广西南宁市马山县第三高级中学2023-2024学年高一（下）期中数学试卷

这是一份广西南宁市马山县第三高级中学2023-2024学年高一（下）期中数学试卷，共20页。试卷主要包含了，下面给出的四个结论等内容，欢迎下载使用。

A．∅B．{（1，0），（2，1）}
C．{（2，1）}D．{（1，0）}
2．（5分）已知幂函数f（x）＝（2m﹣1）xn的图象经过点（2，8），下面给出的四个结论：
①f（x）＝x﹣3；
②f（x）为奇函数；
③f（x）在R上单调递增；
④f（a2+1）＜f（1），
其中所有正确命题的序号为（ ）
A．①④B．②③C．②④D．①②③
3．（5分）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的图象如图所示，其中A＞0，ω＞0，，则下列关于函数f（x）的说法中错误的是（ ）
A．在上单调递减
B．
C．最小正周期是π
D．对称轴是直线
4．（5分）在△ABC中，点D，E满足与AD交于点P，若，则xy＝（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ）
A．B．2+C．﹣2D．2﹣
6．（5分）已知复数，则（ ）
A．z的虚部为iB．z的实部为﹣2
C．z＜2D．|z|＜2
7．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为线段BC，CC1，BB1上的动点（不含端点），
①异面直线D1D与AF所成角可以为；
②当G为中点时，存在点E，F使直线A1G与平面AEF平行；
③当E，F为中点时，平面AEF截正方体所得的截面面积为；
④存在点G，使点C与点G到平面AEF的距离相等，
则上述结论正确的是（ ）
A．①③B．②④C．②③D．①④
8．（5分）如图正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积（ ）
A．B．1C．D．2（1+）
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分。
（多选）9．（5分）已知函数f（x）＝Acs（2x+φ）﹣1（A＞0，0＜φ＜π），若函数y＝|f（x）|的部分图象如图所示，函数g（x）＝Asin（Ax﹣φ），则下列结论不正确的是（ ）
A．将函数y＝f（x）+1的图象向左平移个单位长度可得到函数g（x）的图象
B．函数y＝g（x）的图象关于点对称
C．函数g（x）在区间上的单调递减区间为
D．若函数g（x+θ）（θ≥0）为偶函数，则θ的最小值为
（多选）10．（5分）设向量，，则下列叙述正确的是（ ）
A．若k＝﹣3，则与的夹角为钝角
B．的最小值为2
C．与垂直的单位向量只能为
D．若，则
（多选）11．（5分）设数，则下列关于复数ω的说法正确的是（ ）
A．|ω|＝1B．＝+iC．1+ω+ω2＝0D．1﹣ω+ω2＝0
（多选）12．（5分）如图是数学家GerminalDandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）．在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球O1，球O2切于点E，F（E，F是截口椭圆C的焦点）．设图中球O1，球O2的半径分别为4和1，球心距，则（ ）
A．椭圆C的中心不在直线O1O2上
B．|EF|＝4
C．直线O1O2与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为
D．椭圆C的离心率为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）设命题p：∃x0∈R，x02+ax0+a≤0．若p为假命题，则实数a的取值范围是 ．
14．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，，AB＝2，AD＝1，若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足，其中λ∈[0，1]，则的最小值是 ．
