广东省河源市正德中学2021-2022学年级高二上学期第一次段考数学【试卷+答案】

河源正德中学2020级高二第一学期高二第一次段考

数 学 试 卷

一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.  

1．已知集合，，则（    ）

A．         B．         C．           D．

2．已知复数（为虚数单位），则的共轭复数是（    ）

A．               B．                C．               D．

3．下列函数中为奇函数的是（    ）

A．y= cosx              B．y=|x|+1               C．y=x3                   D．

4．已知圆，则过圆上一点的切线的方程为（    ）

A．       B．或       C．      D．

5．如图，四面体-，是底面△的重心，，则（     ）

A．                         B．

C．                         D．

6．“”是“直线和直线垂直”的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

7．一束光线从点出发，经轴反射到圆上的最短距离为（    ）

A．6     B．4       C．       D．

8．设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为（    ）

A．     B．       C．      D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得2分.

9．下列说法中，正确的是（    ）

A．直线在轴上的截距为

B．直线的倾斜角为

C．，，三点共线

D．过点且在轴上的截距相等的直线的方程为

10．已知圆，点是圆上的动点，则下列说法正确的有（    ）

A．圆关于直线对称           B．直线与的相交弦长为

C．的最大值为           D．的最小值为

11．给出下列命题，其中正确的命题是（    ）

A．若，则是钝角

B．若为直线l的方向向量，则λ也是直线l的方向向量

C．若，则可知

D．在四面体中，若，，则

12．如图，正方体的棱长为1，点是棱上的一个动点（包含端点），则下列说法正确的是（    ）

A．存在点，使面

B．二面角的平面角大小为

C．的最小值是

D．到平面的距离最大值是

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．直线与直线之间的距离是___________.

14．设空间向量，，若，则 ___________.

15．已知定义在上的奇函数，满足，当时，，则的值为___________.

16．已知曲线与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是___________.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题10分）已知点，，以为直径的圆记为圆.

（1）求圆的方程；

（2）若过点的直线与圆交于，两点，且，求直线的方程.

18．（本小题12分）为了讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对党史的了解，某班级开展党史知识竞赛活动，现把50名学生的成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.

（1）求的值并估计这次竞赛成绩的第75百分位数；

（2）用分层抽样的方法从成绩在，两组学生中抽取5人进行培训，再从这5人中随机抽取2人参加校级党史知识竞赛，求这2人来自不同小组的概率.

19.（本小题12分）如图，四棱锥的底面是矩形，　平面，为的中点.

（1）证明：平面平面.

（2）若，，求二面角的余弦值.

20．（本小题12分）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.

（1）求角；

（2）若，，点D在边AC上，且，求BD的长.

21．（本小题12分）如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，二面角的大小为.

（1）求证：平面；

（2）若，点为线段上的点，若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度.

22．（本小题12分）已知函数关于的不等式的解集为.

（1）求实数的值；

（2）求关于的不等式的解集；

（3）若关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.

高二第一次考试数学试题参考答案

1．C     ，，，

2．D    

3．C   解：对于A，，则，所以函数为偶函数，故A错误；

对于B，，则，所以函数为为偶函数，故B错误；

对于C，，则，所以函数为奇函数，故C正确；

对于D，，定义域为，所以函数不具有奇偶性，故D错误.

4．A    因为圆的圆心为，所以，所以切线的斜率，

所以所求切线的方程为，即，

5．B      因为，所以

，

6．A      解：若直线和直线垂直，则，解得或，则“”是“直线和直线垂直”的充分非必要条件.

7．D   解：由题意，圆C的标准方程为， 所以圆C的圆心坐标为，半径，

又点关于轴的对称点为，所以，

所以，所求最短距离为.

8.B   解：如图所示，点M为三角形ABC的中心，E为AC中点，

当平面时，三棱锥体积最大

此时，    

,   点M为三角形ABC的中心   

中，有  

9．BC

对于A：直线在y轴上的截距为-3，故A错误；

对于B：，所以直线的斜率为，

则倾斜角，故B正确；

对于C：由可得，

所以，A、B、C三点共线，故C正确；

对于D：过点且在x、y轴截距相等的直线的方程为或，故D错误.

