江苏省五市十一校2023-2024学年高二下学期5月阶段联考数学试题（Word版附解析）

这是一份江苏省五市十一校2023-2024学年高二下学期5月阶段联考数学试题（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了单项选择题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考试时间120分钟，总分150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. （ ）．
A. 15B. 30C. 45D. 60
2. 设点关于坐标原点的对称点是B，则等于（ ）
A. 4B. C. D. 2
3. 的展开式中项的系数为（ ）
A. 32B. C. 64D.
4. 如图，在四面体中，，，，，为线段的中点，则等于（ ）
A. B. C. D.
5. 楼道里有9盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，为了行走安全，第一盏和最后一盏不关，则关灯方案的种数为
A 10B. 15C. 20D. 24
6. 某早餐店发现加入网络平台后，每天小笼包的销售量（单位：个），估计300天内小笼包的销售量约在950到1100个的天数大约是（ ）
（若随机变量，则，，）
A. 236B. 246C. 270D. 275
7. 已知向量不共面，则使向量共面的实数x的值是（ ）
A. B. C. D. 4
8. 若，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若3男3女排成一排，则下列说法正确的是（ ）
A. 共计有360种不同的排法B. 男生甲在排头或在排尾的排法总数为240种
C. 男生甲、乙相邻的排法总数为240种D. 男女生相间排法总数为72种
10. 已知某足球运动员每次定点射门的命中率为0.5，则下述正确的是（ ）
A. 若共进行10次射门，则命中次数的数学期望等于5B. 若共进行10次射门，则命中5次的概率最大
C. 若共进行5次射门，则命中次数的方差等于1D. 若共进行5次射门，则至少有两次命中的概率为
11. 在直三棱柱中，，，分别是的中点，在线段上，则下面说法中正确的有（ ）
A 平面
B. 若是上的中点，则
C. 直线与平面所成角正弦值为
D. 直线与直线所成角最小时，线段长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合，，，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，可以确定的不同点的坐标个数为___________.（用数字作答）
13. 在空间直角坐标系中，、，平面的一个法向量是，则点到平面的距离为______________．
14. 甲、乙两同学玩掷骰子游戏，规则如下：
（1）甲、乙各抛掷质地均匀的骰子一次，甲得到的点数为，乙得到的点数为；
（2）若的值能使二项式的展开式中第5项的二项式系数最大，则甲胜，否则乙胜.
那么甲胜的概率为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答补充完整的题目.
问题：已知，且__________（只需填序号）.
（1）求的值；
（2）求展开式中的奇数次幂项的系数之和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
16. 已知空间三点，设．
（1）若，，求；
（2）求与夹角的余弦值；
（3）若与互相垂直，求k．
17. 端午节吃粽子是我国传统习俗.设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个.
（1）求三种粽子各取到1个的概率；
（2）设表示取到的豆沙粽的个数，求的分布列.
18. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为．
（1）若为棱的中点，求证：平面；
（2）在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.
19. 某水表制造有限公司，是一家十分优质的水表制造公司，该公司有3条水表表盘生产线.
（1）某检验员每天从其中的一条水表表盘生产线上随机抽取100个表盘进行检测，根据长期生产经验，可以认为该条生产线正常状态下生产的水表表盘尺寸服从正态分布N（μ，）.记X表示一天内抽取的100个表盘中其尺寸在之外的个数，求P及X的数学期望；
（2）该公司的3条水表表盘生产线其次品率和生产的表盘所占比例如下表：
现从所生产的表盘中随机抽取一只，若已知取到的是次品，试求该次品分别由三条生产线所生产的概率，并分析该次品来自哪条生产线的可能性最大（用频率代替概率）.
附：若随机变量Z服从正态分布N（），则，生产线编号
次品率
所占比例
1
0.02
35%
2
0.01
50%
3
0.04
15%
2023-2024学年度第二学期阶段联测
高二数学试题
考试时间120分钟，总分150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. （ ）．
A. 15B. 30C. 45D. 60
【答案】C
【解析】
【分析】由排列数公式，组合数公式及性质计算即可．
【详解】，
故选：C．
2. 设点关于坐标原点的对称点是B，则等于（ ）
A. 4B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
求出点关于坐标原点的对称点是B，再利用两点之间的距离即可求得结果.
【详解】点关于坐标原点的对称点是
故选：A
3. 的展开式中项的系数为（ ）
A. 32B. C. 64D.
【答案】B
【解析】
【分析】由二项式定理求解即可
【详解】展开式的通项公式为，
所以展开式中项的系数为，
故选：B
4. 如图，在四面体中，，，，，为线段的中点，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间向量的线性运算求解．
【详解】由已知，
故选：D．
5. 楼道里有9盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，为了行走安全，第一盏和最后一盏不关，则关灯方案的种数为
A. 10B. 15C. 20D. 24
【答案】A
【解析】
分析】
将问题等价转化为将盏关着的灯插入盏亮着的灯所形成的除最左端和最右端的空挡以外的个空档之内，进而求得结果.