15．（5分）在复平面内，已知O为坐标原点，点Z1，Z2分别对应复数z1＝4+3i，z2＝2a﹣3i（a∈R）．若，则a＝ ．
16．（5分）已知复数z满足，则|z|＝ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要得文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10分）设函数f（x）＝sin2x﹣cs2x﹣1．
（1）设x∈[﹣，]，求函数f（x）的最大值和最小值；
（2）设函数为偶函数，求φ的值，并求函数g（x）的单调增区间．
18．（12分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD＝5，∠CBD＝60°．
（1）若，求CD的长；
（2）若AD＝2，求cs∠ABD．
19．（12分）已知复数z1＝a+2+（a﹣1）i，z2＝2+（3a+1）i，a∈R．
（1）若复数z1﹣z2在复平面内的对应点落在第二象限，求实数a的取值范围；
（2）若虚数z1是方程x2﹣8x+m＝0的一个根，求实数m的值．
20．（12分）一个圆台的母线长为12cm，两底面面积分别为4πcm2和25πcm2．求：
（1）圆台的高；
（2）截得此圆台的圆锥的母线长．
21．（12分）如图所示，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点（，），设，．
（1）用，表示，；
（2）如果且∠BAD＝60°，求∠FEG的余弦值．
22．（12分）已知4kx2﹣4kx+k+1＝0是关于x的实系数一元二次方程．
（1）若a是方程的一个根，且|a|＝1，求实数k的值；
（2）若x1，x2是该方程的两个实根，且k∈Z，求使的值为整数的所有k的值．
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题目要求。
1．（5分）设集合，B＝{（x，y）|y＝x2﹣2x+1}，则A∩B＝（ ）
A．∅B．{（1，0），（2，1）}
C．{（2，1）}D．{（1，0）}
【解答】解：因为，则y＝x﹣1（x≠2），
联立，解得，
所以A∩B＝{（1，0）}．
故选：D．
2．（5分）已知幂函数f（x）＝（2m﹣1）xn的图象经过点（2，8），下面给出的四个结论：
①f（x）＝x﹣3；
②f（x）为奇函数；
③f（x）在R上单调递增；
④f（a2+1）＜f（1），
其中所有正确命题的序号为（ ）
A．①④B．②③C．②④D．①②③
【解答】解：对于①：由幂函数的定义可知2m﹣1＝1，解得m＝1，
将点（2，8）代入函数f（x）＝xn得2n＝8，解得n＝3，
所以f（x）＝x3，故①错误；
对于②：因为定义域为R，且f（﹣x）＝（﹣x）3＝﹣x3＝﹣f（x），
所以f（x）为奇函数，故②正确；
对于③：由幂函数的图象可知，f（x）在R上单调递增，故③正确；
对于④：因为a2+1≥1，且f（x）在R上单调递增，所以f（a2+1）≥f（1），故④错误，
综上可知，②③正确，①④错误．
故选：B．
3．（5分）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的图象如图所示，其中A＞0，ω＞0，，则下列关于函数f（x）的说法中错误的是（ ）
A．在上单调递减
B．
C．最小正周期是π
D．对称轴是直线
【解答】解：由图象易知：A＝2，
可得⇒⇒ω＝2，故C内容正确；
由⇒⇒，k∈Z，
又，
所以，故B内容正确；
因为，
可得，，，
所以函数在不是减函数，故A错；
由⇒，k∈Z即为函数的对称轴，故D对．
故选：A．
4．（5分）在△ABC中，点D，E满足与AD交于点P，若，则xy＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：因为P在AD上，故，所以存在唯一实数λ，使得，又，故D为BC的中点，
所以，所以；同理存在μ，使得，
又，
所以，所以，所以，所以，所以．
故选：C．
5．（5分）已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ）
