河南省驻马店市河南驻马店经济开发区2023-2024学年八年级下学期5月月考数学试题

这是一份河南省驻马店市河南驻马店经济开发区2023-2024学年八年级下学期5月月考数学试题，共16页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，平行四边形不一定具有的性质是，下列式子从左到右变形正确的是，下列分式中，是最简分式的是，将分式方程去分母后，得，如图，的对角线，相交于点，，等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题
1．下列各式中，是分式的是（ ）
A．B．C．D．
2．在函数中，自变量的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对边相等B．对角相等C．对角线相等D．对边平行
4．下列式子从左到右变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，，是两条平行线，则甲、乙两个平行四边形的面积关系是（ ）
A．无法确定B．C．D．
6．下列分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
7．将分式方程去分母后，得（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，的对角线，相交于点，，．则的周长为（ ）
A．12B．17C．28D．16
9．老师设计了一个接力游戏，用小组合作的方式完成分式的运算，规则是：每人只能看见前一个人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一个人，最后完成计算．其中一个组的过程是：老师给甲，甲一步计算后写出结果给乙，乙一步计算后写出结果给丙，丙一步计算后写出结果给丁，丁最后算出结果．
老师：，甲：，乙：，丙：，丁：1接力中，计算出现错误的是（ ）．
A．甲B．乙C．丙D．丁
10．如图，平行四边形的顶点、、的坐标分别是，，，则顶点的坐标是（ ）．．
A．B．C．D．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题
11．当______时，分式的值为0．
12．如图，，要使四边形是平行四边形，还需补充的一个条件是：______（填一个即可）
13．关于的分式方程有增根，则增根为______．
14．已知，则______．
15．如图，在三角形纸片中，，，，将纸片沿过点的直线折叠，使点落在斜边上的点处，折痕记为，剪去后得到双层，再沿着过某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的面积是______．
三、解答题
16．（1）计算：；
（2）先化简：，若，请你选择一个恰当的值（是整数）代入求值．
17．解方程：
（1）；
（2）．
18．已知：如图，、为平行四边形的对角线所在直线上的两点，且．求证：
（1）；
（2）四边形是平行四边形．
19．观察以下等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
第5个等式：
……
按照以上规律．解决下列问题：
（1）写出第6个等式______；
（2）写出你猜想的第个等式：______（用含的等式表示），并证明．
20．学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分．她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，作的垂直平分线交于点，交于点，垂足为点．（只保留作图痕迹）
已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，垂直平分，垂足为点．
求证：．
证明：四边形是平行四边形，
．
① ．
垂直平分，
② ．
又 ③ ．
．
．
小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：
过平行四边形对角线中点的直线 ④ ．
21．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等．
（1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？
（2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共15个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用？
22．如图，四边形为平行四边形，的角平分线交于点，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）连接，若点是的中点，，求的度数．
23．综合与实践
图形变换的基本方式有：平移变换、旋转变换、轴对称变换．在数学综合与实践课上，张老师将两块含30°角的全等三角尺按图1方式摆放在一起，其中，．同时，要求班内各小组对图形进一步操作变换并提出问题，请你帮各小组进行解答．
[独立思考]
（1）张老师首先提出问题：图1中，四边形是平行四边形吗？说明理由；
[提出问题]
（2）如图2，“励志”小组将沿射线方向平移到的位置，分别连接，，进一步提出问题：四边形是平行四边形吗？说明理由；
[拓展延伸]
（3）“慎密”小组提出的问题是：如图3，两个全等的三角尺重叠放在的位置，将其中一个三角尺绕着点按逆时针方向旋转至的位置，使点恰好落在边上，与相交于点，若，求的长．
数学参考答案
1．C
【分析】本题考查了分式，根据分式的定义逐一判断即可求解，熟记：“如果、表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式，其中叫做分子，叫做分母”是解题的关键．
【详解】解：、、不是分式，则A、B、D选项不符合题意；
是分式，则C选项符合题意；
故选C．
2．B
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，掌握函数自变量取值范围的计算方法是关键．