【详解】问题等价于将盏关着的灯插入盏亮着的灯所形成的除最左端和最右端的空挡以外的个空档之内
关灯方案共有：种
故选：
【点睛】本题考查组合数的应用，关键是能够将问题进行等价转化为符合插空法的形式.
6. 某早餐店发现加入网络平台后，每天小笼包的销售量（单位：个），估计300天内小笼包的销售量约在950到1100个的天数大约是（ ）
（若随机变量，则，，）
A. 236B. 246C. 270D. 275
【答案】B
【解析】
【分析】根据正态分布在特定区间的概率及正态曲线的对称性进行计算即可得解.
【详解】由题可知，，，.
所以300天内小笼包的销售量约在950到1100个的天数大约是天．
故选：B．
7. 已知向量不共面，则使向量共面的实数x的值是（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量共面得到线性表示，再化简求值即可.
【详解】因为共面，所以存在实数，使得，所以，解得.
故选：A.
8. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用条件概率的公式即可求解.
【详解】因为，所以，所以.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若3男3女排成一排，则下列说法正确的是（ ）
A. 共计有360种不同的排法B. 男生甲在排头或在排尾的排法总数为240种
C. 男生甲、乙相邻的排法总数为240种D. 男女生相间排法总数为72种
【答案】BCD
【解析】
【分析】由全排列公式判断A，B；由捆绑法判断C；由插空法判断D.
【详解】对于A，3男3女排成一排共有种不同的排法，故A错误；
对于B，男生甲在排头或在排尾的排法总数为种，故B正确；
对于C，男生甲、乙相邻的排法总数为种，故C正确；
对于D，男女生相间排法总数为种，故D正确.
故选：BCD.
10. 已知某足球运动员每次定点射门的命中率为0.5，则下述正确的是（ ）
A. 若共进行10次射门，则命中次数的数学期望等于5B. 若共进行10次射门，则命中5次的概率最大
C. 若共进行5次射门，则命中次数的方差等于1D. 若共进行5次射门，则至少有两次命中的概率为
【答案】AB
【解析】
【分析】由二项分布的概率公式以及期望方差公式依次判断即可.
【详解】设表示运动员命中次数为次，由题意可知，随机变量服从二项分布，若进行10次射门，则，
，若进行5次射门，则，
；
对于A，由二项分布期望公式得数学期望为，A正确；
由二项式系数性质知中最大，则命中5次的概率最大，B正确；
对于C，由二项分布方差公式知，命中次数的方差等于，C错误；
对于D，至少命中两次的概率，D错误.
故选：AB.
11. 在直三棱柱中，，，分别是的中点，在线段上，则下面说法中正确的有（ ）
A. 平面
B. 若是上的中点，则
C. 直线与平面所成角的正弦值为
D. 直线与直线所成角最小时，线段长为
【答案】ACD
【解析】
【分析】由题意写出空间中的点的坐标，利用与平面法向量的数量积等于零可判断A；根据可判断B；求出平面的一个法向量，利用空间向量数量积求线面角可判断C；利用异面直线所成角的空间向量求法可判断D.
【详解】由题意可得，，，，
，，，设，
，，
直三棱柱中，，
可得为平面的一个法向量，
为平面的一个法向量，
对于A，，，
即，又平面，所以平面，故A正确；
对于B，若是上的中点，则，
所以，所以与不垂直，故B不正确；
对于C，由为平面的一个法向量，，
设直线与平面所成角为，
则，故C正确；
对于D，设，
则，

当时，即时，取最大值，
即直线与直线所成角最小，此时，
，故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合，，，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，可以确定的不同点的坐标个数为___________.（用数字作答）
【答案】36
【解析】
【分析】先从三个集合中各取一个元素，计算出所构成的点的总数即可得出答案.
【详解】首先取出三个数的方法是，构成不同的坐标的方法，
则再乘以，所以共有种方法．
故答案为：36.
13. 在空间直角坐标系中，、，平面的一个法向量是，则点到平面的距离为______________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用点到平面的距离公式（为平面的一个法向量）可求得点到平面的距离.
【详解】由已知条件可得，平面的一个法向量为，
所以，点到平面的距离为.
因此，点到平面的距离为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求点到平面的距离，方法如下：
（1）等体积法：先计算出四面体的体积，然后计算出的面积，利用锥体的体积公式可计算出点到平面的距离；
（2）空间向量法：先计算出平面的一个法向量的坐标，进而可得出点到平面的距离为.
14. 甲、乙两同学玩掷骰子游戏，规则如下：
（1）甲、乙各抛掷质地均匀的骰子一次，甲得到的点数为，乙得到的点数为；
（2）若的值能使二项式的展开式中第5项的二项式系数最大，则甲胜，否则乙胜.
那么甲胜的概率为______.
【答案】
【解析】
【分析】列举基本事件，利用古典概型的概率公式直接求解.
