高考第一轮文科数学（人教A版）课时规范练16　利用导数研究函数的极值、最大(小)值

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1.设x=θ是函数f(x)=3cs x+sin x的一个极值点,则tan θ=( )
A.-3B.-13C.13D.3
2.设三次函数f(x)的导函数为f'(x),函数y=xf'(x)的部分图象如右图所示,则( )
A.f(x)的极大值为f(3),极小值为f(-3)
B.f(x)的极大值为f(-3),极小值为f(3)
C.f(x)的极大值为f(3),极小值为f(-3)
D.f(x)的极大值为f(-3),极小值为f(3)
3.已知函数f(x)=12sin 2x+sin x,则f(x)的最小值是( )
A.-332B.332
C.-334D.334
4.(2022全国甲,文8)当x=1时,函数f(x)=aln x+bx取得最大值-2,则f'(2)=( )
A.-1B.-12
C.12D.1
5.(2022全国乙,文11)函数f(x)=cs x+(x+1)sin x+1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为( )
A.-π2,π2B.-3π2,π2
C.-π2,π2+2D.-3π2,π2+2
6.已知函数f(x)=x2-2ln x,则f(x)在[1,e]上的最大值是 .
7.若函数f(x)=-12x2+7x+aln x在x=2处取极值,则a= ,f(x)的极大值为 .
8.已知f(x)=2x3-mx2-12x+6的一个极值点为2.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值.
9.已知函数f(x)=ex-ax,a∈R,e是自然对数的底数.
(1)若函数f(x)在x=1处取得极值,求a的值及f(x)的单调性;
(2)求函数f(x)在区间[0,1]上的最小值.
综合提升组
10.关于函数f(x)=ln x+2ax(a≠0),下列判断错误的是( )
A.函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为(a-2)x-ay-a+4=0
B.x=2a是函数f(x)的一个极值点
C.当a=1时,f(x)≥ln 2+1
D.当a=-1时,不等式f(2x+1)-f(3x-1)>0的解集为13,2
11.(2022河南焦作二模)已知∃x∈[1,+∞)使得不等式2ex≤x2+2x+6a成立,则实数a的取值范围为( )
A.e3−12,+∞B.e3,e
C.-∞,e3−12D.e33−72,+∞
12.设函数f(x)=x3-3ax2+3ax+4a3,已知f(x)的极大值与极小值之和为g(a),则g(a)的值域为 .
创新应用组
13.(2023安徽高考冲刺卷)若函数f(x)=(x2-ax+3)·ex在R上无极值,则实数a的取值范围为( )
A.(-2,2)B.(-23,23)
C.[-23,23]D.[-22,22]
14.已知函数f(x)=(x+a)ln x-x(a∈R).
(1)当a=0时,是否存在唯一的x0∈(0,+∞),使得f(x0)=-1.如果存在,请证明你的结论;如果不存在,请说明理由.
(2)讨论f(x)的极值点的个数.
参考答案
课时规范练16 利用导数研究
函数的极值、最大(小)值
1.C ∵f'(x)=-3sin x+cs x,由已知可得f'(θ)=-3sin θ+cs θ=0,∴tan θ=13.
2.A 观察图象知,当x0,函数f(x)单调递增.故当x=π2时,函数f(x)有极大值fπ2=π2+2;当x=3π2时,函数f(x)有极小值f3π2=-3π2.又因为f(0)=2,f(2π)=2,所以函数f(x)在区间[0,2π]上的最小值为-3π2,最大值为π2+2,故选D.
6.e2-2 由题意可知,
∵f(x)=x2-2ln x,x∈[1,e],
∴f'(x)=2x-2x=2x2-2x=2(x-1)(x+1)x.
当x∈[1,e]时,f'(x)≥0,∴函数f(x)在区间[1,e]上单调递增,
则f(x)max=f(e)=e2-2.
7.-10 452-10ln 5 f'(x)=-x+7+ax(x>0),由题意可知f'(2)=-2+7+a2=0,解得a=-10,所以f'(x)=-x+7-10x=-x2-7x+10x,当f'(x)>0时,解得20,此时函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值,B选项错误;对于C选项,当a=1时,f(x)=ln x+2x,该函数的定义域为(0,+∞),f'(x)=1x−2x2=x-2x2,当00,此时函数f(x)单调递增,所以f(x)≥f(2)=ln 2+1,C选项正确;对于D选项,当a=-1时,f(x)=ln x-2x,定义域为(0,+∞),则f'(x)=1x+2x2>0对任意的x>0恒成立,所以函数f(x)=ln x-2x为(0,+∞)上的增函数,由f(2x+1)-f(3x-1)>0可得f(2x+1)>f(3x-1),所以2x+1>3x-1>0,解得130,所以g(x)在[1,+∞)上单调递增,因为g(1)=e3−12,所以a≥e3−12,故实数a的取值范围为e3−12,+∞.
12.(-∞,2]∪(10,+∞) f(x)的定义域为R,f'(x)=3x2-6ax+3a,
设f'(x)=3x2-6ax+3a=0的两根为x1,x2,且x10,解得a>1或a1或a0可得a>0或a0恒成立,函数y=x2+(2-a)x+3-a的图象为开口向上的抛物线.若函数f(x)=(x2-ax+3)·ex在R上无极值,则y=x2+(2-a)x+3-a≥0恒成立,所以Δ=(2-a)2-4(3-a)≤0,解得-22≤a≤22,所以实数a的取值范围为[-22,22].
14.解(1)存在.证明如下:
f(x)的定义域为(0,+∞),当a=0时,f(x)=xln x-x,f'(x)=ln x,
当00,
所以f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
所以x=1是f(x)的极小值点,也是f(x)的最小值点,且f(x)min=f(1)=-1,故存在唯一的x0=1,使得f(x0)=-1.
(2)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=(x+a)·1x+ln x-1=a+xlnxx,令h(x)=a+xln x,则h'(x)=ln x+1,当00,
所以函数h(x)在0,1e内单调递减,在1e,+∞上单调递增,
所以h(x)min=h1e=a-1e.
①当a≥1e时,h(x)min≥0,所以对任意x∈(0,+∞),h(x)≥h(x)min≥0,
所以对任意x∈(0,+∞),f'(x)≥0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)无极值点;
②当a