江苏省镇江市六校联考2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷（Word版附解析）

这是一份江苏省镇江市六校联考2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了单项选择题.，多项选择题.等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题（本大题共8小题,每小题5分,共计40分）.
有5名学生报名参加3项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为（ ）
A．60B．125C．243D．120
下列求导运算正确的（ ）
A． B． C． D．
某高中学校学生人数和近视情况分别如图①和图②所示.为了解该学校学生近视形成原因，在近视的学生中按年级用分层抽样的方法抽取部分学生进行问卷调查，已知抽取到的高中一年级的学生36人，则抽取到的高三学生数为（ ）
A．32B．45C．64D．90
若二项式的展开式中所有项的系数和为243，则展开式中项的系数为（ ）
A．40B．60C．80D．160
用0，1，2，3，4，5这六个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）
A．40个B．42个C．48个D．52个
已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
(x2－x＋1)5的展开式中x3的系数为（ ）
A．－20 B．－24 C．－30 D．20
设函数，若函数存在两个极值点，且不等式恒成立，则t的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
h
5
0
．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.漏选得部分分，错选不得分）.
随机抽取6位影迷对电影《长津湖》的评分，得到一组样本数据如下：，则下列关于该样本的说法中正确的有（ ）
A．均值为95B．极差为6
C．方差为26D．第80百分位数为97
在以下结论中正确的是（ ）．
A．
B．
C．不能被100整除
D．已知，则
下列说法正确的是（ ）
A．从含有2件次品和98件正品的100件产品中任取2件，则至少取到1件次品的取法有种
B．甲乙等6名同学和1名老师站成一排照相，则老师必须站在最中间且甲乙必须站在一起的站法有192种
C．将10个“三好生”名额分给4个班级，每班至少1个名额，共有84种分法
D．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少放1个，共有150种放法
三．填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）.
的展开式中x3y3的系数为 .
将5名实习教师全部分配到某校高二年级的甲、乙、丙3个班级实习，要求每个班至少一名，最多两名，其中不去甲班，则不同的分配方案有 种（用数字作答）.
若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为 .
四．解答题（本大题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
（13分）已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间和极值；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围.
（15分）3名女生和5名男生排成一排．（最终答案化为数字！）
(1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法?
(2)如果女生都不相邻，有多少种排法?
(3)如果女生不站两端，有多少种排法?
(4)其中甲必须排在乙前面（可不相邻），有多少种排法?
(5)其中甲不站左端，乙不站右端，有多少种排法?
（15分）已知，二项式.
(1)若该二项展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，求展开式中的系数；
(2)若展开式的前三项的系数成等差数列，求展开式中系数最大的项.
（17分）已知:（,n为常数）．
（1）求|a0|+|a1|+|a2|+...+|an|；
（2）我们知道二项式的展开式．若该等式两边对x求导得：n(1+x)n−1=,令x=1，可得Cn1+2Cn2+3Cn3⋅⋅⋅+nCnn=．利用此方法解答以下问题：
①求；
②求．
（17分）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，讨论函数在上的单调性；
(3)证明：对任意的，有． 高二下学期数学3月月考试卷
考试时间：120分钟 试卷总分150分
一、单项选择题（本大题共8小题,每小题5分,共计40分）.
有5名学生报名参加3项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为（ ）
A．60B．125C．243D．120
【答案】C
【分析】根据分步乘法计数原理求得正确答案.
【详解】每名学生都有种选择方法，
所以不同的报名方法的种数为.
故选：C
下列求导运算正确的（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据基本函数求导公式和导数的运算法则进行判断.
【详解】，A错误；
，B正确；
，C错误；
，D错误.
故选：B
某高中学校学生人数和近视情况分别如图①和图②所示.为了解该学校学生近视形成原因，在近视的学生中按年级用分层抽样的方法抽取部分学生进行问卷调查，已知抽取到的高中一年级的学生36人，则抽取到的高三学生数为（ ）
A．32B．45C．64D．90
【答案】D
【分析】根据近视率求出三个年级的近视的人数，结合抽样比例可得答案.
【详解】近视的学生中，高一、高二、高三学生数分别为180人，320人，450人，
由于抽取到的高一学生36人，则抽取到的近视学生中高三人数为90人.
故选：D.
若二项式的展开式中所有项的系数和为243，则展开式中项的系数为（ ）
A．40B．60C．80D．160
【答案】A
【分析】
根据题意，令可得，再由二项式展开式的通项，即可得到结果.
【详解】令，可得，则，
所以的展开式的通项为，
令，可得.
所以展开式中项的系数为40.
故选：A
用0，1，2，3，4，5这六个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）
A．40个B．42个C．48个D．52个
【答案】D
【分析】分最后一位分别为0，2，4三种情况求解即可.
【详解】当最后一位是时，共有种情况；
当最后一位是时，共有种情况；
当最后一位时，共有种情况 ，所以共有个.
故选：D
已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】构造函数，利用导数法结合条件，得到在上单调递减,利用单调性可得答案.