A．B．2+C．﹣2D．2﹣
【解答】解：单位向量||＝||＝1，•＝1×1×cs60°＝，
对于A，（+2）＝•+2＝+2＝，所以（+2）与不垂直；
对于B，（2+）＝2•+＝2×+1＝2，所以（2+）与不垂直；
对于C，（﹣2）＝•﹣2＝﹣2＝﹣，所以（﹣2）与不垂直；
对于D，（2﹣）＝2•﹣＝2×﹣1＝0，所以（2﹣）与垂直．
故选：D．
6．（5分）已知复数，则（ ）
A．z的虚部为iB．z的实部为﹣2
C．z＜2D．|z|＜2
【解答】解：∵＝＝﹣（2﹣i）＝﹣2+i，
∴z的实部是﹣2，虚部是1，
故选：B．
7．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为线段BC，CC1，BB1上的动点（不含端点），
①异面直线D1D与AF所成角可以为；
②当G为中点时，存在点E，F使直线A1G与平面AEF平行；
③当E，F为中点时，平面AEF截正方体所得的截面面积为；
④存在点G，使点C与点G到平面AEF的距离相等，
则上述结论正确的是（ ）
A．①③B．②④C．②③D．①④
【解答】解：对于①，∵D1D∥A1A，∴D1D与AF的夹角即为A1A与AF的夹角∠A1AF，
又当F与C重合时，∠A1AF取得最大值为，
当F与点C1重合时，∠A1AF取得最小值，设其为α，
则，故；
又点F不能与C，C1重合，故，故①错误；
对于②，当G为B1B中点时，存在E，F分别为BC，C1C的中点，
满足A1G∥平面AEF，证明如下：
取B1C1的中点为M，连接A1M，MG，
显然A1M∥AE，又AE⊂面AEF，A1M⊄面AEF，∴A1M∥平面AEF，
又MG∥BC1∥EF，EF⊂面AEF，MG⊄面AEF，∴MG∥平面AEF，
又A1M∩MG＝M，A1M，MG⊂面A1MG，∴平面A1MG∥平面AEF，
又A1G⊂平面A1MG，∴A1G∥平面AEF，故②正确；
对于③，连接AD1，D1F，AE，
∵EF∥BC1∥AD1，∴平面AEFD1即为平面AEF截正方体所得截面．
又，∴该截面为等腰梯形，又，，
∴截面面积，故③正确；
对于④，连接GC，取其中点为H，
要使得点G到平面AEF的距离等于点C到平面AEF的距离，只需EF经过GC的中点，
可知当点E、F分别为所在棱的中点时，不存在这样的点G满足要求，故④错误．
故选：C．
8．（5分）如图正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积（ ）
A．B．1C．D．2（1+）
【解答】解：由题意正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，
所以OB＝，对应原图形平行四边形的高为：2，
所以原图形的面积为：1×2＝2．
故选：A．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分。
（多选）9．（5分）已知函数f（x）＝Acs（2x+φ）﹣1（A＞0，0＜φ＜π），若函数y＝|f（x）|的部分图象如图所示，函数g（x）＝Asin（Ax﹣φ），则下列结论不正确的是（ ）
A．将函数y＝f（x）+1的图象向左平移个单位长度可得到函数g（x）的图象
B．函数y＝g（x）的图象关于点对称
C．函数g（x）在区间上的单调递减区间为
D．若函数g（x+θ）（θ≥0）为偶函数，则θ的最小值为
【解答】解：由图象可知，，解得A＝2，
所以f（x）＝2cs（2x+φ）﹣1，
又因为|f（0）|＝|2csφ﹣1|＝2，得舍）或，
因为0＜φ＜π，
可得，
所以，，
函数y＝f（x）+1的图象向左平移个单位长度，
则g（x）＝，故A正确；
对于B，令，
解得x＝，k∈Z，
当k＝﹣1时，x＝﹣，
故y＝g（x）的图象关于点对称，故B正确；
对于C，函数g（x）的递减区间为，
故函数g（x）在区间上的单调递减区间为，故C错误；
对于D，函数g（x+θ）（θ≥0）为偶函数，即为偶函数，
易得为最小值，故D错误．
故选：CD．
（多选）10．（5分）设向量，，则下列叙述正确的是（ ）
A．若k＝﹣3，则与的夹角为钝角
B．的最小值为2
