广东省深圳市盐田高级中学2023-2024学年高一下学期期末复习数学模拟卷5

这是一份广东省深圳市盐田高级中学2023-2024学年高一下学期期末复习数学模拟卷5，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知，则 （ ）
A．B．
C．D．
2．已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．某高校组织大学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，分别是“中华古诗词”“社会主义核心价值观”“科学实践观”“中国近代史”及“创新发展能力”.某参赛队从中任选2个版块作答，则“创新发展能力”版块被该队选中的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．已知平面向量 ，其中，且与和与的夹角相等，则=（ ）
A． B．1C． D．2
5．若，则（ ）
A．B．
C．D．
6．已知的外接圆的圆心为，半径为1，，在上的投影向量为，则（ ）
A．B．C．1D．
7．为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8小时，方差为，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（ ）
A．B．C．D．
8．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．数据1，3，5，7，9，11，13的第60百分位数为9
B．为了了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽取了200名学生进行调查分析．在这个问题中，被抽取的200名学生是样本
C．用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是
D．若样本数据，，的平均数为2，则，，，的平均数为8
10．已知函数，若函数的部分图象如图所示，则关于函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于点对称
C．函数在区间上的减区间为
D．函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到
11．如图①，在菱形中，，将沿对角线翻折（如图②），则在翻折的过程中，下列选项中正确的是（ ）
A．存在某个位置，使得
B．存在某个位置，使得
C．存在某个位置，使得点到平面的距离为
D．存在某个位置，使得四点落在半径为的球面上
第II卷（非选择题）
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三、填空题
12．边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是 .
13．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是
14．在棱长均相等的四面体中，为棱（不含端点）上的动点，过点的平面与平面平行．若平面与平面，平面的交线分别为，则所成角的正弦值的最大值为 ．
四、解答题
15．素有“天府之国”美称的四川省成都市，属于亚热带季风性湿润气候.据成都市气象局多年的统计资料显示，成都市从1月份到12月份的平均温(℃)与月份数(月)近似满足函数，从1月份到7月份的月平均气温的散点图如下图所示，且1月份和7月份的平均气温分别为成都全年的最低和最高的月平均气温.
（1）求月平均气温(℃)与月份数(月)的函数解析式；
（2）推算出成都全年月平均气温低于但又不低于的是哪些月份.
16．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下：
(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；
(2)根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较．
17．如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=．AD=2，BC=4,AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点.
（1）证明：（i）EF∥A1D1；
（ii）BA1⊥平面B1C1EF；
（2）求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值.
18．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，是的面积,．
(1)证明：A＝2C；
(2)若a＝2，且为锐角三角形，求b＋2c的取值范围．
19．已知函数，其中是常数.
(1)若，判断函数的奇偶性，并说明理由；
(2)若，求函数值域；
(3)若，且不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围.
参考答案：
1．B
【分析】求出集合A，根据集合的并集运算，即可得答案.
【详解】由题意解，可得 ，
所以，
则，
故选：B.
2．B
【分析】先求出复数，即可求出.
【详解】因为复数满足，所以
所以，
所以.
故选：B
3．B
【分析】将五个版块依次记为A，B，C，D，E，利用列举法写出样本空间，结合古典概型的计算公式计算即可求解.
【详解】将五个版块依次记为A，B，C，D，E，
则有共10种结果.
某参赛队从中任选2个版块作答，则“创新发展能力”版块被该队选中的结果
有，共4种，
则“创新发展能力”版块被选中的概率为，
故选：B.
4．B
【分析】求出向量，根据题意与和与的夹角相等列出等式，化简可得答案.
【详解】由题意，
得，
由于与和与的夹角相等，故，
即，即，
故选：B.
5．C
【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
【详解】[方法一]：直接法
由已知得：,
即：，
即：
所以
故选：C
[方法二]：特殊值排除法
解法一:设β=0则sinα +csα =0，取，排除A, B；
再取α=0则sinβ +csβ= 2sinβ，取β，排除D；选C.
[方法三]：三角恒等变换

