人教版高一数学暑假讲义1.2 集合间的基本关系（习题作业）（2份打包，原卷版+教师版）

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1.2 集合间的基本关系

一、单选题
1．已知集合，则（　　）
A． B． C． D．Ü
【答案】C
【分析】由，知集合与集合都是奇数集，利用集合与集合间的关系，即可求出结果.
【详解】因为集合，集合，
所以集合与集合都是奇数集，所以，
故选：C.
2．下列与集合表示同一集合的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据集合的定义及表示方法求解即可.
【详解】由解得或，
所以，C正确；
选项A不是集合，选项D是两条直线构成的集合，选项B表示点集，
故选：C
3．下列各式：①，②，③，④，⑤，其中错误的个数是（    ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【分析】由元素与集合的关系，集合与集合的关系考查所给式子是否正确即可．
【详解】由元素与集合的关系可知，故①错误；
由集合与集合的关系可知，故②错误；
任何集合都是自身的子集，故③正确；
空集是任何非空集合的子集，故④正确；
集合中的元素具有互异性和无序性，故⑤正确；
综上可得，只有①②错误．
故选B．
4．给出下列关系式:①；②⊆；③；④，其中错误的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据元素与集合的关系的定义，可知①正确；根据空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集，可判断②正确；集合与集合间的关系：与，而不是与，可判断③错误；根据集合中元素满足：互异性，无序性，确定性，可判断④正确.
【详解】对于①，根据元素与集合的关系知，，所以①正确；
对于②，因为空集是任何集合的子集，所以②正确；
对于③，集合与集合间的关系是包含与不包含的关系，所以是错误的，故③错误；
对于④，根据集合中元素的无序性和集合相等的定义知，，所以④正确.
故选：A.
5．有下列四个命题：①；②③若，则；④集合有两个元素；⑤集合是有限集.；其中正确命题的个数是（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据空集的概念和性质得到①正确，根据元素和集合的关系得到②正确；举出反例得到③错误；求出，得到④错误；求出，判断⑤正确.
【详解】①因为是任何集合的子集，所以，①正确；
②是的一个元素，故，②正确；
③若，满足，，故③错误；
④，集合有1个元素，故④错误；
⑤集合，故是有限集，⑤正确.
故选：C
6．若集合,则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据集合,判断元素是否在集合内即可选出结果.
【详解】解:因为,
所以.
故选：D
7．已知非空集合满足:对任意，总有，且.若，则满足条件的的个数是（    ）
A．11 B．12 C．15 D．16
【答案】A
【分析】由题意得，集合是集合的非空子集，且去掉元素2，4同时出现的集合，即可求解.
【详解】当中有元素时，，
当中有元素时，，
所以，
所以集合是集合的非空子集，且去掉元素2，4同时出现的集合，
故满足题意的集合有，共11个.
故选：A.
8．若一个集合含有n个元素，则称该集合为“n元集合”.已知集合，则其“2元子集”的个数为（    ）
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【分析】根据子集的定义即可求解.
【详解】集合的所有“2元子集”为，，，，，共6个.
故选：A.
9．设集合，且，若，，则集合M的非空真子集的个数为（    ）
A．4 B．6 C．7 D．15
【答案】B
【分析】求得集合，即可求得结果.
【详解】根据题意知，集合且，其非空真子集的个数为.
故选：B
10．已知非空集合M⊆{1，2，3，4，5}，若a∈M，则6-a∈M，那么集合M的个数为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】由条件知集合M的元素性质,分类讨论验证即可.
【详解】∵a∈M，6-a∈M，M⊆{1，2，3，4，5}，∴3在M中可单独出现，1和5，2和4必须成对出现，逐个分析集合M元素个数：
一个元素时，为{3}；
两个元素时，为{1，5}，{2，4}；
三个元素时，为{3，1，5}，{3，2，4}；
四个元素时，为{1，5，2，4}；
五个元素时，为{1，5，3，2，4}，共7个.
故选：C
11．已知集合，，若，则实数组成的集合为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据集合的包含关系得集合之间元素的关系，列方程求解即可.
【详解】，，，
或，
解得或或，
故实数组成的集合为.
故选：C.
12．集合，则的子集的个数为（    ）
A．4 B．8 C．15 D．16
【答案】D
【分析】先求出，再找出中6的正约数，可确定集合，进而得到答案．
【详解】集合，,
，
故有个子集.
故选：D．
13．已知集合，，且，则实数的取值构成的集合为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先解出集合A，根据，分类讨论求出实数.
【详解】.
因为，所以，，.
当时，关于x的方程无解，所以；
当时，是关于x的方程的根，所以；
当时，是关于x的方程的根，所以.
故实数的取值构成的集合为.
故选：D
14．设集合，，，，其中a，，下列说法正确的是（    ）
A．对任意a，是的子集，对任意的b，不是的子集
B．对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集
C．存在a，使得不是的真子集，对任意的b，是的子集
D．存在a，使得不是的子集，存在b，使得是的子集
【答案】B
【分析】结合参数取值情况，根据集合间元素的关系确定子集关系是否成立，即可判断.
【详解】解：对于集合，
可得当，即，可得，即有，可得对任意a，是的子集；
当时，，，可得是的子集；
当时，，且，可得不是的子集；
综上有，对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集.
故选：B.
15．已知集合，对于它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素k都乘以再求和，例如，则可求得和为，对S的所有非空子集，这些和的总和为
A．508 B．512 C．1020 D．1024
【答案】B
【分析】由集合的子集个数的运算及简单的合情推理可得；这些总和是.
【详解】因为元素在集合S的所有非空子集中分别出现次，则对S的所有非空子集中元素k执行乘以再求和操作,则这些和的总和是.
故选B
【点睛】本题主要考查了集合的子集及子集个数，简单的合情推理，属于中档题.

