江苏省苏南八校2023-2024学年高一上学期12月联考数学试题（Word版附解析）

这是一份江苏省苏南八校2023-2024学年高一上学期12月联考数学试题（Word版附解析），共24页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.函数f(x)=lnx−2x的零点所在的区间是( )
A. (3,4)B. (2,3)C. (1,2)D. (0,1)
2.函数y= lg0.5(4x−3)的定义域为( )
A. [1,+∞)B. [34,1]C. (34,1]D. (0,34]
3.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=ax3+1，若f(2)=5，则a=( )
A. −12B. 12C. −34D. 34
4.已知lg189=a，18b=5，则lg4581=( )
A. −aa+bB. 2−aabC. 2aa+bD. 2−aa+b
5.已知函数f(x)=(12)x−lg2x，g(x)=(12)x−x2，ℎ(x)=(12)x−x12在区间(0,+∞)内的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小关系为( )
A. a>b>cB. b>c>aC. c>a>bD. b>a>c
6.函数y=xcsx+sinx在区间[−π,π]的图象大致为( )
A. B. C. D.
7.已知函数fx=lgax−2−6(a>0且a≠1)的图象经过定点A，且点A在角θ的终边上，则3sinθ−2csθ2−4=( )
A. −15B. 445C. 5D. 235
8.已知函数f(x)=x2+(4a−3)x+3a, x<0lga(x+1)+1, x≥0(a>0，且a≠1)在R上单调递减，且关于x的方程|f(x)|=2−x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是( )
A. (0,23]B. [23,34]C. [13,23]∪{34}D. [13,23)∪{34}
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是.( )
A. B. C. D.
10.已知sinα−csα=15，且α为锐角，则下列选项中正确的是( )
A. sinαcsα=1225 B. sinα+csα=75 C. α∈0,π4 D. tanα=43
11.已知函数f(x)=sin(csx)，则( )
A. fx为偶函数B. 2π是fx的一个周期
C. fx在−π2,π2上单调递增D. fx=π8在0,π内仅有1个解
12.下列命题正确的是( )
A. 命题：“∀x∈(1,+∞)，都有x2>1”的否定为“∃x∈(−∞,1]，使得x2≤1”；
B. 设定义在R上函数f(x)=lg3(x−1),(x⩾4)f(x+1),(x<4)，则f(1)=1；
C. 已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|x<−1或x>2}，则abc>0；
D. 已知a=lg36，b=lg510，c=2lg34，则a，b，c的大小关系为c>a>b．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知若，求的最小值是__________.
14.已知sinθ+2csθ=0，则3sinπ−θcs32π−θ+csπ+θcs52π−θ= ．
15.已知函数y=f(x−2)的图像关于x=2对称，且对y=f(x)，x∈R，当x1、x2∈(−∞,0)，且x1≠x2时，f(x2)−f(x1)x2−x1<0成立，若f(2ax)16.已知函数f(x)=|2−x−1|，g(x)=|lg2x|,0四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(10分)
已知a>0，a≠1，设集合A={x|lga(x+1)>lga(5−x)}，B={x|2m−1(1)若a>1，请用区间表示A；
(2)若1.9∈A，且A∩B=B，求m的取值范围．
18.(12分)
设函数f(x)= 2cs(2x+π4)+2，x∈R．
(1)求函数f(x)的单调递增区间、对称轴和对称中心；
(2)若x∈[0,π2]，求f(x)的最大值及最小值并指出相应的x值．
19.(12分)
2021年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”、“拉姆达”、“奥密克戎”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松．某科研机构对某变异毒株在一特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记录，用x表示经过单位时间的个数，用y表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据：
若该变异毒株的数量y(单位：万个)与经过x(x∈N∗)个单位时间T的关系有两个函数模型
y=px2+q与y=kax(k>0,a>1)可供选择．
(参考数据： 5≈2.236， 6≈2.449，lg2≈0.301，lg6≈0.778.)