所以
即
故选：C.
6．B
【分析】先根据条件得为直角三角形，再根据投影向量的公式可得，进而可得三角形中每个角的大小，再通过计算可得答案.
【详解】解：，则为中点，又是外接圆圆心，
则为直角三角形，为在上的投影向量，
，∴，
∴，∴
，，
的外接圆半径为1，∴，∴，
∴，
故选：B.
7．B
【分析】根据方差的计算公式求得正确答案.
【详解】该地区中学生每天睡眠时间的平均数为：（小时），
该地区中学生每天睡眠时间的方差为：
.
故选：B
8．D
【分析】先证得平面，再求得，从而得为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.
【详解】解法一:为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，
，又，分别为、中点，
，，又，平面，平面，，为正方体一部分，，即 ，故选D．
解法二:
设，分别为中点，
，且，为边长为2的等边三角形，
又
中余弦定理，作于，，
为中点，，，
，，又，两两垂直，，，，故选D.
【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．
9．AD
【分析】对于A，根据百分位数的定义计算判断，对于B，根据样本的定义分析判断，对于C，根据随机抽样的性质分析判断，对于D，根据平均数的性质分析判断.
【详解】对于A，因为，所以第60百分位数为第5个数是9，所以A正确，
对于B，由题意可知被抽取的200名学生的成绩是样本，所以B错误，
对于C，用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是，所以C错误，
对于D，若样本数据，，的平均数为2，则，，，的平均数为，所以D正确，
故选：AD
10．ABC
【分析】根据三角函数图象的性质即可求解.
【详解】∵，∴，∴．
又∵，得（舍）或，
因为，∴，
∴，
其图象对称轴为，．当时，，故A正确；
∵，，，
∴的图象关于点对称，故B正确；
∵函数的单调递减区间为，．
∴，，
∴当时，在上单调递减，
所以在上单调递减，故C正确；
∵．故D错误．
故选:ABC.
11．ABD
【分析】选项A：由菱形对角线即可判断；选项B：当点在平面内的投影为的重心时，由线面垂直的判定和性质定理即可判断；选项C：点到和的距离均为，则当点到平面的距离为时平面平面，平面平面，可推得，与是等边三角形矛盾；选项D：由底面三角形外接圆半径小于即可判断.
【详解】选项A：因为菱形的对角线,所以将沿对角线翻折到位置的过程中，一定存在某个位置使得，A正确；
选项B：当点在平面内的投影为的重心时，有平面，
因为平面，所以，
又因为，，平面，
所以平面，因为平面，所以，即存在某个位置，使得，B正确；
选项C：因为点到的距离为，点到的距离为，
若点到平面的距离为，则平面平面，平面平面，
因为平面平面，则有平面，
又因为平面，所以，与是等边三角形矛盾，C错误；
选项D：由对称性可得四面体的外接球球心在底面三角形中心的中垂线上，因为底面三角形外接圆半径为，所以一定存在四面体的外接球取得半径，D正确；
故选：ABD
12．
【分析】设正方形的内切圆为圆，当弦的长度最大时，为圆的一条直径，计算可得出，计算出的取值范围，即可得解.
【详解】如下图所示：
设正方形的内切圆为圆，当弦的长度最大时，为圆的一条直径，
，
当为正方形的某边的中点时，，
当与正方形的顶点重合时，，即，
因此，.
故答案为：.
13．
【分析】两轮活动猜对3个成语，相当于事件“甲猜对1个，乙猜对2个”、事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生，根据独立事件概率的求法求解即可.
【详解】设事件分别表示甲两轮猜对1个，2个成语，事件分别表示乙两轮猜对1个，2个成语，则
，，
，，
设事件为““星队”在两轮活动中猜对3个成语”，
则，且与互斥，与，与分别相互独立，
所以
，
故答案为：
14．/
【分析】根据面面平行的性质定理说明，从而说明或其补角即为所成的平面角，利用余弦定理求得的长，结合同角的三角函数关系即可求得答案.
【详解】连接，由题意知过点的平面与平面平行，
平面与平面、平面的交线分别为，
由于平面平面，平面平面，
平面平面，所以，
所以或其补角即为所成的平面角，
设正四棱锥的棱长为1，，则，
在中，由余弦定理得
，
同理求得，
故在中，
，
由于，则，
进而，
当时取等号，故的最小值为，
进而，故的最大值为.
故答案为：．

【点睛】关键点点睛：要求直线，所成角的正弦值的最大值，需找出直线，所成角，因而解答的关键是利用面面平行的性质说明所求角即为或其补角.
15．（1）．（2）3月、4月、9月、10月．
【解析】（1）利用五点法求出函数解析式；
（2）解不等式可得结论．
【详解】（1）由题意，，，，又，而，∴．
∴．
（2）由，解得或
或，又，∴3，4，9，10．
∴全年月平均气温低于但又不低于的是3月、4月、9月、10月．
【点睛】方法点睛：本题三角函数的应用，解题关键是根据已知函数模型求出函数解析式，掌握五点法是解题基础，然后根据函数解析式列式（方程或不等式）计算求解．
16．(1)
(2)新养殖法更加优于旧养殖法.
【分析】（1）通过计算旧养殖法的箱产量低于50kg的频率来估计其概率；
（2）利用平均数进行比较判断即可.
【详解】（1）由频率分布直方图可知，旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为
，
所以事件A的概率估计值为；
（2）由频率分布直方图可得
旧养殖法100个网箱的箱产量的平均数为
，
新养殖法100个网箱的箱产量的平均数为
，
因为，
所以新养殖法更加优于旧养殖法.
17．（1）（i）证明见解析；（ii）证明见解析；（3）
【详解】（1）证明：（i）
（ii）由（i）知F为
（2）由（ii）的证明可知
记，则即为所求角，
则
【考点定位】该题主要考查平行关系，垂直关系的证明与空间线面角的计算，是常考考点，解法不失常用性
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由诱导公式，三角形面积公式代入后得，再结合余弦定理得，然后由正弦定理化边为角后，利用两角和与差的正弦公式化简变形可证；
（2）由三角形是锐角三角形得出的范围，由正弦定理用角表示出，从而求得的取值范围，再由（1）可用表示出，可把表示为的函数，利用函数的单调性得范围．
【详解】（1）证明：由，即，
∴，，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∴，
∴，∴，
∴，
∴A，B，C∈（0，π），∴即A＝2C．
（2）∵，且a＝2，∴
∵A＝2C，∴B＝π－3C，
∵为锐角三角形，所以,
∴，∴，
由a＝2，，所以，则，
且，
设,，
设，则，
∴，，
所以,为减函数，
∴．
19．(1)非奇非偶，理由见解析
(2)2
(3)
【分析】（1）当时，根据奇偶函数的定义和、即可判断的奇偶性；
（2）根据单调函数的定义可得，即，解之即可求解；
（3）由题意可得，由（1）（2），结合函数的奇偶性和单调性解不等式即可.
【详解】（1）当时，，则，
所以是奇函数；
当且时，，，
且，此时是非奇非偶函数.
（2）
（3），因此，则，
由（1）（2）知是奇函数，且在、上单调递减，在上单调递增，
所以此时的值域为，所以，
又因为，
所以不等式，
由于最小值为，
所以，解得.