北师大版高考第一轮理科数学(适用于老高考旧教材)课时规范练42　空间直线、平面的垂直关系

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1.(2021广东珠海一模)已知α,β是两个不同的平面,l,m,n是三条不同的直线,下列条件中,可以得到l⊥α的是( )
A.l⊥m,l⊥n,m⫋α,n⫋α
B.l⊥m,m∥α
C.α⊥β,l∥β
D.l∥m,m⊥α
答案:D
解析:由α,β是两个不同的平面,l,m,n是三条不同的直线,知:对于选项A,l⊥m,l⊥n,m⫋α,n⫋α,则l与α相交、平行或l⫋α,故A错误;对于选项B,l⊥m,m∥α,则l与α相交、平行或l⫋α,故B错误;对于选项C,α⊥β,l∥β,则l与α相交、平行或l⫋α,故C错误;对于选项D,l∥m,m⊥α,则由线面垂直的判定定理得l⊥α,故D正确.
2.(2021河北沧州模拟)如图,已知AB,CD分别是圆柱上、下底面圆的直径,且AB⊥CD,若该圆柱的侧面积是其上底面面积的23倍,则AB与平面BCD所成的角为( )
A.π6B.π4C.π3D.5π12
答案:C
解析:如图,连接AC,AD.
设EF为圆柱下底面内与CD垂直的直径,记EF∩CD=H,连接AH,BH,由对称性可知:AH⊥CD,BH⊥CD,AH∩BH=H,∴CD⊥平面ABH,设AM⊥BH,垂足为M,则CD⊥AM,CD∩BH=H,∴AM⊥平面BCD,∴直线AB在平面BCD内的射影为BM,易知点M在BH上,∴∠ABH为AB与平面BCD所成的角.
∵2π·HF·BF=23π·HF2,∴BF=3HF,
∴tan∠ABH=tan∠BHF=BFHF=3,
∴∠ABH=∠BHF=π3,
∴AB与平面BCD所成的角为π3.
3.(2021安徽定远中学高三月考)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,给出下列四个推断:
①A1C1⊥AD1;②A1C1⊥BD;③平面A1C1B∥平面ACD1;④平面A1C1B⊥平面BB1D1D.
其中正确推断的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
答案:C
解析:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,在①中,由正方体的性质可知AD1∥BC1,∴∠A1C1B即为异面直线A1C1与AD1所成的角,在△A1C1B中显然∠A1C1B=60°,∴A1C1与AD1成60°角,故①错误;在②中,∵A1C1∥AC,AC⊥BD,∴A1C1⊥BD,故②正确;在③中,∵A1C1∥AC,AD1∥BC1,A1C1∩BC1=C1,AC∩AD1=A,A1C1⫋平面A1C1B,BC1⫋平面A1C1B,AC⫋平面ACD1,AD1⫋平面ACD1,∴平面A1C1B∥平面ACD1,故③正确;在④中,∵A1C1⊥B1D1,A1C1⊥BB1,B1D1∩BB1=B1,B1D1⫋平面BB1D1D,BB1⫋平面BB1D1D,∴A1C1⊥平面BB1D1D,又A1C1⫋平面A1C1B,∴平面A1C1B⊥平面BB1D1D,故④正确.
4.(2021陕西宝鸡模拟)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥平面PAD,AB∥CD,PD=AD,E是PB中点,F是DC上的点,AB=2DF,PH为△PAD中AD边上的高.
(1)证明:PH⊥平面ABCD;
(2)若PH=1,AD=2,FC=1,求三棱锥E-BCF的体积;
(3)证明:平面EFC⊥平面PAB.
(1)证明:∵AB⊥平面PAD,PH⫋平面PAD,∴PH⊥AB.
又PH⊥AD,AD∩AB=A,∴PH⊥平面ABCD.
(2)解:∵E是PB的中点,
∴点E到平面BCF的距离h=12PH=12.
∴三棱锥E-BCF的体积V=13S△BCF×h=13×12×FC×AD×h=16×1×2×12=212.
(3)证明:取PA的中点为G,连接DG,EG,∵PD=AD,∴DG⊥PA,
又AB⊥平面PAD,
∴平面PAD⊥平面PAB.
又平面PAD∩平面PAB=PA,DG⊥PA,DG⫋平面PAD,
∴DG⊥平面PAB.
由点E,G是棱PB,PA的中点,则EG12AB,
又DF12AB,∴EGDF,
∴DG∥EF,∴EF⊥平面PAB.
∵EF⫋平面EFC,
∴平面EFC⊥平面PAB.
5.(2021陕西西安中学二模)如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直,M是半圆弧上异于C,D的点.
(1)证明:直线DM⊥平面BMC;
(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC∥平面PBD?说明理由.
(1)证明:由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.
因为BC⊥CD,BC⫋平面ABCD,
所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.因为M为半圆弧上异于C,D的点,且DC为直径,所以DM⊥CM.
又BC∩CM=C,所以DM⊥平面BMC.
(2)解:当P为AM的中点时,MC∥平面PBD.
证明如下:连接AC交BD于O.
因为四边形ABCD为矩形,所以O为AC中点.
连接OP,因为P为AM的中点,所以MC∥OP.
因为MC⊈平面PBD,OP⫋平面PBD,所以MC∥平面PBD.
综合提升组
6.已知矩形ABCD,AB=1,BC=2,将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中( )
A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直
B.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直
C.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直
D.对任意位置,三对直线“AC与BD”“AB与CD”“AD与BC”均不垂直
答案:C
解析:如图,作AE⊥BD,CF⊥BD,依题意,得AB=1,BC=2,AE=CF=63,BE=EF=FD=33.