(1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
(2)求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于1亿个．
20.(12分)
已知函数f(x)=2x−1，g(x)=lg2(x−1)．
(1)若λ>0，函数ℎx=fx−λgx在区间3,5上存在零点，求λ的取值范围；
(2)若a>1，且对任意x1∈a,a+3，都有x2∈a,a+3，使得fx1≤gx2成立，求a的取值范围．
21.(12分)
已知函数fx=lga x2+1−mx在R上为奇函数，a>1，m>0．
(1)求实数m的值并指出函数fx的单调性(单调性不需要证明)；
(2)设存在x∈R，使fcs2x+2t−1+f2sinx−t=0成立，请问是否存在a的值？使gt=a4t−2t+1最小值为−23，若存在，求出a的值．
22.(12分)
已知函数f(x)=lg9(9x+1)+bx(b∈R)为偶函数．
(1)求b的值；
(2)求f(x)的最小值；
(3)若f(t(2x−2−x))1
2
3
4
5
6
…
y(万个)
…
10
…
50
…
250
…
参考答案
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.函数的零点所在的区间是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查函数零点存在性定理，属于基础题.
根据函数零点存在性定理判断即可．
【解答】
解：函数在上单调递增，
又，，，故零点所在区间为
故选
2.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查对数函数定义域，属于基础题.
根据对数的真数大于零，以及偶次根式下的被开方数为非负数，列出不等式组，解不等式组即求得函数的定义域.
【解答】
解：由题可知：，解得
3.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，若，则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查利用函数的奇偶性求参数，属于基础题.
由已知条件得出，解方程即可.
【解答】
解：是定义在R上的奇函数，，
则，
又当时，，
则，
解得
故选
4.已知，，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查对数的换底公式，对数的运算法则，属于基础题．
先由得到，再利用换底公式化简即可.
【解答】
解：因为，
所以，又，
所以
故选
5.已知函数，，在区间内的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查函数的零点问题，属于基础题.
在同一坐标系内分别作出函数，的图象，结合图象即可判断.
【解答】
解：在同一坐标系内分别作出函数，的图象如图所示，
则a，b，c分别是和，和，和图象在区间内交点的横坐标，
由图象可知，
故选
6.函数在区间的图象大致为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查函数图象的识别，掌握函数的奇偶性与函数值的特点是关键，属于中档题．
先判断函数的奇偶性，再利用的符号确定选项．
【解答】
解：，
则，
为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除C，D，
当时，，故排除
故选：
7.已知函数且的图象经过定点A，且点A在角的终边上，则( )
A. B. C. 5D.
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了正余弦齐次式的计算，考查了对数函数图象过定点问题，属于较难题.
根据对数函数过定点，求出正切值，再由弦化切，即可求解.
【解答】
解：过定点，点A在角的终边上，则，
故选：
8.已知函数且在R上单调递减，且关于x的方程恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了方程的解的个数问题，以及参数的取值范围，考查了学生的分析问题和解决问题的能力，以及数形结合的思想．
根据分段函数的单调性判断出a的大致范围，再利用函数的图象，推出a的范围．
【解答】
解：函数在R上单调递减，
则：，
解得；
在同一直角坐标系中，画出函数和函数的图象，如下图：
由图象可知，在上，有且仅有一个解，
故在上，有且仅有一个解，
当即时，联立，
即，，
则，
解得或舍去，
当时，方程可化为，符合题意；
当即时，由图象可知，符合条件，
综上：a的取值范围为，
故选：
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是.( )
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性及单调性，涉及分段函数，二次函数，幂函数，指数函数和对数函数的性质，属基础题.
先求函数定义域，再判断奇偶性，最后得出时函数的解析式判断单调性可依次解答判定.
【解答】
解：对于A，函数定义域为R，
由，可得为偶函数；
又当时，在单调递减，在单调递增，故A错误；
对于B，定义域为，
由可得为偶函数；
又由幂函数性质可得在单调递减，故B错误；
对于C，定义域为，
由可得为偶函数；
又当时，，因为在单调递增，在单调递减，所以在单调递增，故C正确；
对于D，定义域为R，
由可得为偶函数；
又当时，，由指数函数性质可得在单调递增，故D正确.
故选
10.已知，且为锐角，则下列选项中正确的是
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】【分析】
本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了方程思想，属于基础题．
根据，并结合为锐角求解即可．
【解答】
解：因为，
所以，即，故A正确，
所以，
因为a为锐角，所以，故B正确，
所以，，
所以，故D正确，
所以，故C错误．
故选：
11.已知函数，则( )
A. 为偶函数B. 是的一个周期
C. 在上单调递增D. 在内仅有1个解
【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查判断函数的奇偶性、周期性及单调性，三角函数的图象与性质，属于中档题.
