广东省河源市正德中学2023-2024学年高一下学期数学期末复习卷（向量与几何）

这是一份广东省河源市正德中学2023-2024学年高一下学期数学期末复习卷（向量与几何），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知向量a=(1,2)，b=(λ,3)，若a→⊥b→，则λ=( )
A. -6B. -32C. 32D. 6
2.如图，水平放置的四边形ABCD的斜二测画法的直观图为矩形A'B'C'D'，已知A'B'=2，O'是A'B'的中点，则AD的长为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4 第二题图
3.已知向量a=(3,1)，b=(-2,m)，且a/​/b，则实数m的值为( )
A. -32B. 32C. -23D. 23
4.已知|a|=2 3|b|，且满足⟨a,b⟩=5π6，则a在b上的投影向量为( )
A. 3bB. - 3bC. 3bD. -3b
5.如图所示，点E为△ABC的边AC的中点，F为线段BE上靠近点B的三等分点，则AF=( )
A. 13BA+23BCB. 43BA+23BCC. -56BA+16BCD. -23BA+13BC 第五题图
6.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为13，弧长为10π的扇形，则该圆锥的体积为( )
A. 100πB. 120πC. 150πD. 300π
7.已知向量a=(-1,1)，且a与a+2b方向相同，则a⋅b的取值范围是( )
A. (1,+∞)B. (-1，1)C. (-1，+∞)D. (-∞，1)
8.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，则异面直线AC1与A1B所成角的余弦值是( )
A. 0 B. 14 C. 64 D. 22
二、多选题
9.在平面直角坐标系中，向量a，b，如图所示，则( )
A. a→⊥b→ B. |2a-b|=5
C. a在2a-b方向上的投影向量的模为1 D. 存在实数λ，使得λa+b与a-b共线
10.已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，下列命题为真命题的有( )
A. m⊥α，m⊥β⇒α//βB. m//n，n⊂α⇒m//α
C. m⊥α，m⊂β⇒α⊥βD. m⊥α，n⊥α⇒m//n
11.如图所示，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列满足MN//平面ABC的是( )
A. B. C. D.
12.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则下列四个命题正确的是( )．
A. 直线BC与平面ABC1D1所成的角等于π4 B. 点C到面ABC1D1的距离为 22
C. 两条异面直线D1C和BC1所成的角为π4 D. 二面角C-BC1-D的平面角的余弦值为- 33
13.在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，且BC=6,AD=2，则( )
A. △ABC面积最大值是6B. △ABC周长可能是14
C. |AD+BE|不可能是5D. BE⋅AC∈(112,352)
三、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
14.已知向量a,b的夹角为2π3，且a=1,a+b⊥a，则b= ．
15.如图，三棱柱A1B1C1-ABC中，已知D，E，F分别为AB，AC，AA1的中点，设三棱锥A-FED的体积为V1，三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2，则V1∶V2的值为 ．
16.正四棱台上、下底面的边长分别为2，4，且侧面积等于两底面面积之和，则该棱台的体积是 ．
17.若向量a=(4,0)，b=(1, 3)，则向量a在向量b上的投影向量坐标为 ．
18.以C为钝角的▵ABC中，BC=3，BA⋅BC=15，
①当C=2π3时，▵ABC面积为 ．
②当A最大时，▵ABC面积为 ．
四、解答题
19.在▵ABC中，AC=2，AB=2 3，C=2π3．
(1)求B；
(2)若D为BC的中点，求AD的长．
20.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(b+c)(sinB+sinC)=asinA+3bsinC．
(1)求角A的大小；
(2)若a= 6，且▵ABC的面积为 3，求▵ABC的周长．
21. 在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinBcsC+2ccsAsinB= 3b.