A,假设存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直,∵BD⊥AE,∴BD⊥平面AEC.∴BD⊥EC,这与BD⊥CF矛盾,排除A.
B,若存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直,则BC⊥平面ACD,从而平面ACD⊥平面BCD,即点A在底面BCD上的射影应位于线段CD上,这是不可能的,排除B.
C,若存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直,则CD⊥平面ABC,从而平面ABC⊥平面BCD.
取BC的中点M,连接ME,则ME⊥BD,∠AEM就是二面角A-BD-C的平面角,此角显然存在,即当点A在底面上的射影位于BC的中点时,直线AB与直线CD垂直,故C正确.D,由上所述,可排除D.故选C.
7.(2021江苏宿迁期末)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=PA=2,AB=1,E为PC的中点.
求证:(1)BE⊥PD;
(2)BE∥平面PAD;
(3)平面PCD⊥平面PAD.
证明:(方法一)(1)如图,取PD的中点F,连接AF,EF,
因为E为PC的中点,所以FE∥DC,且FE=12DC,
又因为DC=2AB,AB∥DC,
所以FE∥AB,且FE=AB,
所以四边形ABEF是平行四边形,所以BE∥AF.
又因为PA=AD,F为PD的中点,所以AF⊥PD,所以BE⊥PD.
(2)由(1)知BE∥AF,AF⫋平面PAD,BE⊈平面PAD,所以BE∥平面PAD.
(3)因为PA⊥底面ABCD,
所以PA⊥AB.
又因为AD⊥AB,PA∩AD=A,所以AB⊥平面PAD.
又因为AB∥DC,所以DC⊥平面PAD.
又因为DC⫋平面PCD,所以平面PCD⊥平面PAD.
(方法二)因为PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,所以PA,AB,AD两两互相垂直.以点A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系如图所示.
由题意可得B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(1,1,1).
(1)因为BE=(0,1,1),PD=(0,2,-2),所以BE·PD=0,所以BE⊥PD.
(2)因为AD=(0,2,0),AP=(0,0,2),DC=(2,0,0),
所以AD·DC=0,AP·DC=0.
又AD∩AP=A,所以DC=(2,0,0)为平面PAD的一个法向量.
因为BE=(0,1,1),所以BE·DC=0.
又BE⊈平面PAD,所以BE∥平面PAD.
(3)由(2)知DC为平面PAD的一个法向量,则DC⊥平面PAD.又DC⫋平面PCD,所以平面PCD⊥平面PAD.
8.(2021河北衡水中学周测)如图,在矩形ABCD中,AD=2,AB=4,E,F分别为边AB,AD的中点.现将△ADE沿DE折起,得四棱锥A-BCDE.
(1)求证:EF∥平面ABC;
(2)若平面ADE⊥平面BCDE,求四面体FDCE的体积.
(1)证明:如图,取线段AC的中点M,连接MF,MB.
因为F,M为AD,AC的中点,所以MF∥CD,且MF=12CD.
在折叠前,四边形ABCD为矩形,E为AB的中点,
所以BE∥CD,且BE=12CD.
所以MF∥BE,且MF=BE.
所以四边形BEFM为平行四边形,故EF∥BM.
又EF⊈平面ABC,BM⫋平面ABC,所以EF∥平面ABC.
(2)解:在折叠前,四边形ABCD为矩形,AD=2,AB=4,E为AB的中点,所以△ADE,△CBE都是等腰直角三角形,且AD=AE=EB=BC=2.所以∠DEA=∠CEB=45°,且DE=EC=22.
又∠DEA+∠DEC+∠CEB=180°,所以∠DEC=90°,即DE⊥CE.
又平面ADE⊥平面BCDE,平面ADE∩平面BCDE=DE,CE⫋平面BCDE,
所以CE⊥平面ADE,即CE为三棱锥C-EFD的高.
因为F为AD的中点,所以S△EFD=12×12×AD×AE=14×2×2=1,
所以四面体FDCE的体积V=13×S△EFD×CE=13×1×22=223.
创新应用组
9.(2021浙江宁波十校联考)如图所示,已知△ABC与△BCD所在平面互相垂直,∠BAC=60°,∠BCD=90°,AB=AC,CD=2BC,点P,Q分别在边BD,CD上,沿直线PQ将△PQD翻折,使D与A重合.
(1)证明:AD⊥PQ;
(2)求直线AP与平面ABC所成角的正弦值.
(1)证明:由题意可得AP=DP,AQ=DQ.
取线段AD的中点R,连接PR,QR,
显然AD⊥PR,AD⊥QR.因为PR∩QR=R,PR⫋平面PQR,QR⫋平面PQR,
所以AD⊥平面PQR,所以AD⊥PQ.
(2)解:设BC=2,则AB=AC=2,CD=4,BD=AD=25.
由余弦定理得cs∠ADB=AD2+BD2-AB22AD·BD=20+20-42·25·25=910,
AP=DP=12ADcs∠ADB=1095,
DP=59BD,BP=49BD.
过P作PH⊥BC于点H,
因为平面ABC⊥平面BCD,所以PH⊥平面ABC.连接AH,所以∠PAH就是直线AP与平面ABC所成的角.在△PAH中,PH=49CD=169,sin∠PAH=PHAP=1691095=8525.即直线AP与平面ABC所成角的正弦值为8525.