根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】解：由，得，所以的取值范围为．
故选：B．
3．C
【分析】根据平行四边性质对每一项判断即可解答．
【详解】解：平行四边形的性质是对边相等，对角相等，对边平行，对角线互相平分，
平行四边形的性质不一定是对角线相等，
故选C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
4．D
【分析】根据分式的分子和分母同时乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案．
【详解】解：A、分式分子分母同时加2，该式左到右的变形不符合分式的基本性质，故本选项不符合题意；
B、分式分子分母同时乘以，可能，原变形错误，故本选项不符合题意；
C、因式分解以后分子分母同时除以，答案应该是，原变形错误，故本选项不符合题意；
D、分子分母都乘以（），分式的值不变，原变形正确，故此选项符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是掌握分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
5．C
【分析】根据题意得知，甲、乙的面积就是等底等高的两个平行四边形的面积，所以面积相等．
【详解】解：由题意可知：
甲，乙是等底等高的两个平行四边形，
所以它们的面积相等，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的面积公式的运用及平行线之间的距离处处相等解答．
6．B
【分析】本题考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较容易忽视的问题．在解题中一定要引起注意．
【详解】解：A．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
B．，是最简二次根式，故该选项符合题意；
C．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
D．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
故选：B．
7．D
【分析】本题考查了分式方程的解法，解决本题的关键是找到分式方程分母的最简公分母，解题过程注意不要漏乘．根据分式方程的解法步骤，找到最简公分母，方程左右两边分别乘最简公分母即可．
【详解】解：，
，
故答案为D．
8．D
【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质求得，进而可求解，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【详解】解：四边形是平行四边形，对角线与交于点，，
，，，
，
，
，
的周长为16，
故选D．
9．B
【分析】检查四名同学的结论，找出错误的步骤即可．
【详解】出现错误的是乙，正确结果为：，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．C
【分析】由四边形是平行四边形，则，只要计算出的长度，就可由点坐标推出点坐标．
【详解】解：，
，
四边形是平行四边形，
，
点的坐标为，
点的坐标为，
故选：C．
【点睛】本题考查平面直角坐标系中两点之间的距离，平行四边形的性质，能够熟练运用平行四边形的性质是解决本题的关键．
11．
【分析】本题考查了分式的值为零的条件，理解“分式且．”是解题的关键．
【详解】解：要使分式的值为0，
，
解得：，
当时，
；
故答案：．
12．（答案不唯一）
【分析】本题考查了平行四边形的判定，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，熟练掌握平行四边形的判定是解题关键．
【详解】由题意可补充或．
故答案为：（答案不唯一）．
13．
【分析】根据分式方程增根的定义：使分式方程最简公分母为零的的值即可得到答案．
【详解】解：关于的分式方程有增根，且分式方程最简公分母为，
分式方程的增根为，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式方程增根的定义，熟记使分式方程最简公分母为零的的值叫增根是解决问题的关键．
14．14
【分析】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式，先把已知条件式两边同时平方得到，则．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：14．
15．，．
【分析】利用三角函数先求解，，得到是的中垂线，由对折的性质求解，，分情况讨论，①如图中，当时，沿着直线将双层三角形剪开，展开后的平面图形中有一个是平行四边形，②如图中，当时，沿着直线将双层三角形剪开，展开后的平面图形中有一个是平行四边形，利用平行四边形的面积是三角形面积的2倍，从而可得答案．
【详解】解：如图，，，，
，
，
，
，
，
由对折设，，，
，
，
是的中垂线，
，
在中，，
，
，
①如图中，当时，沿着直线将双层三角形剪开，展开后的平面图形中有一个是平行四边形，
，，
，，
，
，
为等边三角形，
过作于，
，
，
，
②如图中，当时，沿着直线将双层三角形剪开，展开后的平面图形中有一个是平行四边形，
过作于，
，
，
，
，
，
，
．
综上：所得平行四边形的面积是，．
故答案为：，．
【点睛】本题考查翻折变换、线段的垂直平分线的判定与性质，勾股定理的应用，平行四边形的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
16．（1）
（2），当时，原式或当时，原式或时，原式
【分析】本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件、运用平方差公式和完全平方公式进行因式分解，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据分式的减法法则、运用平方差公式因式分解进行计算；