【详解】甲、乙各抛掷质地均匀的骰子一次，共有基本事件种基本事件；
要使二项式的展开式中第5项的二项式系数最大，只需：
i. ，共有共6种情况；
ii.，共有共5种情况；
iii.，共有共4种情况；
一共15种情况.
所以甲胜的概率为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答补充完整的题目.
问题：已知，且__________（只需填序号）.
（1）求的值；
（2）求展开式中的奇数次幂项的系数之和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）；
（2）30.
【解析】
【分析】（1）根据条件列出方程，即得；
（2）利用赋值法即得；或根据通项依次求奇次幂项系数即得.
【小问1详解】
选择条件①：
由题得中项为，
中项为，
所以，
即，整理得，
由，解得.
选择条件②：
由，
得，
解得.
选择条件③：
令得，
即，
解得.
【小问2详解】
方法一：由（1）得，
令得，
令得，
两式相减得，
所以，
所以展开式中的奇数次幂项的系数和为.
方法二：由（1）得，
由题得中项为，
中项为，项为，项为，
所以，
所以展开式中奇数次幂项的系数和为.
16. 已知空间三点，设．
（1）若，，求；
（2）求与的夹角的余弦值；
（3）若与互相垂直，求k．
【答案】（1）或
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据向量共线设出向量的坐标，由模长公式列出方程，求解即可；
（2）利用向量的坐标公式和向量的夹角公式即可得出；
（3）根据向量垂直时数量积为0，结合向量平方即为模的平方，计算即可得到k．
【小问1详解】
因为，
所以，又因为，
所以，又因为，
所以，
因此或；
【小问2详解】
因为
所以与的夹角的余弦值为；
【小问3详解】
因为与互相垂直，
所以
或.
17. 端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个.
（1）求三种粽子各取到1个的概率；
（2）设表示取到的豆沙粽的个数，求的分布列.
【答案】（1）；（2）分布列见解析
【解析】
【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解；
（2）易得的所有可能取值为0，1，2，分别求得其相应概率，列出分布列.
【详解】（1）令表示事件“三种粽子各取到1个”，
则由古典概型的概率计算公式有.
（2）由题意，得的所有可能取值为0，1，2，则
，
，
.
所以的分布列为
18. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为．
（1）若为棱的中点，求证：平面；
（2）在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；
（2）存在点，位于靠近点的三等分点处满足题意.
【解析】
【分析】（1）取中点，连接，得到，然后利用线面平行的判定定理得到平面；（2）假设在棱上存在点满足题意，建立空间直角坐标系，设，根据平面与平面的夹角的余弦值为，则两平面法向量所成角的余弦值的绝对值等于，求出，即可得出结论.
【小问1详解】
取中点，连接，
分别为的中点，
，
底面四边形是矩形，为棱的中点，
，．
，，
故四边形是平行四边形，
．
又平面，平面，
平面．
【小问2详解】
假设在棱上存在点满足题意，
在等边中，为中点，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，则是四棱锥的高．
设，则，，
，所以.
以点为原点，，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
故，，．
设，
．
设平面PMB的一个法向量为，
则
取．
易知平面的一个法向量为，，
，
故存在点，位于靠近点的三等分点处满足题意.
19. 某水表制造有限公司，是一家十分优质的水表制造公司，该公司有3条水表表盘生产线.
（1）某检验员每天从其中的一条水表表盘生产线上随机抽取100个表盘进行检测，根据长期生产经验，可以认为该条生产线正常状态下生产的水表表盘尺寸服从正态分布N（μ，）.记X表示一天内抽取的100个表盘中其尺寸在之外的个数，求P及X的数学期望；
（2）该公司3条水表表盘生产线其次品率和生产的表盘所占比例如下表：
现从所生产的表盘中随机抽取一只，若已知取到的是次品，试求该次品分别由三条生产线所生产的概率，并分析该次品来自哪条生产线的可能性最大（用频率代替概率）.
附：若随机变量Z服从正态分布N（），则，
【答案】（1），；
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意得到抽取的一个表盘的尺寸在之内的概率为0.9973，从而零件的尺寸在之外的概率为0.0027，判断服从二项分布，结合参考数据，即可求解；
（2）设A表示“取到的是一只次品”，表示“所取到的产品是由第i条生产线生产”，根据题目所给数据结合全概率公式得到，再分别求出次品分别由三条生产线所生产的概率，比较大小即可.
【小问1详解】
抽取的一个表盘的尺寸在之内的概率为0.9973，从而零件的尺寸在之外的概率为0.0027，
由题可知，
所以，
且X的数学期望为，
【小问2详解】
设A表示“取到的是一只次品”，表示“所取到的产品是由第i条生产线生产”，
由题意得：，，，
，
，
所以，
，
，
故该次品来自第1条生产线的可能性最大.
0
1
2
生产线编号
次品率
所占比例
1
0.02
35%
2
0.01
50%
3
0.04
15%