八年级下册数学暑假作业 (33)

这是一份八年级下册数学暑假作业 (33)，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知是一次函数，则m的值为（ ）
A. 1B. 2C. D.
3. 下列各组数据中，不能作为直角三角形边长的是 （ ）
A 3，4，5B. 5，， C. 3，5，7D. 1，2，
4. ，是正比例函数的图象上的两个点，则，的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 不能确定
5. 如图，四边形的对角线，相交于点O，，且，则添加下列一个条件能判定四边形是菱形的是（ ）
A. B. C. D.
6. 甲、乙两种物质的溶解度（g）与温度t（）之间的对应关系如图所示，则下列说法中，错误的是（ ）

A. 甲、乙两种物质的溶解度均随温度升高而增大
B. 30时两种物质的溶解度一样
C. 0时两种物质的溶解度相差10g
D. 在0-40之间，甲的溶解度比乙的溶解度高
7. 如图，有一根电线杆在离地面处的A点断裂，此时电线杆顶部C点落在离电线杆底部B点远的地方，则此电线杆原来长度为（ ）
A B. C. D.
8. 小明用四根长度相同的木条制作了如图1所示的能够活动的菱形学具，并测得，对角线，接着把活动学具变为图2所示的正方形，则图2中的对角线的长为（ ）

A. B. C. D.
9. 某中学举办了以“放歌新时代奋进新征程”为主题的知识竞答比赛（共10道题，每题1分）．已知选取了10名学生的成绩，且10名学生成绩的中位数和众数相同，但在记录时遗漏了一名学生的成绩．如图是参赛9名学生的成绩，则这10名学生成绩的中位数是（ ）
A. 7B. 7.5C. 8D. 9
10. 如图，直线l是一次函数的图象，且直线l过点，则下列结论错误的是（ ）
A. B. 直线l过坐标为的点
C. 若点，在直线上，则D.
11. “勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为 （ ）
A 126B. 127C. 128D. 129
12. 如图，在中，，，平分，对角线相交于点，连接，下列结论中正确的有（ ）
①；②；③；④；⑤
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
二、填空题（每题4分，共计24分）
13. 代数式在实数范围内有意义，则实数x取值范围是______．
14. 如图，为了测量池塘两岸A，B两点之间的距离，可在外选一点C，连接和，再分别取、的中点D，E，连接并测量出的长，即可确定A、B之间的距离．若量得，则A、B之间的距离为________m
15. 如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得，若梯子的顶端沿墙下滑，这时梯子的底端也向右滑，则梯子的长度为________.
16. 如图，直线：分别与，轴交于、B两点，过点B的直线交x轴的负半轴于点C，且，直线的函数解析式为_____________．

17. 如图1，中，点P从A点出发，匀速向点B运动，连接，设的长为，的长为，则关于的函数图形如图2所示，其中函数图象最低点，则的周长为______．

18. 新定义：为一次函数的“双减点”．若是某正比例函数的“双减点”，则关于y的不等式组的解集为 __________．
三、解答题（共计78分）
19. 计算：
（1）；
（2）．
20. 某校为丰富同学们的课余生活，全面提高科学素养，提升思维能力和科技能力，开展了“最强大脑”邀请赛，现从七、八年级中各随机抽取了20名学生的初赛成绩（初赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）统计、整理如下：
七年级抽取的学生的初赛成绩：6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，10，10，10．
七、八年级抽取的学生的初赛成绩统计表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______；
（2）若该校八年级有900名学生参加初赛，规定满分才可进入复赛，估计八年级进入复赛的学生人数为多少人．
（3）根据以上数据，你认为七、八年级学生在“最强大脑”邀请赛中，哪个年级的学生初赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可）
21. 如图，中，，平分，交于点，，．
（1）则点到直线的距离为______．
（2）求线段的长．
22. 如图1，为线段上一动点，分别过点B、D作，，连接、．已知，，，设．
（1）用含的代数式表示的长为________；
（2）求的最小值________；
（3）根据（2）中的规律和结论，请模仿图1在网格中（图2）构图并求代数式的最小值．
23. 为提升青少年身体素质，某市在全市中小学推行“阳光体育”活动，某中学为满足学生的需求，准备再购买一些篮球和足球．如果分别用800元购买篮球和足球，则购买篮球的个数比足球的个数少2个，已知足球的单价为篮球单价的．
（1）求篮球、足球的单价分别为多少元？
（2）学校计划购买篮球、足球共60个，如果购买足球m（）个，总费用为w元，请写出w与m的函数关系式；
（3）在（2）的条件下学校计划总费用不多于5200元，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？​
24. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点、分别在轴正半轴、轴正半轴上，过点作轴交轴于点，交对角线于点．