（2）根据分式的减法法则、除法法则、运用完全平方公式因数分解把原式化简，根据分式
有意义的条件确定的值，代入计算即可．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
在中，整数有、、0、1、2，
由题意得：、，
①当时，原式．
②当时，原式．
③当时，原式．
以上三种情况选其一代入即可．
17．（1）；（2）无解
【分析】本题主要考查了解分式方程：
（1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可；
（2）按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可．
【详解】（1）解：
方程两边同乘，去分母得，
去括号得：，
移项，合并同类项，得：，
系数化为1得，
检验：当时，，
是原分式方程的解．
（2）解：
方程两边同乘，去分母得，
移项，合并同类项，得，
系数化为1得，
检验：当时，，
是原分式方程的增根，原分式方程无解．
18．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）由平行四边形的性质得，，则，再由证明即可得出结论；
（2）连接，交于点，由平行四边形的性质得，，再证，即可得出结论．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）连接，交于点，如图所示：
四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
19．（1）；（2），证明见解析．
【分析】（1）根据前五个个式子的规律写出第六个式子即可；
（2）观察各个式子之间的规律，然后作出总结，再根据等式两边相等作出证明即可．
【详解】（1）由前五个式子可推出第6个等式为：；
（2），
证明：左边右边，
等式成立．
【点睛】本题是规律探究题，解答过程中，要注意各式中相同位置数字的变化规律，并将其用代数式表示出来．
20．作图：见解析；；；；被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分
【分析】根据线段垂直平分线的画法作图，再推理证明即可并得到结论．
【详解】解：如图，即为所求；
证明：四边形是平行四边形，
．
．
垂直平分，
．
又．
．
．
故答案为：；；；
由此得到命题：过平行四边形对角线中点的直线被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分，
故答案为：被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，作线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质，
熟练掌握平行四边形的性质及线段垂直平分线的作图方法是解题的关键．
21．（1）甲型充电桩的单价是0.8元，乙型充电桩的单价是0.6元
（2）购买甲型充电桩5个，乙型充电桩10个，所需费用最少为10万元
【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用等知识点，
（1）设乙型充电桩的单价是元，则甲型充电桩的单价是元，根据用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等，列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买甲型充电桩的数量为个，则购买乙型充电桩的数量为个，根据乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，列出一元一次不等式，解得，再设所需费用为元，求出与的函数关系式，然后根据一次函数的性质即可得出结论；熟练掌握（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式是解决此题的关键．
【详解】（1）设乙型充电桩的单价是元，则甲型充电桩的单价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：甲型充电桩的单价是0.8元，乙型充电桩的单价是0.6元；
（2）设购买甲型充电桩的数量为个，则购买乙型充电桩的数量为个，
由题意得：，
解得：，
设所需费用为元，
由题意得：，
，
随的增大而增大，
当时，
取得最小值为10万元，
此时，，
答：购买甲型充电桩5个，乙型充电桩10个，所需最少费用为10万元．
22．（1）见解析；（2）28°
【分析】（1）由平行四边形的性质得，再证，得到；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质求解即可．
【详解】（1）四边形是平行四边形，
，
，
是的平分线，
，
，
，
（2），
，
，
，
点是的中点，，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
23．（1）四边形是平行四边形，理由见解析；（2）四边形是平行四边形，理由见解析；（3）
【分析】（1）根据两组对边分别相等，即可判断四边形是平行四边形；
（2）根据一组对边平行且相等，即可判断四边形是平行四边形；
（3）根据题意可得，是等边三角形，可推出，，可得，根据勾股定理即可得出的长．
【详解】解：（1）四边形是平行四边形，
理由：两块三角尺全等，
，，
四边形是平行四边形；
（2）四边形是平行四边形，
理由：四边形是平行四边形，
，
且，
由平移的性质可得：，
且，
，
且，
四边形是平行四边形；
（3），，
，
，
，
是等边三角形，
，
，，
，
在中，根据勾股定理得，
的长为．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行四边形的判定，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握知识点是解题关键．