【详解】设，则
所以在上单调递减，又
由，即，所以
所以
故选：A
(x2－x＋1)5的展开式中x3的系数为（ ）
A．－20B．－24
C．－30D．20
【答案】C
【分析】先将(x2－x＋1)5转化为[1＋(x2－x)]5，则展开式的通项公式Tr＋1＝ (x2－x)r，r＝0，1，2，3，4，5，再求得(x2－x)r展开式的通项公式得到 (－1)k·x2r－k，r＝0，1，2，3，4，5，k＝0，1，…，r，然后令2r－k＝3求解.
【详解】.[1＋(x2－x)]5展开式的第r＋1项Tr＋1＝ (x2－x)r，r＝0，1，2，3，4，5，
Tr＋1展开式的第k＋1项为·(x2)r－k(－x)k＝ (－1)k·x2r－k，r＝0，1，2，3，4，5，k＝0，1，…，r，
当2r－k＝3，即或时是含x3的项，
所以含x3项的系数为 (－1)＋(－1)3＝－20－10＝－30.
故选：C
设函数，若函数存在两个极值点，且不等式恒成立，则t的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求导，然后根据导函数和极值点的关系求出及的范围，然后代入，构造函数求最值即可.
【详解】函数定义域为，，
又函数存在两个极值点，
所以方程在上有两个不相等的正实数根，
则，解得，
又
设，
则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增加，
因为不等式恒成立，
即恒成立，
所以.
故选：D.
h
5
0
．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.漏选得部分分，错选不得分）.
随机抽取6位影迷对电影《长津湖》的评分，得到一组样本数据如下：，则下列关于该样本的说法中正确的有（ ）
A．均值为95B．极差为6
C．方差为26D．第80百分位数为97
【答案】ABD
【分析】根据数据的均值、极差、方差以及第80百分位数的计算，分别判断各选项，即得答案.
【详解】由题意得的平均值为，A正确；
极差为，B正确；
方差为，C错误；
由于，故第80百分位数为第5个数，即97，D正确，
故选：ABD
在以下结论中正确的是（ ）．
A．
B．
C．不能被100整除
D．已知，则
【答案】BD
【分析】计算出、可判断A；计算出、可判断B；
由可判断C；令得，令则可判断D.
【详解】对于A，，，错误；
对于B， ，，所以正确；
对于C，
，能被100整除，错误；
对于D，由，
令，则，
令则，
所以，正确.
故选：BD.
下列说法正确的是（ ）
A．从含有2件次品和98件正品的100件产品中任取2件，则至少取到1件次品的取法有种
B．甲乙等6名同学和1名老师站成一排照相，则老师必须站在最中间且甲乙必须站在一起的站法有192种
C．将10个“三好生”名额分给4个班级，每班至少1个名额，共有84种分法
D．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少放1个，共有150种放法
【答案】BCD
【分析】选项A至少取到1件次品的取法分为两类，抽1个次品1个正品和抽2个次品；
选项B特殊位置优先排，相邻问题要捆绑处理；
选项C相同元素分配问题，可用隔板法；
选项D不同元素分配问题，先分组再分配.
【详解】选项A：从含有2件次品和98件正品的100件产品中任取2件，则至少取到1件次品的取法有种，故A错误；
选项B：甲乙等6名同学和1名老师站成一排照相，则老师必须站在最中间，故只需排6名学生，
老师左右各三个位置，甲乙必须站在一起，将甲乙捆绑看作一个元素，
若甲乙在老师左边，则左边还有1个位置可以在甲乙左侧或右侧，右边有3个位置，
若甲乙在老师右边，则左边还有1个位置可以在甲乙左侧或右侧，左边有3个位置，
共有种，故B正确；
选项C：隔板法，可以把问题看做由3个隔板插入10个相同元素中的9个空里，把10个元素分为4份，故共有种，C正确；
选项D：先分组，再排列，
第一类，将5个不同的小球分为数量为3、1、1的三组，再排列，有种；
第二类，将5个不同的小球分为数量为2、2、1的三组，再排列，有种
共有种，故D正确.
故选：BCD
三．填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）.
的展开式中x3y3的系数为
【详解】展开式的通项公式为（且）
所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：
和
在中，令，可得：，该项中的系数为，
在中，令，可得：，该项中的系数为
所以的系数为
将5名实习教师分配到某校高二年级的甲、乙、丙3个班级实习，要求每个班至少一名，最多两名，其中不去甲班，则不同的分配方案有 种（用数字作答）
【详解】根据题意，去甲班实习的教师可以是1人或2人.
有1人去甲班时，因为不去甲班，可从另外4人中选1人去甲班，有种选法，
再选2人去乙班，有种选法，剩下2人去丙班，有种方法，
这是分3步完成的，故有种方案；
有2人去甲班时，因为不去甲班，可从另外4人中选2人去甲班，有种选法，
再剩余3人分配到2个班的分法有种方法，
所以这类办法有种.
故不同的分配方案有:.
若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为
【详解】设该切线的切点为，则切线的斜率为，
所以切线方程为，
又切线过点，则，整理得.
