2024-2025学年湖南省长沙市周南中学高三（上）第二次段考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖南省长沙市周南中学高三（上）第二次段考数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若复数z满足z=1−i3−i，则|z|=( )
A. 210B. 15C. 25D. 55
2.“x=1”是“x2−1=0”的( )
A. 充要条件B. 必要不充分条件
C. 既非充分也非必要条件D. 充分不必要条件
3.已知向量a，b满足|a|=2，(4a+b)⋅b=4，则|2a+b|=( )
A. 2 5B. 2 6C. 125D. 21
4.水果店有一批大小不一的橘子，某顾客从中选购了个头大且均匀的橘子若干个，设原有橘子的重量的平均数和方差分别是x−1，S12，该顾客选购的橘子的重量的平均数和方差分别是x−2，S22，则下列结论一定成立的是( )
A. x−1>x−2B. x−1=x−2C. S12>S22D. S12=S22
5.直线ax+y−1=0被圆(x−1)2+(y−4)2=4所截得的弦长为2 3，则a=( )
A. −43B. −34C. 3D. 2
6.将函数f(x)=sin(x+π4)的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，再向右平移π4个单位长度，所得函数图象的一条对称轴为( )
A. x=π4B. x=3π8C. x=3π4D. x=π
7.一个高为3的直三棱柱容器内装有水，将侧面ABB1A1水平放置如图(1)，水面恰好经过棱AC，BC，A1C1，B1C1的中点，现将底面ABC水平放置如图(2)，则容器中水面的高度是( )
A. 54B. 32C. 94D. 52
8.给定函数f(x)=xx(x>0)，g(x)=xlnx+a，用M(x)表示f(x)，g(x)中的最大者，记作M(x)=max{f(x),g(x)}，若M(x)=f(x)，则实数a的最大值为( )
A. 1eB. 1C. eD. e−1e+1e
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法中正确的是( )
A. sinA：sinB：sinC=a：b：c
B. sin(A+B)=sinC
C. 若a2+b2>c2，则△ABC是钝角三角形
D. S△ABC=abc4R(R为△ABC外接圆的半径)
10.已知抛物线C：x2=2py(p>0)上的动点M到焦点F的距离最小值是2，经过点P(2,−3)的直线l与C有且仅有一个公共点，直线PF与C交于两点A，B，则( )
A. p=2B. 抛物线C的准线方程为y=−2
C. |AB|=58D. 满足条件的直线l有2条
11.已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域为R，若f(x+1)与f′(x)均为偶函数，且f(−1)+f(1)=2，则下列结论正确的是( )
A. f′(1)=0B. 4是f′(x)的一个周期
C. f(2024)=0D. f(x)的图象关于点(2,1)对称
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在数列{an}中，a1=2，an+1=an+4，若an=2022，则n= ______．
13.甲、乙、丙、丁四支足球队进行单循环比赛(即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛)，最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为13，则在比赛结束时，甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为______．
14.已知sin(α+7π2)=−17，cs(α+β)=−1114，其中α,β∈(0,π2)，则β= ______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，且a= 7，c=1,A=2π3．
(1)求b及△ABC的面积S；
(2)若D为BC边上一点，且∠CAD=π6，求∠ADB的正弦值．
16.(本小题12分)
如图，多面体ABCDE中，直角梯形ABCD所在平面与正三角形ABE所在平面垂直，∠ADC=90°，AB=AD=2CD=4．
(1)求该多面体的体积V；
(2)在棱BC上是否存在点P，使得直线PE和平面ADE所成的角大小为30°？若存在，求出BPBC的值；若不存在，请说明理由．
17.(本小题12分)
已知函数f(x)=2x2+x−ln(x+m)，m∈R．
(1)当m=0时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)当m≤1时，证明：f(x)≥0．
18.(本小题12分)
某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人棋型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话.聊天机器人棋型的开发主要采用RLHF(人类反馈强化学习)技术，在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为90%，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为50%．
(1)在某次测试中输入了7个问题，聊天机器人棋型的回答有5个被采纳，现从这7个问题中抽取4个，以ξ表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求ξ的分布列和数学期望；
(2)设输入的问题出现语法错误的概率为p，若聊天机器人棋型的回答被采纳的概率为80%，求p的值．
19.(本小题12分)
如图，双曲线x2a2−y2b2=1的离心率为2 33，实轴长为2 3，F1，F2分别为双曲线的左右焦点，过右焦点F2的直线与双曲线右支交于A，B两点，其中点A在第一象限.连接AF1与双曲线左支交于点C，连接BC分别与x，y轴交于D，E两点．