（1）求证：；
（2）判断的数量关系，并说明理由；
（3）若点，坐标分别为，则的周长为 ．
25. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，且与直线交于点．

（1）求出点，，的坐标；
（2）若是线段上的点，且的面积为，求直线的函数解析式；
（3）在平面内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
八年级下册数学暑假作业
一、选择题（每题4分，共计48分）
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，分母不能带根号，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、，是最简二次根式，故本选项符合题意；
C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2. 已知是一次函数，则m的值为（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一次函数的定义进行求解即可．
【详解】解：∵是一次函数，
∴且，
解得，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，熟知形如 的函数叫做一次函数是解题的关键．
3. 下列各组数据中，不能作为直角三角形边长的是 （ ）
A. 3，4，5B. 5，， C. 3，5，7D. 1，2，
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形．因此，只需要判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．
【详解】解：A、，根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、，根据勾股定理的逆定理可知不是直角三角形，故本选项符合题意；
D、，根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，已知三条线段的长，判断是否能构成直角三角形的三边，判断的方法是：计算两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．
4. ，是正比例函数的图象上的两个点，则，的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】由可知y随x的增大而增大，比较x的大小即可确定y的大小．
【详解】
∴y随x增大而增大，
∵，
∴；
故选：B．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质，掌握正比例函数的增减性是解答此题的关键．
5. 如图，四边形的对角线，相交于点O，，且，则添加下列一个条件能判定四边形是菱形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据菱形的判定方法分别对各个选项进行判定，即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
当时，四边形是矩形；故选项A不符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形，故选项B符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；故选项C不符合题意；
当时，不能判定四边形为菱形；故选项D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
6. 甲、乙两种物质的溶解度（g）与温度t（）之间的对应关系如图所示，则下列说法中，错误的是（ ）

