湖南省长沙市周南中学2023届高三数学下学期模拟（三）试卷（Word版附解析）

2023届周南中学高三三模考试数学试卷

时量：120分钟    分量：150分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】化简集合B，进行交集运算.

【详解】且.

故.

故选：C.

2. 的虚部为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用复数的四则运算与复数虚部的概念即可得解.

【详解】因为，

所以的虚部为.

故选：B.

3. “”是“函数是奇函数”的（    ）．

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】函数为奇函数，解得，判断与的互推关系，即可得到答案.

【详解】当函数为奇函数，

则，

解得.

所以“”是“函数为奇函数”的充分不必要条件.

故选：A.

4. 已知单位向量，满足，若向量，则（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】计算出及，利用向量余弦夹角公式计算，再利用平方关系求出.

【详解】因为，是单位向量，

所以，

又因为，，

所以，

，

所以，

因为，

所以.

故选：A.

5. 马路上有编号为1，2，3，…，9九盏路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，用插空法计算.

【详解】先将亮的6盏灯排成一列，根据题意，因为关掉3盏路灯不能是两端2盏，也不能相邻，

则有5个符合条件的空位，

在5个空位中，任选3个，安排熄灭的灯，有种情况，即有10种关灯方法.

故选：A.

6. 设，，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据指数函数及对数函数的单调性即可比较，构造函数，，利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性即可得解.

【详解】因为，所以，所以，

所以，

令，则，

所以在上单调递增，

所以，即，所以，

令，则，

所以函数在上递增，

所以，即，即，

所以，即，

综上，.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：构造函数，，利用中间量来比较的大小是解决本题的关键.

7. 函数的部分图象如图，则下列选项中是其一条对称轴的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由给定解析式及图象确定值的表达式，再逐项分析判断作答.

【详解】依题意，点是函数的图象对称中心，且在函数的一个单调增区间内，

则，即，，

令函数周期为，由图象知，即有，而，则有，

因此，，解得，而，则，，，

由得函数图象对称轴：，

当时，，当时，，当时，，即选项A，B，D不满足，选项C满足.

故选：C

8. 在三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球表面积的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】设，在等腰中，求得，设的外心是，外接圆半径是，由正弦定理得，设外接球球心是，可得是直角梯形，设可得，把（）也用表示，然后可表示出外接球半径，利用三角恒等变换，换元法，变形后由基本不等式求得最小值，从而得球表面积的最小值．

【详解】设，在等腰中，，设的外心是，外接圆半径是，则，∴，

设外接球球心是，则平面，平面，则，同理，，

又平面，所以，是直角梯形，

设，外接球半径为，即，

则，所以，

在直角中，，，

，，∴，

，

令，则，

，当且仅当，时等号成立，

所以的最小值是．

故选：D.

【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积，解题关键是用一个变量表示出球的表面积，前提是选定一个参数，由已知设，其他量都用表示，并利用三角函数恒等变换，换元法，基本不等式等求得最小值．考查了学生的运算求解能力，逻辑思维能力，属于难题．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知数列的前n项和是，则下列说法正确的是（    ）

A. 若，则是等差数列

B. 若，，则是等比数列

C. 若是等差数列，则，，成等差数列

D. 若是等比数列，则，，成等比数列

【答案】ABC

【解析】

【分析】求出通项公式判断AB；利用数列前n项和的意义、结合等差数列推理判断C；举例说明判断D作答.

【详解】对于A，，时，，解得，因此，，是等差数列，A正确；

对于B，，，则，而，是等比数列，B正确；

对于C，设等差数列的公差为，首项是，

，

，

因此，则 ，成等差数列，C正确；

对于D，若等比数列的公比，则 不成等比数列，D错误.

故选：ABC

10. “50米跑”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，某地区高三男生的“50米跑”测试成绩（单位：秒）服从正态分布，且．从该地区高三男生的“50米跑”测试成绩中随机抽取3个，其中成绩在间的个数记为X，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】A选项，由正态分布的对称性可知，A正确；B选项，由得到；C选项，求出和，得到大小关系；D选项，由二项分布计算出，利用对立事件概率公式求出.

【详解】A选项，由正态分布的对称性可知：，

故，A错误；

B选项，，故，B正确；

C选项，，，故，C错误；

D选项，因为，所以，

故，D正确.

