广西南宁市马山县第三高中2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

这是一份广西南宁市马山县第三高中2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷，共17页。试卷主要包含了本卷命题范围，已知复数,则，设向量，，则下列叙述正确的是等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围：人教版必修1全册，必修2第6章-第8章
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题目要求。
1．设集合，，则( )
A.B.C.D.
2．已知幂函数的图象经过点,下面给出的四个结论:
①;
②为奇函数;
③在R上单调递增;
④,其中所有正确命题的序号为( )
A.①④B.②③C.②④D.①②③
3．函数的图象如图所示,其中,,,则下列关于函数的说法中错误的是( )
A.在上单调递减B.
C.最小正周期是D.对称轴是直线
4．在中,点D,E满足,,BE与AD交于点P,若,则( )
A.B.C.D.
5．已知单位向量a，b的夹角为，则在下列向量中，与b垂直的是( )
A.B.C.D.
6．已知复数,则( )
A.z的虚部为iB.z的实部为-2C.D.
7．如图,正方体的棱长为1,E,F,G分别为线段上的动点（不含端点）,
①异面直线与AF所成角可以为
②当G为中点时,存在点E,F使直线与平面AEF平行
③当E,F为中点时,平面AEF截正方体所得的截面面积为
④存在点G,使点C与点G到平面AEF的距离相等
则上述结论正确的是( )
A.①③B.②④C.②③D.①④
8．如图正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积 ( )
A． B． 1 C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分。
9．已知函数,若函数的部分图象如图所示,函数,则下列结论不正确的是( )
A.将函数的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象
B.函数的图象关于点对称
C.函数在区间上的单调递减区间为
D.若函数为偶函数,则的最小值为
10．设向量，，则下列叙述正确的是( )
A.若，则与的夹角为钝角B.的最小值为2
C.与垂直的单位向量只能为D.若，则
11．设数,则下列关于复数的说法正确的是( )
A.B.C.D.
12．如图是数学家GerminalDandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球，球切于点E，F（E，F是截口椭圆C的焦点）.设图中球，球的半径分别为4和1，球心距，则( )
A.椭圆C的中心不在直线上
B.
C.直线与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为
D.椭圆C的离心率为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设命题，.若p为假命题，则实数a的取值范围是______.
14．如图，在平行四边形ABCD中，，，，若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足，其中，则的最小值是____________.
15．在复平面内，已知O为坐标原点，点，分别对应复数，.若，则__________.
16．已知复数满足，则________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要得文字说明，证明过程或演算步骤。
17．设函数.
（1）设，求函数的最大值和最小值；
（2）设函数为偶函数，求的值，并求函数的单调增区间.
18．如图,在梯形ABCD中,,,.
（1）若,求的长;
（2）若,求.
19．已知复数，，.
（1）若复数在复平面内的对应点落在第二象限，求实数a的取值范围；
（2）若虚数是方程的一个根，求实数m的值.
20．一个圆台的母线长为，两底面面积分别为和.
（1）求圆台的高；
（2）求截得此圆台的圆锥的母线长.
21．如图所示，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点，设，．
（1）用，表示，；
（2）如果且，求的余弦值．
22．已知是关于x的实系数一元二次方程.
（1）若a是方程的一个根，且，求实数k的值；
（2）若，是该方程的两个实根，且，求使的值为整数的所有k的值.
部分参考答案
1．答案：D
解析：因为，则，
联立，解得，
所以.
故答案为：D.
2．答案：B
解析：对于①:由幂函数的定义可知,解得,
将点代入函数得,解得,
所以,故①错误;
对于②:因为定义域为R,且,
所以为奇函数,故②正确;
对于③:由幂函数的图象可知,在R上单调递增,故③正确;
对于④:因为,且在R上单调递增,所以,故④错误,
综上可知,②③正确,①④错误.
故选:B.
3．答案：A
解析：由图象易知：;
;
由,
又,所以.故BC内容正确;
因为,
,,
,所以函数在不是减函数,故A错;
由,即为函数的对称轴,故D对.
故选：A.
4．答案：C
解析：法一:因为P在AD上,故,所以存在唯一实数,
使得,又,故D为BC的中点,
所以 ,所以; 同理存在,使得,
又,
所以,所以,所以,所以,所以.
故选：C.
法二: 不妨设 为等腰直角三角形,其中,,以A为原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,如图,
,,,,
则直线BE,AD的方程分别为,
联立解得, 由,
得,解得,则.
故选：C.
5．答案：D
解析：方法一：由题意，得.对于A，；对于B，；对于C，；对于D，，所以.
方法二：不妨设，，则，，，，易知选D.
方法三：根据条件，分别作出向量b与A，B，C，D四个选项对应的向量的位置关系，如图所示.由图易知，只有选项D满足题意，故选D.