A. 甲、乙两种物质的溶解度均随温度升高而增大
B. 30时两种物质的溶解度一样
C. 0时两种物质的溶解度相差10g
D. 在0-40之间，甲的溶解度比乙的溶解度高
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数图象的意义逐项分析即可解答．
【详解】解：A.由图象可知：甲、乙两种物质的溶解度均随温度升高而增大，说法正确，不满足题意；
B.由图象可知：时两种物质的溶解度一样，说法正确，不满足题意；
C.由图象可知：时两种物质的溶解度相差为g，说法正确，不满足题意；
D.由图象可知：在之间，甲的溶解度比乙的溶解度低，温度超过时，甲的溶解度比乙的溶解度高，原说法错误，满足题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了函数的图象，熟练掌握横纵坐标表示的意义是解题的关键．
7. 如图，有一根电线杆在离地面处的A点断裂，此时电线杆顶部C点落在离电线杆底部B点远的地方，则此电线杆原来长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】在中利用勾股定理求出长，进而得出答案．
【详解】解：由题意可得：在中，，，
∴，
故这根高压电线杆断裂前高度为：．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
8. 小明用四根长度相同的木条制作了如图1所示的能够活动的菱形学具，并测得，对角线，接着把活动学具变为图2所示的正方形，则图2中的对角线的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在图1中，可证得是等边三角形，得出，在图2中，由勾股定理求出的长即可．
【详解】解：图1中，∵四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
在图2中，∵四边形是正方形，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的性质．
9. 某中学举办了以“放歌新时代奋进新征程”为主题的知识竞答比赛（共10道题，每题1分）．已知选取了10名学生的成绩，且10名学生成绩的中位数和众数相同，但在记录时遗漏了一名学生的成绩．如图是参赛9名学生的成绩，则这10名学生成绩的中位数是（ ）
A. 7B. 7.5C. 8D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】根据中位数和众数的定义分情况讨论即可．
【详解】由图可知，9名学生的成绩为：7，9，6，8，10，7，9，8，9，
按大小排序：10，9，9，9，8，8，7，7，6，
∵10个数据的中位数是按从大到小排列后的第5、6两个数的平均数，
∴若遗漏的数据为10，则中位数为，众数为9，
∵10名学生成绩的中位数和众数相同，
∴遗漏的数据不为10，
若遗漏的数据为9，则中位数为，众数为9，
∵10名学生成绩的中位数和众数相同，
∴遗漏的数据不为9，
若遗漏的数据为8，则中位数为，众数为9、8，
∵10名学生成绩的中位数和众数相同，
∴遗漏的数据可能为8，
若遗漏的数据为7，则中位数为，众数为9，
∵10名学生成绩的中位数和众数相同，
∴遗漏的数据不为7，
若遗漏的数据为6，则中位数为，众数为9，
∵10名学生成绩的中位数和众数相同，
∴遗漏的数据不为6，
综上，这10名学生成绩的中位数是8．
故选：C
【点睛】本题主要考查了中位数和众数的概念，熟练掌握中位数和众数的定义是解本题的关键．
10. 如图，直线l是一次函数的图象，且直线l过点，则下列结论错误的是（ ）
A. B. 直线l过坐标为的点
C. 若点，在直线上，则D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数图象可知，即得出，可判断A；将点代入，即得出，即直线的解析式为，由当时，，即可判断B；由图象可知该函数y的值随x的增大而减小，从而即可得出，可判断C正确；由该函数y的值随x的增大而减小，且当时，，即得出当时，，从而可判断D．
【详解】∵该一次函数的图象经过第二、三、四象限，且与y轴的交点位于x轴下方，
∴，
∴，故A正确，不符合题意；
将点代入，得：，
∴，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴直线l过坐标为的点，故B正确，不符合题意；
由图象可知该函数y值随x的增大而减小，
又∵，
∴，故C正确，不符合题意；
∵该函数y的值随x的增大而减小，且当时，，
∴当时，，即，故D错误，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质．由图象确定出，y的值随x的增大而减小是解题关键．
11. “勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为 （ ）
A. 126B. 127C. 128D. 129
【答案】B
【解析】
【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．
【详解】解：∵第一代勾股树中正方形有（个），
第二代勾股树中正方形有（个），
第三代勾股树中正方形有（个），
．
∴第六代勾股树中正方形有（个），
故选B．
【点睛】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．
12. 如图，在中，，，平分，对角线相交于点，连接，下列结论中正确的有（ ）
①；②；③；④；⑤
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得出，，，，根据角平分线的定义得出，得出是等边三角形，根据三角形中位线的性质得出，进而逐项分析判断即可求解．
【详解】解：∵在中，，
∴，，，
∵平分，
∴
∴是等边三角形，
∴,
∵，
∴，
∴是的中点
∴
又∵，
∴，
∴
∴，
∴；故①正确，
∵，
∴，即，故②正确；
∵，
∴；故③正确，
∵
∴，故④不正确，
∴
∴，故⑤正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
二、填空题（每题4分，共计24分）
13. 代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
详解】解：，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
14. 如图，为了测量池塘两岸A，B两点之间的距离，可在外选一点C，连接和，再分别取、的中点D，E，连接并测量出的长，即可确定A、B之间的距离．若量得，则A、B之间的距离为________m
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形中位线的性质解答即可．
【详解】解：∵点D，E分别是，的中点，
∴是的中位线，而，
∴．
故答案为：40．
【点睛】本题主要考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解答本题的关键．
15. 如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得，若梯子的顶端沿墙下滑，这时梯子的底端也向右滑，则梯子的长度为________.
【答案】##5米
【解析】
【分析】设，利用勾股定理用表示出和的长，进而求出的值，然后由勾股定理求出的长度．
【详解】解：设，
由题意得：，，，
在中，根据勾股定理得：，
在中，根据勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴ ，
即梯子的长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
16. 如图，直线：分别与，轴交于、B两点，过点B的直线交x轴的负半轴于点C，且，直线的函数解析式为_____________．