二、多选题
16．下列关系式正确的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】根据元素与集合、集合与集合间的关系判断.
【详解】对于A.元素与集合间是属于与不属于的关系，故A错误；
对于B.含有一个元素0，不是空集，故B错误；
对于C.集合的元素具有无序性，以及任何集合都是它本身的子集，故C正确；
对于D.空集是任何集合的子集，故D正确.
故选：CD．
17．已知集合，则以下关系正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】根据元素与集合，集合与集合的关系逐项判断即可.
【详解】因为，
所以，，故A正确；，故B错误；Ü，故C错误，D正确.
故选：AD.
18．下列说法正确的有（    ）
A．集合有16个真子集 B．对于任意集合A，
C．任何集合都有子集，但不一定有真子集 D．若Ü，则
【答案】BCD
【分析】根据集合的真子集个数公式判断A；利用空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集判断B、C、D.
【详解】集合有4个元素，故其有个真子集，故A错误；
空集是任何集合的子集，则，故B正确；
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故C正确；
空集是任何非空集合的真子集，若Ü，则，故D正确.
故选：BCD.
19．下列各组中表示相同集合的是（    ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】根据相同集合的意义，逐项分析判断作答.
【详解】对于A，集合M，P含有的元素相同，只是顺序不同，由于集合的元素具有无序性，因此它们是相同集合，A是；
对于B，因为，则，因此集合M，P都表示所有偶数组成的集合，B是；
对于C，，即，C是；
对于D，因为集合M的元素是实数，集合P中元素是有序实数对，因此集合M，P是不同集合，D不是.
故选：ABC
20．已知集合，，若，则实数的值为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】由集合与集合的关系，对选项依次辨析即可.
【详解】对于A，时，，有，故选项A正确；
对于B，时，，有，故选项B正确；
对于C，时，，有，故选项C正确；
对于D，时，，集合不满足集合元素的互异性，故选项D不正确.
故选：ABC.
21．给出下列四个结论，其中正确的结论有（    ）
A．
B．若，则
C．集合是无限集
D．集合的子集共有4个
【答案】BCD
【分析】根据已知条件，结合空集、子集的定义，以及，的含义，即可求解．
【详解】对于A：是指不含任何元素的集合，故A错误；
对于B：若，则，故B正确；
对于C：有理数有无数个，则集合是无限集，故C正确；
对于D：集合元素个数为2个，
故集合的子集共有个，故D正确．
故选：BCD．
22．已知集合，非空集合，下列条件能够使得的是（    ）
A． B．
C． D．且
【答案】ACD
【分析】把三次方程因式分解求根，即可化简集合B，然后利用集合关系即可判断.
【详解】对于选项A，方程，因式分解得，
解得，所以，满足，所以选项A正确；
对于选项B，方程，因式分解得，
解得或，所以，不满足，所以选项B错误；
对于选项C，方程，因式分解得，
解得，所以，满足，所以选项C正确；
对于选项D，因为，所以是方程的解，
所以方程变形为，
因为，所以方程无解，
所以方程有唯一解，
所以，满足，所以选项D正确；
故选：ACD.
23．设集合，则对任意的整数，形如的数中，是集合中的元素的有
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】将分别表示成两个数的平方差，故都是集合中的元素，再用反证法证明.
【详解】∵，∴.
∵，∴.
∵，∴.
若，则存在使得，
则和的奇偶性相同.
若和都是奇数，则为奇数，而是偶数，不成立；
若和都是偶数，则能被4整除，而不能被4整除，不成立，∴.
故选ABD.
【点睛】本题考查集合描述法的特点、代表元元素特征具有的性质，考查平方差公式及反证法的灵活运用，对逻辑思维能力要求较高.