10．ACD       圆的标准方程是，，半径为，

易得点在直线上，A正确；

点到直线的距离为，弦长为，B错；

由得代入圆的方程整理得，

，，所以的最大值是，C正确；

，，所以的最小值是，D正确．

11．CD

对于A，当时，若，但，不是钝角，所以A错；

对于B，当时，，不是直线的方向向量，所以B错；

对于C，

⇒⇒，所以C对；

对于D，如图，过P作平面ABD交平面于O点，连结CO交AB于M，

连结AO交BC于N，连结BO交AC于T，

同理为垂心，所以，

从而，所以D对；

12．AC

对于A，当与重合时，，根据线面平行的判定，可得面，故正确；

对于B，二面角就是二面角，其平面角大小为.故错；

值为，故正确；

对于D，当与重合时，垂直平面，此时点到面距离最大值为，故错.

故选：AC.

13．     直线可化为：，

由平行直线间距离公式可得所求距离.

14．      因为空间向量，，且，所以，

即，可得，解得：，，所以，，

则，所以．

15．2   因为    令,代入可得 即为周期为2的周期函数

为定义在上的奇函数,则 ， 所以

16．.　　解：根据题意画出图形，如图所示：

由题意可得：直线过，，

又曲线图象为以为圆心，2为半径的半圆，

当直线与半圆相切，为切点时，圆心到直线的距离，即，解得：；

当直线过点时，直线的斜率为，

则直线与半圆有两个不同的交点时，实数的范围为．

17．（1）；（2）或.

（1）由，，得的中点坐标为，即圆心坐标为，半径，…3分

圆的方程为…………4分

（2）由，可得弦心距为…………5分

当直线的斜率不存在时，直线的方程为，

圆心到直线的距离为2，所以满足题意;…………6分

当直线的斜率存在时，设直线方程为  即.…………7分

圆心到直线的距离，解得，直线的方程为…………9分

直线的方程为或.…………10分

18．（1）a=0.020，第75百分位数为；（2）.

（1）由直方图得：，解得：，…………2分

前四组频率之和，则第75百分位数在小组，…………4分

∴第75百分位数为：；…………6分

（2）来自小组的有3人记为，，，来自小组的有2人记为，，

从5人中随机抽取2人，基本事件为，，，，，，，，，共10个，…………8分

这2人来自不同组的有，，，，，共6个，…10分

∴这2人来自不同小组的概率为.…………12分

19．（1）因为四边形是矩形，所以.因为平面，AD平面ABCD，所以，………2分

又，所以平面（证平面亦可）.……4分

因为平面，所以平面平面.…………5分

（2）以为坐标原点，DA、DC、DP所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，所以，.………7分

设平面的法向量为，则，即

令，得.  易知平面的一个法向量为，………9分

所以，………11分

由图可知二面角为钝角，故二面角的余弦值为.………12分

20．（1）；（2）.

（1）∵，由正弦定理得……1分

∴ ∵，∴，……4分　

∵，∴.……6分

（2）设，，则…………7分

在中，.…………8分

在中，①

在，②…………10分

①+②×2：得，综上.………12分

21．（1）在四棱锥中，

因为平面平面，平面平面，，

平面，所以平面；又平面，所以，，所以为二面角的平面角，所以，………2分

又，所以. 又平面，平面，所以平面.………4分

（2）取的中点，连结，则，又，所以，又平面，平面，所以，所以，，两两垂直.………5分

以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴建立如图的空间直角坐标系，

则，，，，则，，，…6分

设，，所以………7分

设平面的法向量为，则，即，令，可得，，   所以， ………9分

设直线与平面所成的角为，则，

解得，………11分           所以的长为.………12分

22．（1）因为关于的不等式的解集为，即不等式的解集为，

所以，解得，所以，………2分

（2）由，得，

即，即，故

①若，则；

②若，则不等式无解；

③若，则.

所以当时，解集为，当时，不等式无解，当时，解集为………7分

（3）由（1）得方程可化为令则.

故方程有两个不相等的正实数根，记两个正根是

  解得，

实数的取值范围是………12分