【答案】
【解析】
【分析】根据点在直线：，求出的值，继而求出点的坐标，再根据，求出点的坐标，设直线的函数解析式：，把，两点代入，解出，，即可．
【详解】∵点在直线：，
∴，
解得：，
∴直线：，
当时，，
∴，；
∵，
∴，
∵点在轴的负半轴，
∴，
∴设直线的函数解析式：，
∴，
解得：，
∴直线的函数解析式为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数的知识，解题的关键是掌握一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求解一次函数的解析式．
17. 如图1，中，点P从A点出发，匀速向点B运动，连接，设的长为，的长为，则关于的函数图形如图2所示，其中函数图象最低点，则的周长为______．

【答案】
【解析】
【分析】过点C作于点，由图2中的最低点可得，由图2中点的纵坐标为2得，再根据勾股定理即可．
【详解】解：如图1，过点C作于点，

图2中的最低点，则
是等腰直角三角形，
，
由图2中点的纵坐标为2得，
在中，，
，
的周长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了动点函数图象问题，勾股定理，解题的关键是理解函数图象中最小值的实际意义．
18. 新定义：为一次函数的“双减点”．若是某正比例函数的“双减点”，则关于y的不等式组的解集为 __________．
【答案】
【解析】
【分析】根据新定义求得，然后将a的值带入不等式组，解不等式组即可．
【详解】解：∵是某正比例函数的“双减点”，
∴，，
∴，
∴不等式组为：，
由不等式①得，
由不等式②得，
∴不等式组的解集为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，一次函数，解题的关键是正确理解题目所给“双减点”的定义，根据该定义得出a的值，求解不等式组．
三、解答题（共计78分）
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二次根式的乘除法则运算；
（2）先将括号展开，计算乘法，并化简，再合并计算．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
【点睛】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
20. 某校为丰富同学们的课余生活，全面提高科学素养，提升思维能力和科技能力，开展了“最强大脑”邀请赛，现从七、八年级中各随机抽取了20名学生的初赛成绩（初赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）统计、整理如下：
七年级抽取的学生的初赛成绩：6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，10，10，10．
七、八年级抽取的学生的初赛成绩统计表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______；
（2）若该校八年级有900名学生参加初赛，规定满分才可进入复赛，估计八年级进入复赛的学生人数为多少人．
（3）根据以上数据，你认为七、八年级学生在“最强大脑”邀请赛中，哪个年级的学生初赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可）
【答案】（1）9，45
（2）估计八年级进入复赛的学生为225人；
（3）七年级的学生初赛成绩更好．理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据众数定义、优秀率的定义即可求出a、m的值；
（2）用900乘以满分的百分比即可求解；
（3）根据优秀率进行评价即可．
【小问1详解】
∵七年级的成绩：6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，10，10，10．
∴9分的人数最多，七年级成绩的众数为，
八年级的优秀率是，
∴，
故答案为：9，45；
【小问2详解】
解：（人），
答：估计八年级进入复赛的学生为225人；
【小问3详解】
解：根据表中可得，七八年级的优秀率分别是：、．
故七年级的学生初赛成绩更好．
【点睛】本题考查众数定义、优秀率的定义、用样本去估算总体．关键在于从图中获取信息，结合优秀率、众数进行作答．
21. 如图，中，，平分，交于点，，．
（1）则点到直线的距离为______．
（2）求线段的长．
【答案】（1）
（2）4
【解析】
【分析】（1）过点D作于点，根据角平分线的性质，即可求解；
（2）首先利用勾股定理，即可求得的长，再利用相似三角形的判定与性质，即可求解．
【小问1详解】
解：，，
，
过点D作于点，
中，，
平分，
，
到直线的距离为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：在中，，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握和运用相似三角形的判定与性质是解决本题的关键．
22. 如图1，为线段上一动点，分别过点B、D作，，连接、．已知，，，设．
（1）用含的代数式表示的长为________；
（2）求的最小值________；
（3）根据（2）中的规律和结论，请模仿图1在网格中（图2）构图并求代数式的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）图见详解，最小值为
【解析】
【分析】（1）由勾股定理即可求解；
（2）过点A作，垂足为点F，连接，则有，要使的值最小，则需满足点A、C、E三点共线即可，即最小值为的长，然后问题可求解；
（3）取为线段上一动点，分别过点B、D作，，连接、．已知，，，然后同理（2）可进行求解．
【小问1详解】
解：，，
和是直角三角形，
，，，设，
，
在中，，
在中，，
，
故答案为：；
【小问2详解】
解：过点A作，垂足为点F，连接，如图所示：
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
，
∴要使的值最小，则需满足点A、C、E三点共线即可，即最小值为的长，
的最小值；
【小问3详解】
解：取为线段上一动点，分别过点B、D作，，连接、．已知，，，如图所示：
设，则根据勾股定理可得：，
∴，
同理（2）可知的最小值即为点A与点E之间的距离，
∴的最小值为．
【点睛】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
23. 为提升青少年的身体素质，某市在全市中小学推行“阳光体育”活动，某中学为满足学生的需求，准备再购买一些篮球和足球．如果分别用800元购买篮球和足球，则购买篮球的个数比足球的个数少2个，已知足球的单价为篮球单价的．
（1）求篮球、足球的单价分别为多少元？
（2）学校计划购买篮球、足球共60个，如果购买足球m（）个，总费用为w元，请写出w与m的函数关系式；
（3）在（2）的条件下学校计划总费用不多于5200元，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？​
【答案】（1）篮球每个100元，足球每个80元；
（2）；
（3）足球45个，篮球15，费用最少为5100元．
【解析】
【分析】（1）根据题意，可以列出相应的分式方程，从而可以得到篮球、足球的单价，注意分式方程要检验；
（2）根据题意，可以写出w与m的函数关系式；
（3）根据题意和一次函数的性质，可以求得如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少；
【小问1详解】
设篮球每个x元，足球每个 元，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解且符合题意，
则足球的单价为： （元），
答：篮球每个100元，足球每个80元；
【小问2详解】
由题意得：，
即w与m的函数关系式为；
【小问3详解】
由题意可得：，
解得：，
，
由（2）得：，
，
随m的增大而减小，
∴当时，w取得最小值，
此时元，，，
故购买足球45个，篮球15，费用最少为5100元．
【点睛】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
24. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点、分别在轴正半轴、轴正半轴上，过点作轴交轴于点，交对角线于点．