三、填空题
24．满足的集合M共有___________个.
【答案】7
【分析】根据集合的基本关系，可得集合M包含，且集合M是的真子集，即可得出集合M的个数.
【详解】由题意可得，,所以集合M包含，且集合M是的真子集，
所以或或或或或或,
即集合M共有个.
故答案为：
25．已知集合，且，则实数a的值是_________．
【答案】-3
【分析】根据得出是方程的解，将代入方程中进行计算，即可得出结果.
【详解】因为，，，
所以是方程的解，
即，解得.
经检验，符合题意，所以.
故答案为：.
26．设，，，若，则______．
【答案】0或
【分析】由集合相等，建立方程组求解即可.
【详解】当时，，满足，则；
当时，，满足，则；
故答案为：0或
27．已知，，且Ü，则a的取值范围为_________．
【答案】
【分析】求得集合，根据Ü，分和两种情况讨论，即可求解.
【详解】由题意，集合，
当时，即，解得，此时满足Ü，
当时，要使得Ü，则或，
当时，可得，即，此时，满足Ü；
当时，可得，即，此时，不满足Ü，
综上可知，实数的取值范围为.
故答案为：.
28．给定集合，对于，如果，那么x是S的一个“好元素”，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有_________个．
【答案】6
【分析】根据题意，要使S的三个元素构成的集合中不含好元素，只要这三个元素相连即可，所以找出相连的三个数构成的集合即可．
【详解】若不含好元素，则集合S中的3个元素必须为连续的三个数，
故不含好元素的集合共有，
共有6个.
故答案为：6．

四、解答题
29．设集合，，且．
(1)求实数的取值范围；
(2)当时，求集合A的子集的个数．
【答案】(1){或}
(2)

【分析】（1）按照集合是空集和不是空集分类讨论求解；
（2）确定集合中元素（个数），然后可得子集个数．
（1）
当即时，，符合题意；
当时，有，解得．
综上实数的取值范围是或；
（2）
当时，，所以集合的子集个数为个．
30．已知
(1)当时，写出集合的所有子集，共有多少个？
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2).