C．与垂直的单位向量只能为
D．若，则
【解答】解：对于A，当k＝﹣3时，，
所以，
所以与的夹角为钝角，
所以A正确；
对于B，，
所以的最小值为2，
所以B正确；
对于C，
与垂直的向量可以为（1，1），
则与垂直的单位向量为或，
所以C不正确；
对于D，若，
又，
则，
解得k＝2或﹣2，
所以D不正确．
故选：AB．
（多选）11．（5分）设数，则下列关于复数ω的说法正确的是（ ）
A．|ω|＝1B．＝+iC．1+ω+ω2＝0D．1﹣ω+ω2＝0
【解答】解：＝，
|ω|＝，，故A正确；B错误；
ω2＝，
1+ω+ω2＝，故C正确，D错误．
故选：AC．
（多选）12．（5分）如图是数学家GerminalDandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）．在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球O1，球O2切于点E，F（E，F是截口椭圆C的焦点）．设图中球O1，球O2的半径分别为4和1，球心距，则（ ）
A．椭圆C的中心不在直线O1O2上
B．|EF|＝4
C．直线O1O2与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为
D．椭圆C的离心率为
【解答】解：依题意，截面椭圆的长轴与圆锥的轴相交，椭圆长轴所在直线与圆锥的轴确定的平面截此组合体，
得圆锥的轴截面及球O1，球O2的截面大圆，如图，
点A，B分别为圆O1，O2与圆锥轴截面等腰三角形一腰相切的切点，线段MN是椭圆长轴，
可知椭圆C的中心（即线段MN的中点）不在直线O1O2上，故A正确；
椭圆长轴长2a＝|MN|＝|MF|+|FN|＝|MF|+|ME|＝|MB|+|MA|＝|AB|，
过O2作O2D⊥O1A于D，连O2B，显然四边形ABO2D为矩形，
又，
则，
过O2作O2C⊥O1E交O1E延长线于C，显然四边形CEFO2为矩形，
椭圆焦距，故B错误；
所以直线O1O2与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为，故C正确；
所以椭圆的离心率，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）设命题p：∃x0∈R，x02+ax0+a≤0．若p为假命题，则实数a的取值范围是 （0，4） ．
【解答】解：因为命题p：∃x0∈R，x02+ax0+a≤0为假命题，
则∀x∈R，x2+ax+a＞0为真命题，
所以a2﹣4a＜0，
解得0＜a＜4，
故答案为：（0，4）．
14．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，，AB＝2，AD＝1，若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足，其中λ∈[0，1]，则的最小值是 2 ．
【解答】解：因为，λ∈[0，1]，
所以，，故，
所以
＝
＝1+4（1﹣λ）+λ+λ（1﹣λ）
＝﹣（λ+1）2+6，
因为当λ∈[0，1]时，﹣（λ+1）2+6在[0，1]上单调递减，
所以当λ＝1时，取得最小值2．
故答案为：2．
15．（5分）在复平面内，已知O为坐标原点，点Z1，Z2分别对应复数z1＝4+3i，z2＝2a﹣3i（a∈R）．若，则a＝ ．
【解答】解：因为z1＝4+3i，z2＝2a﹣3i（a∈R），
所以，，
因为，所以8a＝9，即．
故答案为：．
16．（5分）已知复数z满足，则|z|＝ 1 ．
【解答】解：由，得1﹣z＝﹣i﹣zi，
∴z＝，
则|z|＝||＝．
故答案为：1．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要得文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10分）设函数f（x）＝sin2x﹣cs2x﹣1．
（1）设x∈[﹣，]，求函数f（x）的最大值和最小值；
（2）设函数为偶函数，求φ的值，并求函数g（x）的单调增区间．