(1)求角B的大小;
(2)若△ABC为锐角三角形，且c=2a，b=1，求△ABC的面积．
22.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BCC1B1是菱形，AC⊥BC1．
(1)求证：BC1⊥AB1；
(2)若侧面ACC1A1为矩形，AC= 3，BC=2．
①求证：平面ACC1A1⊥平面BCC1B1；
②求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正切值．
23.已知向量a，b的夹角为π4，且|a|= 2，|b|=1．
(1)求a⋅(a+b)的值；
(2)求|a+2b|的值．
24.如图，已知四棱锥P-ABCD中，M是PC的中点，CD⊥平面PAD，△PAD为等边三角形，AB/​/CD，2AB=CD．
(1)求证：BM/​/平面PAD．
(2)求证：BM⊥平面PCD．
25. 如图，四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，四边形ABCD是正方形．
(1)直线AC与平面PBD是否垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由；
(2)若二面角P-CD-B的平面角为60°，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查向量数量积与向量垂直关系，向量数量积的坐标运算，属于基础题．
根据向量垂直的坐标表示进行求解即可．
【解答】
解：因为a=(1,2)，b=(λ,3)，a→⊥b→，
所以a⋅b=λ+6=0，解得λ=-6．
故选A．
2.【答案】C
【解析】【分析】
根据题意，作出原图矩形ABCD，分析原图中BC的值即可．
本题考查斜二测画法，涉及平面图形的直观图，属于基础题．
【解答】
解：由题意知O'B'=1 ， B'C'=1,∴O'C'= 2 ，
如图，将直观图复原为四边形 ABCD ，则四边形 ABCD 为平行四边形，

因为 A'B'=2 ， O' 是 A'B' 的中点，故 OB=1 ，且 OC=2 2 ，
故 BC= OB2+OC2= 1+8=3 ，故 AD=3 ，
故选：C．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查向量平行的条件，是基础题．
根据题意可得3m=-2，解方程即可求得结果．
【解答】
解：∵a→//b→，
∴3m=-2，
解得m=-23．
故选C．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查投影向量的求法，属于基础题．
根据a在b上的投影向量公式|a|cs⟨a,b⟩⋅b|b|进行求解．
【解答】
解：因为|a|=2 3|b|，⟨a,b⟩=5π6，
所以a在b上的投影向量为：
|a|cs⟨a,b⟩⋅b|b|=|a||b|cs⟨a,b⟩⋅b
=2 3cs5π6⋅b=-3b．
故选：D．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查平面向量的线性运算，属于基础题．
根据 AF=AE+EF，进而利用向量的线性运算即可．
【解答】
解：AF=AE+EF
=12AC+23EB=12AC+23(AB-AE)=12AC+23AB-13AC=16AC-23BA
= 16(BC- BA)- 23BA
=-56BA+16BC．
故选C．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查圆锥的结构特征，考查圆锥体积的计算，属基础题．
根据题意求出圆锥的底面圆的半径和圆锥的高，根据圆锥的体积公式计算即可．
【解答】
解：圆锥的侧面展开图是一个半径为13，弧长为10π的扇形，
设圆锥底面圆的半径为r，则2πr=10π，故r=5，
又圆锥的母线为13，故高为 132-52=12，
故该圆锥的体积为13×π×52×12=100π．
故选A．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查向量的数量积运算，平面向量共线定理，向量的模，属于一般题．
由a与a+2b同向，可设a+2b=λa(λ>0)，可得a⋅b=λ-12⋅|a|2=λ-1，依据λ的范围即可求解．
【解答】
解：因为a与a+2b方向相同，所以可设a+2b=λa(λ>0)，
则有b=λ-12a，
又因为a= (-1)2+12= 2，
所以a⋅b=λ-12⋅a2=λ-12×2=λ-1>-1，
所以a⋅b的取值范围是(-1,+∞)，
故选：C．
8.【答案】B
【解析】【分析】
此题考查了异面直线所成角，考查空间几何体的结构特征，利用余弦定理求解，属于中档题．
取A1C，AC的交点为M，BC的中点为N，得A1B的平行线MN，从而得到异面直线所成角，进而利用余弦定理求解．
【解答】
解：设正三棱柱底面边长为AB=a，则AA1=a，
设AC1，A1C交于M，取BC中点为N，
则MN/​/A1B，MN= 22a，
∴异面直线AC1与A1B所成角为∠AMN(或其补角)，
在ΔAMN中，AM=12AC1= 22a，AN= 32a，MN= 22a，
则cs∠AMN= 22a2+ 22a2- 32a22× 22a× 22a=14，