故选：BD

11. 已知抛物线：()与：()都经过点,点M,N分别在,上,且,则(    )

A. ,

B. 点M,N的坐标分别为

C. 的面积为3

D. 若直线l与,都相切,则l的方程为

【答案】ACD

【解析】

【分析】对A,代入A(4,8)求解即可；对B,设,,根据,列出方程得到关系式,分类讨论,即可求解；对C,根据B可得,,求解直线的方程,再求解到的距离,进而可得的面积；对D,利用导数的几何意义,求得切线的方程,根据为曲线的公切线,联立方程组,结合,进而求得的方程；

【详解】对A,因为曲线都过点,所以,解得,,,故A正确；

对B,设,,又,

,

所以,可得,

两式相减得到,

当时,,,

当时,,此时方程无解,(舍去),

综上,可得,,故B错误；

对C,由,,则,故直线的方程为,即,故到的距离,又,则△OMN的面积,故C正确；

对D,设直线与曲线相切于点,令,可得,

则切线的斜率,所以切线方程为,即,

由,整理得,

因为为曲线的公切线,所以,解得,

所以直线的方程为,即．故D正确；

故选：ACD

12. 若，若恒成立，则的值不可以是（    ）

A.  B. 1 C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】将问题转化为恒成立，从而构造函数，结合的单调性可得恒成立，再构造函数，从而得解.

【详解】因为，等价于，等

价于，

所以原题意即为恒成立，

令，则，

又易得在定义域内单调递增，

所以，即，故恒成立，

令，则，

所以当时，；当时，；

则在上单调递减，在上单调递增，

故，解得，

所以若恒成立，则.

故A、B、D错误，C正确.

故选：ABD.

【点睛】结论点睛：指对同构的常见形式：

积型：，

①，构建；

②，构建；

商型：，

①，构建；

②，构建；

和型：，

①，构建；

②，构建.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知多项式满足对任意，则_________（用数字作答）．

【答案】1

【解析】

【分析】根据二倍角公式进行三角恒等变换，化简后可得即可求解.

【详解】解：由题意得：

，

由可知：

.

故答案为：1

14. 定义在R上的非常数函数满足：，且.请写出符合条件的一个函数的解析式______.

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】根据已知，且得出对称轴和对称中心，确定一个具体函数即可.

【详解】因为.得出对称中心，且得出对称轴为轴，且周期为4的函数都可以.

故答案为：

15. 如图，在中，点是边上一点且，是边的中点，直线和直线交于点，若是的平分线，则______.

【答案】

【解析】

【分析】分析可知与共线，可知存在，使得，然后依据、、三点共线以及、、三点共线可得出关于的表达式，结合平面向量的基本定理可求得的值.

【详解】记，，以、为邻边作平行四边形，

因为，则平行四边形为菱形，所以，平分，

且，

因为平分，则、共线，

则存在，使得，

因为、、三点共线，则、共线，则存在，

使得，即，可得，

因为为的中点，所以，，

因为、、三点共线，则、共线，

所以，存在，使得，即，

所以，，

因为、不共线，则，解得，

故，

又因为，所以，，故.

故答案：.

16. 已知双曲线方程是，过的直线与双曲线右支交于，两点（其中点在第一象限），设点、分别为、的内心，则的范围是______.

【答案】

【解析】

【分析】根据双曲线和三角形内切圆的性质可得点、与双曲线右顶点三点共线，且，线段，可分别用直线倾斜角表示出，根据倾斜角范围可求出的范围.

【详解】 

因，故，，，

如图，过点分别作，，，垂足分别为，

因为的内心，

所以，

故点也在双曲线上，即为双曲线的右顶点，

同理 ，所以三点共线，

设直线的倾斜角为，

因双曲线的渐近线方程为，倾斜角为，

根双曲线的对称性，不妨设，

因，

所以，

,

所以

，

因，所以，

所以，

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知数列的前n项和为，，且.

（1）求的通项公式；

（2）已知，求数列的前n项和.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据前n项和与通项之间的关系分析可得，结合等比数列求其通项公式；

（2）结合（1）求，分奇偶项，利用分组求和的方法求和即可.

【小问1详解】

∵，则有：

当时，，解得；

当时，则，

两式相减得，即；

注意到，故，

∴是首项为3，公比为3的等比数列，

故.

【小问2详解】

由（1）得，

当n为偶数时，

；

当n为奇数时；

综上所述：.

18. 在中，角、、所对的边分别为、、，.

（1）求；

（2）若，求面积最小值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的余弦公式化简可得出，即可求得的值；

（2）分析可知、均为锐角，利用两角和的正切公式结合基本不等式可得出，求出的最小值，即可求得的最小值.

【小问1详解】

解：，

.

由正弦定理得.

.

因为，则，

，，

则，

所以，，即，

所以，，

，即.

【小问2详解】

解：由（1）得.