(1)求该双曲线的标准方程；
(2)求△ADE面积的最小值．
参考答案
1.D
2.D
3.A
4.C
5.A
6.B
7.C
8.B
9.ABD
10.BC
11.ABD
12.506
13.8243
14.π3
15.解：(1)由余弦定理得csA=b2+c2−a22bc，
又因为a= 7，c=1,A=2π3，
即cs2π3=b2+1−72b，
故b2−62b=−12，解得b=2或−3(舍去)，

S=12bcsinA=12×2×1× 32= 32；
(2)因为A=2π3，∠CAD=π6，
所以∠BAD=2π3−π6=π2，
故sin∠ADB=cs∠B，
在△ABC中，由余弦定理得，csB=a2+c2−b22ac=7+1−42 7=2 77，
故sin∠ADB=cs∠B=2 77．
16.解：(1)根据题意可得E到平面ABCD的距离即为E到AB的距离，即为2 3，
∴求该多面体的体积V=13×SABCD×2 3=13×12×(2+4)×4×2 3=8 3；
(2)取AB中点O，连接OB，OE，OC，易知OB，OE，OC两两相互垂直，
故建系如图，则根据题意可得：

A(0,−2,0)，E(2 3,0,0)，D(0,−2,4)，B(0,2,0)，C(0,0,4)，
设BP=λBC，λ∈[0,1]，
∴AD=(0,0,4)，AE=(2 3,2,0)，BC=(0,−2,4)，EB=(−2 3,2,0)，
∴EP=EB+BP=(−2 3,2,0)+λ(0,−2,4)=(−2 3,2−2λ,4λ)，
设平面ADE的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅AD=4z=0n⋅AE=2 3x+2y=0，取n=(1,− 3,0)，
∴直线PE和平面ADE所成的角的正弦值为：
|cs|=|EP⋅n||EP||n|=2 3(2−λ) 12+4(1−λ)2+16λ2×2=sin30°=12，λ∈[0,1]，
化简得λ2+5λ−4=0，λ∈[0,1]，
解得λ= 41−52．
∴在棱BC上存在点P，使得BPBC=λ= 41−52．
17.解：(1)当m=0时，f(x)=2x2+x−lnx，f′(x)=4x+1−1x，
则f′(1)=4，又因为f(1)=3，
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−3=4(x−1)，即4x−y−1=0．
(2)证明：当m≤1时，有ln(x+m)≤ln(x+1)，所以−ln(x+m)≥−ln(x+1)，
因为f(x)=2x2+x−ln(x+m)，
所以f(x)≥2x2+x−ln(x+1)．
令g(x)=2x2+x−ln(x+1)(x>−1)，
则g′(x)=4x+1−1x+1=4x2+5xx+1=x(4x+5)x+1，
当−1当x>0时，g′(x)>0，g(x)在(0,+∞)上单调递增．
所以g(x)≥g(0)=0．
故f(x)≥g(x)≥0．
18.解：(1)由题意可得ξ的所有可能取值为2，3，4，
P(ξ=2)=C52C22C74=1035=27，
P(ξ=3)=C53C21C74=2035=47，
P(ξ=4)=C54C20C74=535=17，
所以ξ的分布列为：
数学期望E(ξ)=2×27+3×47+4×17=207；
(2)记“输入的问题没有语法错误”为事件A，
则“输入的问题有语法错误”为事件A−，记“回答被采纳”为事件B，
由已知得，P(B)=0.8，P(B|A)=0.9，P(B|A−)=0.5，P(A−)=p，P(A)=1−p，
因为P(B)=P(AB)+P(A−B)
=P(A)⋅P(B|A)+P(A−)⋅P(B|A−)
=0.9(1−p)+0.5p=0.9−0.4p，
所以0.9−0.4p=0.8，解得p=0.25．
19.解：(1)由已知可得，2a=2 3，所以a= 3，
又e=ca=2 33，所以c=2，b2=c2−a2=1，
所以，双曲线方程是x23−y2=1．
(2)由(1)可知，F2(2,0)，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则直线AF2的方程为x=x1−2y1y+2，
将直线AF2的方程与双曲线方程联立x=x1−2y1y+2x23−y2=1，消去x，整理可得(7−4x1)y2+4(x1−2)y1y+y12=0，
Δ=16(x1−2)2y12−4(7−4x1)y12=4(2x1−3)2y12>0恒成立，
由韦达定理可得，y1y2=y127−4x1，
所以y2=y17−4x1,x2=x1−2y1⋅y17−4x1+2=12−7x17−4x1,B(12−7x17−4x1,y17−4x1)．
根据已知可知，y1>0，y2<0，
所以7−4x1<0,x1>74．
同理解得C(−12−7x17+4x1,y17+4x1)，
所以，kBC=y17−4x1−y17+4x112−7x17−4x1+12+7x17+4x1=x1y17(3−x12)=−x121y1，
直线BC的方程为y=−x121y1x−17y1，
由x=0可得，E(0,−17y1)，由y=0可得，D(−3x1,0)，
由A、D坐标可得直线AD的方程为y=x1y1x12+3(x+3x1)，
则直线AD与轴交点坐标为Q(0,3y1x12+3)，所以|QE|=3y1x12+3+17y1．
所以S△ADE=S△AQE+S△DQE=12⋅|QE|⋅|xA−xD|=12(3y1x12+3+17y1)(x1+3x1)
=37⋅4y12+1x1y1= 37 (4y12+1)2y12(y12+1)，
令t=4y12+1,y12=t−14，
则S△ADE=4 37 t2t2+2t−3=4 37 1−3⋅(1t)2+2⋅(1t)+1，
设f(t)=−3⋅(1t)2+2⋅(1t)+1，
则f(t)=−3(1t−13)2+43≤43，
当1t=13，即t=3时有最小值，此时y12=12,y1=± 22(舍去负值)．
所以，S△ADE≥4 37⋅ 34=67，
当且仅当t=3即y1= 22时取到最小值，此时A(3 22, 22)，
即△ADE面积的最小值为67． ξ
2
3
4
P
27
47
17