北师大版高考第一轮理科数学(适用于老高考旧教材)课时规范练66　极坐标方程与参数方程的应用

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1.(2021山西晋中二模)已知在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为x=2+2csα,y=2sinα(α为参数),以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρ(sin θ+cs θ)=1.
(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程;
(2)点P的极坐标为1,π2,设直线l与圆C的交点为A,B两点,且AB的中点为Q,求线段PQ的长.
解:(1)由x=2+2csα,y=2sinα(α为参数),消去参数α,得圆C的普通方程为(x-2)2+y2=4,由ρ(sin θ+cs θ)=1,结合x=ρcs θ,y=ρsin θ,可得直线l的直角坐标方程为x+y-1=0.
(2)由点P的极坐标为1,π2,得点P的直角坐标为(0,1),可知点P在直线l上.设直线l的参数方程为x=-22t,y=1+22t(t为参数),代入圆的普通方程得t2+32t+1=0,又PQ=t1+t22,
故|PQ|=t1+t22=322.
2.(2021河南六市联考一)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=1+tcsφ,y=1+tsinφ(t为参数,φ∈[0,π)),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4csθ-π3.
(1)求圆C的直角坐标方程;
(2)设P(1,1),若直线l与圆C相交于A,B两点,求|PA−PB|的最大值.
解:(1)由圆C的极坐标方程为ρ=4csθ-π3,
得圆C的直角坐标方程为x2+y2=2x+23y,即(x-1)2+(y-3)2=4.
(2)将直线l的参数方程x=1+tcsφ,y=1+tsinφ(t为参数),代入(x-1)2+(y-3)2=4,
得t2-2(3-1)sin φ·t-23=0.
设点A,B所对应的参数为t1和t2,
则t1+t2=2(3-1)sin φ,t1·t2=-23,
(方法1)|PA−PB|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=4(3-1)2sin2φ+83,
当sin φ=1时,|PA−PB|max=4.
(方法2)由t的几何意义知,|PA−PB|=|AB|,所以|PA−PB|max=2r=4.
综合提升组
3.(2021江西鹰潭一模)在平面直角坐标系xOy中,直线l过点(1,0),倾斜角为α,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是ρ=8csθ1-cs2θ.
(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)若α=π4,设直线l与曲线C交于A,B两点,求△AOB的面积.
解:(1)直线l的参数方程为x=1+tcsα,y=tsinα(t为参数).由ρ=8csθ1-cs2θ,得ρ2sin2θ=8ρcs θ,即曲线C的直角坐标方程为y2=8x.
(2)当α=π4时,直线l的参数方程为x=1+22t,y=22t(t为参数),代入y2=8x,得t2-82t-16=0,所以t1+t2=82,t1t2=-16.所以|AB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|=83.
由直线l过点(1,0),所以O到AB的距离为d=1×sinπ4=22.
则S△AOB=12×83×22=26.
创新应用组
4.(2021河南新乡一模)数学中有许多寓意美好的曲线,在极坐标系中,曲线C:ρ=sin 3θ(ρ∈R,θ∈[0,2π))被称为“三叶玫瑰线”(如图所示).
(1)求以极点为圆心的单位圆与三叶玫瑰线交点的极坐标;
(2)射线l1,l2的极坐标方程分别为θ=θ0,θ=θ0+π2(θ0∈[0,2π),ρ>0),l1,l2分别交曲线C于M,N两点,求1|OM|2+1|ON|2的最小值.
解:(1)将单位圆与“三叶玫瑰线”的极坐标方程联立得ρ=sin3θ,ρ=1,解得sin 3θ=1,
所以3θ=π2+2kπ(k∈Z),所以θ=π6+2kπ3(k∈Z).
因为θ∈[0,2π),取k=0,1,2,得θ=π6,5π6,3π2.
从而得到以极点为圆心的单位圆与“三叶玫瑰线”交点的极坐标为A1,π6,B1,5π6,C1,3π2.
(2)将θ=θ0,θ=θ0+π2代入C:ρ=sin 3θ(ρ∈R,θ∈[0,2π)中,点M,N所对应的极径分别为ρ1,ρ2,
所以ρ1=sin 3θ0,ρ2=-cs 3θ0,
即|OM|2=sin23θ0,|ON|2=cs23θ0,1|OM|2+1|ON|2=1sin23θ0+1cs23θ0=1sin23θ0+1cs23θ0(sin23θ0+cs23θ0)=2+sin23θ0cs23θ0+cs23θ0sin23θ0≥4,
当且仅当tan23θ0=1时,取得最小值4.