由函数奇偶性的定义判断A；由选项A可直接判断C；根据周期函数的定义判断B；利用复合函数的单调性判断
【解答】
解：函数，定义域是R，
且，
所以是偶函数，故A正确；
由，
则是的一个周期，故B正确；
因为是偶函数，则的图象关于y轴对称，
则在上不单调，故C错误；
当时，是减函数，且，
因此是增函数，
所以是减函数，且，
又，因此在内仅有1解，故D正确．
故选
12.下列命题正确的是( )
A. 命题：“，都有”的否定为“使得”；
B. 设定义在R上函数，则；
C. 已知关于x的不等式的解集为或，则；
D. 已知，，，则a，b，c的大小关系为
【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查了命题的真假，考查全称量词命题的否定，考查求函数值，考查一元二次不等式的解，考查运用对数函数的性质比较大小，属于中档题.
对各个选项运用相关知识逐一验证可以得出答案.
【解答】
解：对于A，“，都有”的否定应该为“，使得”，故A错误；
对于B，，B正确；
对于C，关于x的不等式的解集为或，所以，且两个根为，2，所以，即，所以，C正确；
对于D，因为，而，，
因为，，所以，故，D正确.
故选：
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知若，求的最小值是__________.
【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题.
【解答】
解：由得，
所以
，
当且仅当，时等号成立.
14.已知，则__________.
【答案】
【解析】【分析】
本题考查同角三角函数关系以及诱导公式，属中档题.
由得，再利用诱导公式化简得到，利用，分子分母同除以得到只含的式子，再根据的值求出答案.
【解答】
解：因为，则，则，
由诱导公式化简三角函数式可得
故答案为
15.已知函数的图像关于对称，且对，，当、，且时，成立，若对任意恒成立，则a的取值范围为__________.
【答案】
【解析】【分析】
本题考查不等式恒成立问题，函数对称性、奇偶性以及单调性的判断，基本不等式求最值，考查逻辑推理能力与转化化归能力，属于较难题．
先利用图象变换以及对称性，确定函数为偶函数，然后由单调性的定义得到在上单调递减，则在上单调递增，利用单调性去掉“f”，将问题转化为对任意恒成立，利用基本不等式求解最值，即可得到答案．
【解答】
解：因为函数的图像关于对称，
所以向左平移2个单位长度，得到的图象关于y轴对称，
故函数为偶函数，
又当、，且时，成立，
所以在上单调递减，
则在上单调递增，
不等式对任意恒成立，
即对任意恒成立，
所以对任意恒成立，
当时，，满足题意，
当时，
即对任意恒成立，
因为，
当且仅当即时取等号，
所以，解得，
所以a的取值范围为
故答案为：
16.已知函数，，且方程有两个不同的解，则实数m的取值范围为__________，方程解的个数为__________.
【答案】 ； 4
【解析】【分析】
本题考查函数零点与方程根的关系，考查了转化思想，数形结合思想，属于中档题．
作出函数和的图象，数形结合即可得到实数m的取值范围；在方程中，设，作出函数的图象，数形结合得到函数与直线的交点横坐标、、的取值范围，再根据图象得出方程、、的根的个数，即可得解．
【解答】解：函数，
当时，，则，此时
由题可知，方程有两个不同的解，即直线与函数的图象有两个不同的交点，如下图所示：
由题可知，当时，直线与函数的图象有两个不同的交点，故；
方程中，由定义域为，设，即，
即求与直线的交点问题，
作出函数的图象如下图所示：
因为，函数与有3个交点，
所以有3个根、、，其中、、，
结合的图象可知，方程有2个不同的根，有1个根，有1个根，综上所述，方程有4个不同的解．
故答案为：；
四、解答题（本大题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题12分
已知，，设集合，
若，请用区间表示A；提示：解含对数的不等式一定要考虑定义域和单调性
若，且，求m的取值范围．
【答案】解：当时，不等式：，
，解得
若，则，解得
不等式，
，解得，
此时，
，，
①若，即，解得，成立；
②若，则，
解得，
的取值范围是
【解析】本题考查集合的求法，考查实数的取值范围的求法，考查对数函数、子集、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．
当时，由不等式：，列出不等式组，能求出集合
由，得利用不等式，列出不等式组求出集合，由，得，根据和，利用分类讨论思想能求出m的取值范围．
18.本小题12分
设函数，
求函数的单调递增区间、对称轴和对称中心；
若，求的最大值及最小值并指出相应的x值．