若，则、均为钝角，则，矛盾，

所以，，，此时、均为锐角，合乎题意，

，

当且仅当时，等号成立，且为钝角.

，则，且为锐角，

由，解得，即，

当且仅当时，等号成立，

，.

因此，面积的最小值为.

19. 如图，在多面体中，平面平面，平面，和均为正三角形，，，点在上.

（1）若平面，求；

（2）若是的中点，求二面角的正弦值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）记中点为，连接、，依题意可得，根据面面垂直的性质得到平面，如图建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设，，依题意可得求出的值，即可得解；

（2）依题意点与点重合，利用空间向量法计算可得.

【小问1详解】

记中点为，连接、，为正三角形，，

则，且.

因为平面平面 ，平面平面，平面，

所以平面，又为正三角形，所以，所以，

如图建立空间直角坐标系，则，，，，

所以，，设平面的法向量为，

则，令，则，，则，

设，，则，

因为平面，所以，解得，

所以为的中点，此时.

  【小问2详解】

若是的中点，则点与点重合，则平面的一个法向量可以为，

设二面角为，显然二面角为锐角，则，

所以，

所以二面角的正弦值为.

20. 有一种水果，在成熟以后进行装箱，每一箱10个．根据以往经验，该种水果每箱含有0，1，2个坏果的概率分别为，，．

（1）现随机取三箱该水果，求三箱水果中坏果总数恰有2个的概率；

（2）现随机打开一箱该水果，并从中任取2个，设X为坏水果的个数，求X的分布列及期望．

【答案】（1）0.15   

（2）的分布列为：

期望为

【解析】

【分析】（1）根据两种情况以及概率乘法公式即可求解，

（2）分别求解为0,1,2的概率，即可求解分布列以及期望

【小问1详解】

三箱水果中坏果总数恰有2个坏果的情况有：有一箱有2个坏果，其他两箱没有坏果，或者有两箱各有一个坏果，另一箱没有坏果，

三箱水果中坏果总数恰有2个坏果的概率为，

【小问2详解】

由题意可知：可取0,1,2

则 ,

,

,

所以的分布列为：

期望为

21. 已知椭圆E：的左、右焦点分别为,焦距与短轴长均为4. 设过F2的直线l交E于M,N,过M,N分别作E在点M,N上的两条切线,记它们的交点为P,MN的中点为Q.

（1）证明：O,P,Q三点共线；

（2）过F1作平行于l的直线分别交PM,PN于A,B,求的取值范围.

参考结论：点T(,)为椭圆()上一点,则过点T(,)的椭圆的切线方程为.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）先求得椭圆方程,再设的方程为,联立椭圆的方程,并化简切线方程组可得.再设的中点为,证明即可；

（2）取中点,根据三角形的性质有四点共线,再结合椭圆的对称性有即可.

【小问1详解】

由题意,,,解得,,故椭圆的方程为.

又,显然斜率不为0,故设的方程为,,

则,即,故,.

联立过的切线方程,即,

相减可得,即,化简可得.

代入可得,故.

设的中点为,则,,故.

因为,,故,所以三点共线.

【小问2详解】

由作平行于l的直线分别交于,易得,取中点,根据三角形的性质有四点共线,

结合椭圆的对称性有,当且仅当时取等号.故.

【点睛】方法点睛：根据直线与椭圆的位置关系,结合向量的性质,联立方程利用韦达定理证明三点共线与求取值范围的问题.需要根据题意联立直线与椭圆的方程,利用韦达定理得到P,Q的坐标,再根据三角形与向量的性质转化所求的量从而进行简化求解范围.属于难题.

22. 已知函数.

（1）若函数在上有极值，求在上所有极值的和；

（2）若对任意恒成立，求正实数a的取值集合.

【答案】（1）答案见解析   

（2）

【解析】

【小问1详解】

，

当时，，在上单调递增，无极值.

当时，，在上单调递减，无极值.

当时，在上有2个实根，设其为，且.

当时，；当时，.

所以在单调递增，在单调递减，在单调递增.

所以为的极大值，为的极小值.

由正弦函数的对称性可知，所以在上的所有极值的和为

.

【小问2详解】

即.

设，，

则，设

.

当时，，所以在R上单调递增.

又，，所以，使得，

所以，当时，，单调递减：

当时，，单调递增.

所以，，不合题意

当a=1时，，所以在R上单调递增.

又，

所以，当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

所以，，符合题意.

当时，因为函数在上都为增函数，

所以在上单调递增.

又，所以，

所以在上单调递增.

又，，

所以，使得，所以，当时，，单调递增.

所以，，不合题意.

综上，正实数a的取值集合是.

【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.