所以异面直线AC1与A1B所成角的余弦值等于14，
故选：B．
9.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查平面向量的坐标运算，考查向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系，向量平行关系的坐标表示，以及投影向量，属于中档题．
由题意可得：a=(2,1),b=(4,-3)，根据向量的坐标运算逐项分析判断．
【解答】
解：由题意可得：a=(2,1),b=(4,-3)，
对于选项A：因为a⋅b=2×4+1×(-3)=5≠0，所以a，b不垂直，故A错误；
对于选项B：因为2a-b=(0,5)，所以|2a-b|= 02+52=5，故B正确；
对于选项C：因为a⋅(2a-b)=2×0+1×5=5,|a|= 22+12= 5，
所以a在2a-b方向上的投影向量的模为|a⋅(2a-b)||2a-b|=55=1，故C正确；
对于选项D：因为λa+b=(2λ+4,λ-3),a-b=(-2,4)，
若λa+b与a-b共线，则(2λ+4)×4=(λ-3)×(-2)，解得λ=-1，
所以当λ=-1时，λa+b与a-b共线，故D正确．
故选：BCD．
10.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查立体几何中，线线，线面的位置关系，属于中档题．
由立体几何中线线，线面，面面的位置关系，逐个判断，即可得出答案．
【解答】
解：对于A：垂直于同一直线的两个平面平行，故A正确；
对于B：m/​/n，n⊂α⇒m/​/α或m⊂α，故B错误；
对于C：由面面垂直的判断定理，故C正确；
对于D：垂直于同一平面的两直线平行，故D正确．
故本题选ACD．
11.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查线面平行的判定，属于基础题．
利用线面平行的判定定理逐个判断即可．
【解答】
解：A图中，连接AM，CM，
由正方体性质得AM//BC，则平面ABCM即为平面ABC，又MN//EF//AC，可知 MN⊂平面ABC，A不能满足;
B图中，作出完整的截面ADBCEF，
则MN//BF，MN⊄平面ABC，BF⊂平面ABC，可得MN/​/平面ABC，B能满足;
C图中，作出完整的截面ABCD，
由正方体性质得MN//BD，又 MN⊄平面ABC，BD⊂平面ABC，可得MN/​/平面ABC，C能满足;
D图中，作出完整的截面ABMNDC，
易知MN⊂平面ABC，故MN与平面ABC不平行，故D不满足，
故选BC．
12.【答案】AB
【解析】【分析】
本题主要考查空间角与空间距离的求法，属于中档题．
根据线面角的定义及求法即可判断A；由点到平面的距离的求法即可判断B；由异面直线所成角的定义及求法即可判断C；由平面角的定义及余弦定理即可判断D．
【解答】
解：如图，取BC1的中点H，连接CH，易证CH⊥平面ABC1D1，
所以∠C1BC是直线BC与平面ABC1D1所成的角，为π4，故A正确；
点C到平面ABC1D1的距离为CH的长度，为 22，故B正确；
易证BC1/​/AD1，
所以异面直线D1C和BC1所成的角为∠AD1C或其补角，
因为△ACD1为等边三角形，
所以两条异面直线D1C和BC1所成的角为π3，故C错误；
连接DH，由BD=DC1，
所以DH⊥BC1，
又CH⊥BC1，
所以∠CHD为二面角C-BC1-D的平面角，
易求得DH= 62，
又CD=1，CH= 22，
由余弦定理可得cs∠CHD=DH2+CH2-CD22DH⋅CH= 33，故D错误．
故选：AB．
13.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查余弦定理，考查平面向量的数量积运算，考查基本不等式，属于较难题．
选项A由题可得AD⊥BC时三角形面积最大；选项B分别在△ABD,△ACD中用余弦定理得出c2+b2=26，然后结合基本不等式可判断；选项C将AD+BE化为32DC-12DA，由向量平方可判断；选项D由AD=32DC+12DA，AC=DC-DA，然后由数量积的定义可得出答案．
【解答】
解：设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c．
选项A，S=12aha=12×6×ha⩽12×6×2=6，当AD⊥BC时等号成立，故A正确；
选项B，c2=32+22-2×2×3cs⁡∠ADB，
b2=32+22-2×2×3cs⁡∠ADC，
∠ADB+∠ADC=π，
则c2+b2=26，所以三角形周长为a+b+c=b+c+6>12，
由基本不等式b+c2⩽ c2+b22= 262，当且仅当b=c= 13时等号成立，
可得c+b+6⩽2 13+6，即三角形的周长的范围是12,2 13+6,
14∉(12,2 13+6]，所以三角形周长不可以取到14，故选项B错误；
选项C，AD+BE=AD+BD+DA+AE=BD+12AC
=DC+12(DC-DA)=32DC-12DA，
所以|AD+BE|= (32DC-12DA)2= 9|DC|2+|DA|2-6DC⋅DA2= 85-6DC⋅DA2，
DC→⋅DA→=|DC→|⋅|DA→|cs⁡∠ADC=6cs⁡∠ADC∈(-6,6)，