要使过点的切线有3条，需方程有3个不同的解，
即函数图象与直线在R上有3个交点，
设，则，
令，令或，
所以函数在上单调递增，在和上单调递减，
且极小值、极大值分别为，如图，
由图可知，当时，函数图象与直线在R上有3个交点，
即过点的切线有3条. 所以实数a的取值范围为.
四．解答题（本大题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
（13分）已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间和极值；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围.
【详解】（1）函数的定义域为，
当时，
求导得，整理得：……………………………………………..1分
由得；由得……………………………………………..3分
从而，函数减区间为，增区间为 ……………………………………………..5分
所以函数极小值为，无极大值. ……………………………………………7分
（2）由已知时，恒成立，即恒成立，
即恒成立，则.…………………………………………….9分
令函数，由知在单调递增，
从而 …………………………分
经检验知，当时，函数不是常函数，所以a的取值范围是..………………………分
（15分）3名女生和5名男生排成一排．（最终答案化为数字！）
(1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法?
(2)如果女生都不相邻，有多少种排法?
(3)如果女生不站两端，有多少种排法?
(4)其中甲必须排在乙前面（可不相邻），有多少种排法?
(5)其中甲不站左端，乙不站右端，有多少种排法?
【详解】（1）（捆绑法）由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同5个男生合在一起有6个元素，排成一排有种排法，而其中每一种排法中，3个女生间又有种排法，因此共有（种）不同排法．…………………………………………….. 3分
（2）（插空法）先排5个男生，有种排法，这5个男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有种排法，因此共有（种）不同排法．…………………………………………….. 6分
（3）解法一（位置分析法）因为两端不排女生，只能从5个男生中选2人排列，有种排法，剩余的位置没有特殊要求，有种排法，因此共有（种）不同排法．………………………..9分
解法二（元素分析法）在中间6个位置选3个安排女生，有种排法，其余位置无限制，有种排法，因此共有（种）不同排法．
（4）（定序问题几率法）8名学生的所有排列共种，其中甲在乙前面与乙在甲前面的各占其中，所以符合要求的排法种数为（种）．……………………………….. 12分
（5）甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置．
解法一（特殊元素法）甲在最右边时，其他的可全排，有种；甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有种，而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任一个上，有种，其余人全排列，共有种．……………………………………………分
由分类加法计数原理，共有（种）．
解法二（特殊位置法）先排最左边，除去甲外，有种，余下7个位置全排，有种，但应剔除乙在最右边时的排法种，因此共有（种）．
解法三（间接法）8个人全排，共种，其中，不合条件的有甲在最左边时，有种，乙在最右边时，有种，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有种．
因此共有（种）．
（15分）已知，二项式.
(1)若该二项展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，求展开式中的系数；
(2)若展开式的前三项的系数成等差数列，求展开式中系数最大的项.
【详解】（1）因为展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，
所以，解得，…………………………………………….. 2分
则展开式的通项公式为
，…………………………………………….. 4分
令，解得，
代入通项公式有：，
所以的系数为；……………………………………………..7分
（2）二项式通项公式为：
，
所以第一项的系数为：，第二项的系数为：，
第三项的系数为：，
由于前三项的系数成等差数列，
所以，解得，或，
因为至少有前三项，所以（舍），故，…………………………………………….. 9分
二项式通项公式为：，
设第项的系数最大，故，…………………………………………….. 11分
即，即，
解得，…………………………………………….. 13分
因为，所以或，
故系数最大的项为或.…………………………………………….. 15分
（17分）已知:（,n为常数）．
（1）求|a0|+|a1|+|a2|+...+|an|；
（2）我们知道二项式的展开式．若该等式两边对x求导得：n(1+x)n−1=,令x=1，可得Cn1+2Cn2+3Cn3⋅⋅⋅+nCnn=．利用此方法解答以下问题：
①求；
②求．
【详解】试题分析：（1）利用赋值法，令即可；（2）①由题目给出的条件可知，需要对已知的式子进行两边求导，再利用赋值法令即可；②因为本题中出现了平方，所以需要两边先同时乘以x,再求导赋值即可．
试题解析：（1）|a0|+|a1|+|a3|+...+|an|即为的各项系数的绝对值之和且绝对值之和为正数，令x=-1,则|a0|+|a1|+|a3|+...+|an|=；…………………………………………….. 5分
（2）对等式两边求导得： ．令x=1得=2n．…………………………………………….. 10分
（3） 将两边同乘x得
a1x+2a2x2+3a3x3+...+nanxn，两边再对x求导：
，令x=1得=…………………………………………….. 17分
（17分）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，讨论函数在上的单调性；
(3)证明：对任意的，有．
【详解】（1）解：因为，所以，
即切点坐标为，…………………………………………….. 2分
又，
∴切线斜率…………………………………………….. 4分
∴切线方程为：…………………………………………….. 5分
（2）解：因为，
所以，…………………………………………….. 7分
令，
则，
∴在上单调递增，……………………………………………..9分
∴
∴在上恒成立，
∴在上单调递增. …………………………………………….. 11分
（3）解：原不等式等价于，
令，，
即证，
∵，…………………………………………….. 13分
，
由（2）知在上单调递增，
∴，
∴
∴在上单调递增，又因为，
∴，所以命题得证. …………………………………………….. 17分