【答案】解：根据余弦函数的单调性，令，，
解得，，
函数的单调增区间为，；
令，解得，
的对称轴为，；
令，解得，
函数的对称中心为，；
时，，
，
，
当，即时，取得最小值为；
当，即时，取得最大值为
【解析】根据余弦型函数的图象与性质，求出函数的单调增区间和对称轴、对称中心；
求出时的取值范围，即可得出的最大、最小值以及对应的x的值．
本题考查了余弦型函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
19.本小题12分
2021年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”、“拉姆达”、“奥密克戎”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松．某科研机构对某变异毒株在一特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记录，用x表示经过单位时间的个数，用y表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据：
若该变异毒株的数量单位：万个与经过个单位时间T的关系有两个函数模型与可供选择．
参考数据：，，，
判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于1亿个．
【答案】解：若选，
将，和，代入可得，，解得，
故，
将代入，，不符合题意；
若选，
将，和，代入可得，，解得，
故，
将代入可得，，符合题意；
综上所述，选择函数更合适，解析式为
设至少需要x个单位时间，
则，即，两边同时取对数可得，，
则，
，
的最小值为11，
故至少经过11个单位时间该病毒的数量不少于1亿个．
【解析】本题主要考查函数的实际应用，考查对数函数的公式，属于中档题．
将，和，分别代入两种模型求解解析式，再根据的值，即可判断．
设至少需要x个单位时间，则，再结合对数函数的公式，即可求解．
20.本小题12分
已知函数，
若，函数在区间上存在零点，求的取值范围；
若，且对任意，都有，使得成立，求a的取值范围．
【答案】解：当时，函数 在区间 上单调递减，
则由零点存在定理可得 ，即
解得 ，所以 的取值范围是 .
若对任意 ，都有 ，使得 成立，
则当 时， .
因为，所以当 时， 单调递减，
单调递增，
所以 ， ，
所以 .
当时， ， ，不符合条件，
当 时， ， ，符合条件，
所以a的取值范围是 .

【解析】本题考查函数零点、方程的根的判断和利用对数函数的图象与性质求参，属于较难题.
函数 在区间 上单调递减，要使函数 在区间 上存在零点，则由零点存在定理可得 ，解不等式即可得出答案；
若对任意 ，都有 ，使得 成立，则当 时， ，讨论或 ，求出 ，解不等式即可得出答案.
21.本小题12分
已知函数在上为奇函数，，
求实数m的值并指出函数的单调性单调性不需要证明；
设存在，使成立，请问是否存在a的值？使最小值为，若存在求出a的值．
【答案】解：在上为奇函数，，
即，
，则，
，又，解得，经检验满足题意，
则，
易知函数在上单调递减，且，
函数在上单调递增，
在上单调递减，又在上为奇函数，
则在上单调递减，
在上单调递减；
在上为奇函数，
则存在，使成立等价于
，
在上单调递减，则存在使得成立，
，
令，则，
由最小值为，
设，，
①当，即时，，解得舍；
②当，即时，，解得，
故存在a的值，且，使最小值为

【解析】本题考查利用函数的奇偶性求参数，复合函数的单调性，正弦函数的性质，二次函数的最值，属于难题.
根据函数奇偶性的定义，代入计算即可得到m的值，从而得到函数的解析式，根据复合函数的单调性即可得到其单调区间；
根据题意，可得存在使得成立，分离常数t，根据正弦函数的值域可得t的范围，令，设，分类讨论a的范围，根据二次函数的性质代入计算，即可得到结果.
22.本小题12分
已知函数为偶函数．
求b的值；
求的最小值；
若对恒成立，求实数t的取值范围．
【答案】解：因为为偶函数，所以，
即，
所以，解得；
由可得
，
因为，
所以当仅当时等号成立，
所以的最小值为；
，任取，且，
所以，
因为，且，
所以，，则，
所以，则，
所以在上单调递增，
又因为为偶函数，所以，
当时，，，
当时，，所以，
设，
当仅当时取“=”，
因为，所以等号能成立，故最小值为，
即，所以，
综上：
【解析】本题考查函数奇偶性和单调性的应用，考查函数恒成立问题，转化思想，属于难题．
根据偶函数定义得到关于b的方程，解之即可；
化简后得到，结合基本不等式及复合函数性质即可求解；
判断出函数单调性，结合偶函数性质将问题转化为，进而讨论和两种情况，即可求解．1
2
3
4
5
6
…
万个
…
10
…
50
…
250
…