【分析】（1）由集合和子集的概念求解即可；
（2）由集合间的关系列出关于的不等式，求解即可.
（1）
当时，,
所以集合的子集有，
所以共有8个子集.
（2）
因为，所以，解得，
所以实数的取值范围为．
31．设集合，.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）当时，求的非空真子集个数；
（3）当时，不存在元素使与同时成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）254 （3）
【分析】（1）对集合B分空集和非空集两种情况讨论得解；（2）当时，，再求的非空真子集个数；（3）分和两种情况讨论得解.
【详解】（1）当，即时，，满足.
当，即时，要使成立，
只需即.
综上，当时，的取值范围是.
（2）当时，，
∴集合的非空真子集个数为.
（3）∵，且，，
又不存在元素使与同时成立，
∴当，即，得时，符合题意；
当，即，得时，
或解得.
综上，所求的取值范围是.
【点睛】本题主要考查集合的关系和真子集的个数的计算，考查集合的元素和集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
32．已知，，，求的取值范围.
【答案】
【解析】先求解出集合，然后根据分别考虑和的情况，由此求解出的取值范围.
【详解】因为，所以，所以，
当时，满足，此时，所以；
当时，若，则有，所以，
综上可知：，即.
【点睛】本题考查根据集合的包含关系求解参数范围，其中涉及分类讨论的思想，难度一般.根据集合的包含关系求解参数范围时，一定要注意分析集合为空集的情况.
33．（1）已知集合，当，求的值；
（2）已知集合，，若，求实数的取值范围．
【答案】（1）1；（2）.
【解析】（1）分，，三种情况，分别求得的值，再代入验证集合中的元素是否满足互异性可得答案；
（2）先求得集合，借助数轴可得的取值范围．
【详解】（1）若，则，，不合题意；
若，则或-2，当时，，当时，，不合题意；
若，则或-2，都不合题意；因此，所以．
（2），，∴借助数轴可得，

的取值范围为．
【点睛】易错点点睛：由已知集合间的关系，元素与集合间的关系求参数的值时，注意将求得的参数的值代入集合中验证：集合中的元素是否满足互异性.
34．已知集合，，
(1)若集合，求实数的值；
(2)若集合，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)或

【分析】（1）先化简集合，然后根据条件即可确定实数的值；
（2）由条件集合知，集合中至多有2个元素，对集合中的元素个数进行分类讨论即可.
（1）
易知集合，由得： 或，解得：.
（2）
（1）当时满足；
（2）当时
①当即时，满足，.
②当即时，，不满足.
③当即时，满足，只能， 无解.
综上所述：或.
35．已知集合为非空数集，定义：
(1)若集合，请直接写出集合：
(2)若集合，且，求证：；
【答案】(1)
(2)见解析

【分析】（1）根据题目中的定义直接写出两个集合即可；
（2）由，可得，写出的所有可能取值，再根据集合相等的定义即可得证.
（1）
解：因为，
，
所以；
（2）
证明：由，
得，
则可取，
又因为，
所以，
剩下的元素满足，
所以.
36．已知集合.
(1)判断8，9，10是否属于集合A；
(2)集合,证明：B是A的真子集.
【答案】(1)，，.
(2)证明见解析

【分析】（1）根据集合的定义即可判断；
（2）由即可证明.
【详解】（1）∵，，∴，，
假设，m，，
则，且，
∵，或，
显然均无整数解，∴，
∴，，.
（2）∵集合，
则恒有，∴，
∴即一切奇数都属于A，故B是A的子集.
又∵，，
所以B是A的真子集.
37．已知.
(1)若，求a的值；
(2)若，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)或或.

【分析】（1）先求出集合，再利用条件，根据集合与集合间的包含关系，即可求出值；
（2）对集合进行分类讨论：和，再利用集合与集合间的包含关系，即可求出的范围；
【详解】（1）由方程，解得或
所以，又，，
所以，即方程的两根为或，
利用韦达定理得到：，即；
（2）由已知得，又，
所以时，则，即，解得或；
当时，
若B中仅有一个元素，则，即，解得，
当时，，满足条件；当时，，不满足条件；
若B中有两个元素，则，利用韦达定理得到，，解得，满足条件.
综上，实数a的取值范围是或或.
38．已知集合.
(1)若集合，且，求的值；
(2)若集合，且与有包含关系，求的取值范围.
【答案】(1)5
(2)

【分析】（1）利用集合相等的条件求的值；
（2）由与有包含关系得，再利用集合子集的元素关系分类讨论求解即可.
【详解】（1）因为，且，
所以或，
解得或，
故.
（2）因为A与C有包含关系，，至多只有两个元素，
所以.
当时，，满足题意；
当时，
当时，，解得，满足题意；
当时，且，此时无解；
当时，且，此时无解；
当时，且，此时无解；
综上，a的取值范围为.