（1）求证：；
（2）判断的数量关系，并说明理由；
（3）若点，坐标分别为，则的周长为 ．
【答案】（1）见解析 （2），理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）证明，即可得证；
（2）设，交于点，根据三角形内角和定理得出，根据得出，进而得出，等量代换即可求解；
（3）过点作轴于点，证明，得出，，，，进而即可求解．
【小问1详解】
证明：四边形是正方形，
，，
在与中，
；
【小问2详解】
解：，理由如下：
如图所示，设，交于点，

轴，
，
又，
，
，
又，
，即，
；
【小问3详解】
解：如图所示，过点作轴于点，

则四边形是矩形，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
点，坐标分别为，，
，，
，，
，
的周长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质，熟记三角形全等判定是解题的关键，掌握正方形的性质．
25. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，且与直线交于点．

（1）求出点，，的坐标；
（2）若是线段上的点，且的面积为，求直线的函数解析式；
（3）在平面内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），，；

（2）；

（3）存在，或或．
【解析】
【分析】（1）先求一次函数与坐标轴交点，坐标，然后构建方程组即可求出点坐标；
（2）通过面积可以求出点坐标，然后用待定系数法求解析式即可；
（3）进行分类讨论结合平行四边形的性质即可求出点坐标．
【小问1详解】
由得：
当时，，∴点，
当时，，∴点，
由，解得：，
∴点，
【小问2详解】
如图，由(1)得：，，则，

∵点在线段上，
∴设
∴，
，
，
，
解得：，
∴点，
设直线的函数解析式为，则：
，解得：，
∴直线的函数解析式为，
小问3详解】
如图，由(1)可知，，设点，

当为对角线时，则有：，，
∴，，
解得：，，
∴，
当为对角线时，则有：，，
∴，，
解得：，，
∴，
当为对角线时，则有：，，
∴，，
解得：，，
∴，
综上可知：或或．
【点睛】此题考查了一次函数与几何图形的相关问题，利用图形的面积求点的坐标，以及用分类讨论法求特殊四边形中点的坐标，解题的关键是要学会分类讨论及数形结合法，正确的画出图形，不要漏解年级
平均数
中位数
众数
方差
优秀率
七年级
8．5
a
八年级
8
7
年级
平均数
中位数
众数
方差
优秀率
七年级
8．5
a
八年级
8
7