所以|AD+BE|∈(72,112)，所以|AD+BE|的值可能取到5，故选项C错误；
选项D，BE=BD+DA+AE=DC+DA+12(DC-DA)=32DC+12DA，
BE⋅AC=(32DC+12DA)⋅(DC-DA)=32|DC|2-12|DA|2-DC⋅DA=232-DC⋅DA，
由DC⋅DA∈(-6,6)，则232-DC⋅DA∈(112,352)，故选项D正确．
故选：AD
14.【答案】2
【解析】【分析】
本题主要考查对向量数量级的运算，属于基础题．
根据向量垂直时，数量积为0，结合数量积的定义，即可求得答案．
【解答】
解：由题意知向量 a,b 的夹角为 2π3 ，且 a=1,a+b⊥a ，
故 (a+b)⋅a=0,∴a2+a⋅b=0 ，
即 1+1×|b|×cs2π3=0 ，则 |b|=2 ，
故答案为：2．
15.【答案】1:24
【解析】【分析】
本题考查了棱锥，棱柱的体积公式，属于基础题．
由题目条件及棱锥棱柱的体积公式，分别表示出V1，V2的体积，即可求解．
【解答】
解：设三棱柱的高为h，
∵F是AA1的中点，则三棱锥F-ADE的高为h2．
V2=SΔABC·h=12AB·AC·sin∠BAC·h，
∵D，E是AB，AC的中点，
V1=13SΔADE·h2
=13×(12×12AB·12AC·sin∠BAC)·h2=124V2，
V1∶V2的值为1:24．
故答案为1:24．
16.【答案】1129
【解析】【分析】
本题考查求棱台的体积，考查棱台的侧面积等于上下底面的计算，考查了正棱台的基本概念和性质等知识，属于中档题．
设A、B分别是棱台的底面中心，C、D分别为底面正方形边的中点，过C作CE⊥AD于E，设棱台的高为h，斜高为h'，棱台的上底面边长为a，下底面边长为b，据题意可得4×12(a+b)h'=a2+b2，得h'=53，再在Rt△CDE中，利用勾股定理可得CE=43，即得即棱台的高h的大小，代入台体的体积公式可求该棱台的体积．
【解答】
解：设棱台的高为h，斜高为h'，
设A、B分别是棱台的底面中心，C、D分别为底面正方形边的中点，过C作CE⊥AD于E，
则AB= //CE，h'=CD，AB=CE=h，
设棱台的上底面边长为a，下底面边长为b，则a=2，b=4，
∵棱台的侧面积等于两底面面积之和，
∴4×12(2+4)h'=a2+b2，得h'=a2+b22(a+b)=4+162×(2+4)=53，
Rt△CDE中，DE=AD-BC=12(b-a)=1，
∴CE= CD2-DE2= (53)2-12=43，即棱台的高h=43，
∴该棱台的体积V=13(22+42+ 22×42)×43=1129．
故答案为：1129．
17.【答案】(1, 3)
【解析】【分析】
本题考查了投影向量的计算公式，向量数量积的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题．
根据投影向量的计算公式求出答案即可．
【解答】
解：∵a=(4,0),b=(1, 3)，
∴a在b上的投影向量坐标为：a⋅b|b|⋅b|b|=44(1, 3)=(1, 3)．
故答案为：(1, 3)．
18.【答案】3 3；3 102
【解析】【分析】
本题考查向量的数量积的概念及其运算，属于较难题．
根据数量积的运算可得BD=5，CD=2，进而根据锐角三角函数以及面积公式即可求解①，利用锐角三角函数以及和差角的正切公式，结合基本不等式即可求解最值，进而由面积公式即可求解②．
【解答】
解：过A作AD⊥BC，垂足为D，如图，

则BA⋅BC=BABCcsB=BD⋅BC=3BD=15，
所以BD=5，又BC=3，所以CD=2．
则AD=CD·tan∠ACD=2×tan60°=2 3，
所以▵ABC的面积为12BC⋅AD=12×3×2 3=3 3．
设AD=y(y>0)，则在直角三角形ABD,ACD中，tan∠B=ADBD=y5,tan∠ACD=ADCD=y2，
由于∠BAC=∠ACD-∠B，
所以tan∠BAC=tan⁡∠ACD-tan⁡∠B1+tan⁡∠ACD·tan⁡∠B
=y2-y51+y210=3y+10y⩽32 10，
当且仅当y=10y，即y= 10时取“=”，由正切函数的单调性知此时∠BAC也最大．
此时▵ABC的面积为12BC⋅AD=12×3y=3 102，
故答案为：3 3，3 102
19.【答案】解：(1)在 ▵ABC 中，由正弦定理 ABsinC=ACsinB 得
sinB=2× 322 3=12 ，
因为在▵ABC中C=2π3，
所以 B∈(0,π3) ，所以 B=π6 ；
(2)
由(1)得， ∠CAB=π-∠C-∠B=π6 ，
所以∠A=∠B，即BC=AC=2 ，
因为D为BC的中点，所以BD=12BC=1．
在 ▵ABD 中，
由余弦定理得：
AD2=AB2+BD2-2AB⋅BDcsπ6=12+1-2×2 3×1× 32=7 ，
所以 AD= 7 ．

【解析】本题考查利用正弦、余弦定理理解三角形，属于一般题．
(1)直接利用正弦定理求解即可；
(2)先求出 BC ，在 ▵ABD 中，利用余弦定理求解即可．
20.【答案】解：(1)由题意及正弦定理知 (b+c)2=a2+3bc ，
∴a2=b2+c2-bc ，
∴csA=b2+c2-a22bc=12 ，
∵0