，故其曲率K＝＝＝，
在x＝0处，，所以曲线在点处的曲率为．
考虑曲线C2：xy＝1上的点E（1，1），曲线在该点附近满足，进一步有，y′＝，
故其曲率K＝＝＝．
在x＝1处，，所以曲线C2：xy＝1在点E（1，1）处的曲率亦为．
（2）设C3的方程为，R＞0，由条件知，由和y2＝x2+2组成的方程组只有一个解．
将其联立，得到，即，即．
若，则原方程组还有另一个解，矛盾．
而时，我们有，从而，x2＝y2﹣2＝0，故x＝0，这表明原方程组只有一个解．
所以所求的半径最大的圆C3的方程为．
（3）首先有．
设A（xA，yA），则我们又有，，故．
当，时，．
所以的最大值是16．x
1
2
3
4
5
y
6
6
7
8
8
年龄
[20，30）
[30，40）
[40，50）
[50，60）
[60，70]
保费
x
2x
3x
4x
5x
x
1
2
3
4
5
y
6
6
7
8
8
年龄
[20，30）
[30，40）
[40，50）
[50，60）
[60，70]
保费
x
2x
3x
4x
5x