6．答案：B
解析：因为,
所以的实部为-2虚部为1,所以A选项错误,B选项正确.
与2不能比较大小,C选项错误.
,D选项错误.
故选：B.
7．答案：C
解析：对①：因为//,故与AF的夹角即为与AF的夹角,
又当F与C重合时,取得最大值,为;
当F与点重合时,取得最小值,设其为,则,故;
又点F不能与C,重合,故,故①错误;
对②：当G为中点时,存在E,F分别为BC,的中点,满足//面AEF,证明如下：
取的中点为M,连接,MG如下所示：
显然,又面AEF,面AEF,故面AEF;
又易得,面AEF,面AEF,故面AEF;
又,,面,故面面AEF,
又面,故面AEF,故②正确;
对③：连接,,AE如下所示：
因为,故面即为平面AEF截正方体所得截面;
又,故该截面为等腰梯形,又,,
故截面面积,故③正确;
对④：连接GC,取其中点为H,如下所示：
要使得点G到平面AEF的距离等于点C到平面AEF的距离,只需EF经过GC的中点,
显然当点E,F分别为所在棱的中点时,不存在这样的点G满足要求,故④错误.
故选：C.
8．答案：A
解析：
9．答案：CD
解析：根据图像的最大值为3,且,故,
,故或(舍),,故,
即,,
对选项A:,
向左平移得到,正确;
对选项B:当时,,故关于点对称,正确;
对选项C:,,,错误;
对选项D:为偶函数,则,,
解得,,当时,有最小值为,错误.
故选:CD.
10．答案：AB
解析：当时，，所以，所以与的夹角为钝角，所以A正确；
，所以的最小值为2，所以B正确；
与共线的单位向量为或所以C不正确；
若，可得：，解得则或，所以D不正确；
故选：AB.
11．答案：AC
解析：,
,,故A正确;B错误;
,
,故C正确,D错误．
故选：AC．
12．答案：ACD
解析：依题意，截面椭圆的长轴与圆锥的轴相交，椭圆长轴所在直线与圆锥的轴确定的平面截此组合体，
得圆锥的轴截面及球，球的截面大圆，如图，
点A，B分别为圆，与圆锥轴截面等腰三角形一腰相切的切点，线段是椭圆长轴，
可知椭圆C的中心（即线段的中点）不在直线上，故A正确；
椭圆长轴长，
过作于D，连，显然四边形为矩形，
又，，，
则，
过作交延长线于C，显然四边形为矩形，
椭圆焦距，故B错误；
所以直线与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为，故C正确；
所以椭圆的离心率，故D正确；
故选：ACD.
13．答案：
解析：命题p的否定为：，，
由题意可知，命题p的否定为真命题，所以，，解得.
故答案为：.
14．答案：2
解析：因为，所以，，所以.当时，取得最小值2.
15．答案：
解析：因为，，所以，.因为，所以，即.
16．答案：1
解析：复数满足，
，
，
即，，
则，故答案为1.
17、
（1）答案：函数的最大值为，最小值为-3.
解析：据题，得，，
因为，，，
所以，
所以函数的最大值为，最小值为-3.
（2）答案：，增区间为
解析：据题，，
结合该函数为偶函数，得到，得，，
结合，得到，
此时，，
令，解得，
从而得到其增区间为.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）在中,由正弦定理得,
则.
（2）因为,所以.
由余弦定理得,
则,
所以.
19．答案：（1）
（2）17
解析：（1）.
因为在复平面内的对应点落在第二象限，所以，
解得.
因此，实数a的取值范围是.
（2）因为虚数是方程的一个根，所以也是方程的一个根，
于是，解得.
所以，，因此.
20、
（1）答案：
解析：过圆台的轴作截面，则截面为等腰梯形，记为四边形ABCD，如图所示.作于点M.
记圆台的上、下底面的圆心分别为，O，连接.
由已知可得，，且，
所以，即圆台的高为.
（2）答案：
解析：如图，延长，，交于点S，
设截得此圆台的圆锥的母线长为，
则由，可得，得，
即截得此圆台的圆锥的母线长为.
21．答案：（1），
（2）
解析：（1）点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点，，，
；
，
（2）且，
，
，
故的余弦值为．
22．答案：（1）或或
（2）-5，-3，-2
解析：（1）因为是关于x的实系数一元二次方程，所以，
因为a是方程的一个根，且，
当时，则或，
若，代入方程得，解得；
若，代入方程得，解得；
当a为虚数时，不妨设，则也是方程的一个根，
故，又因为，即，故，
所以，解得，
又，得，
所以；
综上：或或.
（2）由韦达定理可知，，，，
所以，
因为为整数，，
所以必为的因式，则的值可能为，
则实数k的值可能为-5，-3，-2，1，3，
又因为是该方程的两个实根，所以，则，
所以k的所有取值为-5，-3，-2.