【解答】解：函数f（x）＝sin2x﹣cs2x﹣1＝2sin（2x﹣）﹣1，
由于x∈[﹣，]，
所以，故；
故函数f（x）的最大值为﹣1，最小值为﹣3．
（2）函数g（x）＝f（x+φ）+4m为偶函数，
所以2φ﹣＝k（k∈Z），
整理得φ＝（k∈Z），
由于0＜φ，
故φ＝；
此时g（x）＝cs2x+4m﹣1，令﹣π+2kπ≤2x≤2kπ，整理得（k∈Z），
故函数的单调递增区间为[]（k∈Z）．
18．（12分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD＝5，∠CBD＝60°．
（1）若，求CD的长；
（2）若AD＝2，求cs∠ABD．
【解答】解：（1）在△BCD中，BD＝5，∠CBD＝60°，，
由正弦定理得，
则CD＝10；
（2）因为AD∥BC，所以∠ADB＝∠CBD＝60°，
在△ABD中，AD＝2，BD＝5，
由余弦定理得：AB2＝BD2+AD2﹣2BD•AD•cs∠ADB＝19，解得，
所以．
19．（12分）已知复数z1＝a+2+（a﹣1）i，z2＝2+（3a+1）i，a∈R．
（1）若复数z1﹣z2在复平面内的对应点落在第二象限，求实数a的取值范围；
（2）若虚数z1是方程x2﹣8x+m＝0的一个根，求实数m的值．
【解答】解：（1）复数z1＝a+2+（a﹣1）i，z2＝2+（3a+1）i，
则z1﹣z2＝a﹣（2a+2）i，
复数z1﹣z2在复平面内的对应点落在第二象限，
则，解得a＜﹣1，
故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）．
（2）虚数z1是方程x2﹣8x+m＝0的一个根，
则也是方程x2﹣8x+m＝0的一个根，
故，解得a＝2，m＝17．
20．（12分）一个圆台的母线长为12cm，两底面面积分别为4πcm2和25πcm2．求：
（1）圆台的高；
（2）截得此圆台的圆锥的母线长．
【解答】解：（1）圆台的轴截面是等腰梯形ABCD，如图所示；
由已知可得上底半径O1A＝2cm，下底半径OB＝5cm；
又腰长为12 cm，
所以圆台的高为AM＝＝3（cm）；
（2）设截得此圆台的圆锥母线长为l，
则由△SAO1∽△SBO可得＝，
解得l＝20，
所以截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm．
21．（12分）如图所示，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点（，），设，．
（1）用，表示，；
（2）如果且∠BAD＝60°，求∠FEG的余弦值．
【解答】解：（1）点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点（，），，，
；
，
（2）且∠BAD＝60°，
，
＝，
故∠FEG的余弦值为．
22．（12分）已知4kx2﹣4kx+k+1＝0是关于x的实系数一元二次方程．
（1）若a是方程的一个根，且|a|＝1，求实数k的值；
（2）若x1，x2是该方程的两个实根，且k∈Z，求使的值为整数的所有k的值．
【解答】解：（1）因为4kx2﹣4kx+k+1＝0是关于x的实系数一元二次方程，所以k≠0，
因为a是方程4kx2﹣4kx+k+1＝0的一个根，且|a|＝1，
当a∈R时，则a＝1或a＝﹣1，
若a＝1，代入方程得4k﹣4k+k+1＝0，解得k＝﹣1；
若a＝﹣1，代入方程得4k+4k+k+1＝0，解得；
当a为虚数时，不妨设a＝z，则也是方程4kx2﹣4kx+k+1＝0的一个根，
故，又因为|a|＝1，即|z|＝1，故，
所以，解得，
又Δ＝（﹣4k）2﹣4×4k（k+1）＝﹣16k＜0，得k＞0，
所以；
综上：k＝﹣1或或．
（2）由韦达定理可知，x1+x2＝1，，k≠0，
所以＝，
因为为整数，k∈Z，
所以k+1必为﹣4的因式，则k+1的值可能为﹣4，﹣2，﹣1，1，2，4，
则实数k的值可能为﹣5，﹣3，﹣2，0，1，3，
又因为x1，x2是该方程的两个实根，所以Δ＝（4k）2﹣4×4k（k+1）＝﹣16k＞0，则k＜0，
所以k的所有取值为﹣5，﹣3，﹣2．