2024年广东省云浮市新兴县共成中学中考数学一模试卷

这是一份2024年广东省云浮市新兴县共成中学中考数学一模试卷，共17页。

A．2024B．C．﹣2024D．
2．（3分）如果在数轴上标出表示的点P，则数轴上与点P最接近的整数是（ ）
A．2B．﹣2C．3D．﹣3
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a3）2＝a5B．a6÷a2＝a4
C．（a+b）2＝a2+b2D．3a3﹣a2＝2a
4．（3分）一射击运动员在一次射击练习中打出的成绩是（单位：环）：7，8，9，8，6，9，10，9，这组数据的众数是（ ）
A．9B．8.5C．8D．7
5．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．若a＞b，则﹣a＞﹣b
B．若a＞b，则a﹣2＜b﹣2
C．若a＞b，且c≠0，则ac＞bc
D．若ac2＞bc2，则a＞b
6．（3分）已知正方形ABCD的面积为8，则该正方形的对角线AC的长度为（ ）
A．2B．2C．4D．4
7．（3分）反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（2，4），若点（﹣4，n）在反比例函数的图象上，则n等于（ ）
A．﹣8B．﹣4C．﹣2D．﹣
8．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣2m＝0（其中m≠﹣）的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不等的实数根
9．（3分）如图，某校数学兴趣小组探究活动中要测量河的宽度，该小组同学在河岸一边上选定一点A，再在河岸另一边选定点P和点B，使BP⊥AP（河的两岸平行）．若利用测量工具测得PB为m米，∠PBA＝α，根据测量数据可计算得到小河宽度PA为（ ）
A．msinα米B．mcsα米C．mtanα米D．米
10．（3分）如图，将长方形纸片ABCD沿EP对折（点P在边BC上，点E在边AB上），使点B落在点B′，再将另一部分沿B′P对折，使D，C分别落在D′，C′处，若∠EPC′比∠BPE的2倍大10°，则∠EPB的度数为（ ）
A．42.5°B．74°C．32.5°D．34°
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）分解因式：m2﹣36＝ ．
12．（3分）在平面直角坐标系中，点A（﹣6，8）关于原点对称的点的坐标是 ．
13．（3分）我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是215000000米．将数字215000000用科学记数法表示为 ．
14．（3分）若二次函数y＝x2+ax+2a+1的图象经过原点，则a＝ ．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠BAC＝60°，∠BAC的角平分线交△ABC的外接圆⊙O于点E，则AE的长为 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）（1）计算：；
（2）解不等式组：．
17．（8分）如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD与CE相交于点F．
（1）证明：BA＝BC；
（2）求证：△AFC为等腰三角形．
18．（8分）某地区教育部门为了解本地区中小学生参加家庭劳动时间的情况，随机抽取该地区1200名中小学生进行问卷调查．并将调查结果进行整理，绘制统计图表，部分信息描述如下：
调查结果统计表
并对于每周参加家庭劳动时间不足2小时的学生们又进行调查，影响同学们每周参加家庭劳动的主要原因是：A．没时间
B．不会做
C．不喜欢
D．家长不同意
E．其它．
将调查结果制成扇形统计图如图所示．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查中，该地区中小学生每周参加家庭劳动时间的中位数落在哪一组；
（2）在被调查的中小学生中，求选择“家长不同意”的人数；
（3）若每周参加家庭劳动时间不足2小时的学生需要提高参加家务劳动的意识，该地区共有中小学生12000名，请估计需要提高参加家务劳动的意识的学生有多少人，并说明理由．
19．（9分）如图1，将一个大老碗放在水平桌面上，从正面看碗体部分近似于一条抛物线（碗体厚度不计），如图2，以碗底MN所在直线为x轴，MN的垂直平分线OD为y轴，点O为原点建立平面直角坐标系，若碗口直径AB＝20cm，碗深CD＝8cm，抛物线的最低点到桌面的距离OC＝1.5cm．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）当所盛面汤的深度EC为6cm时，面汤表面所在圆的直径PQ长为多少？（结果保留根号）
20．（9分）LED感应灯是一种通过感应模块自动控制光源开关的智能照明产品．当人进入感应范围内，灯自动亮，离开感应范围，灯自动熄灭．若在感应范围内有多个感应灯，则人距离哪个感应灯更近，哪个感应灯就会亮，其他感应灯则不亮．若人到两个感应灯的距离相等，则两个感应灯都亮．
（1）如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6m，AC＝8m，若在顶点B，C处分别装有感应灯，EF垂直平分BC，垂足为点F，交AC于点E，请求出在该三角形内能使感应灯C亮的区域面积；
（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC＝5m，BC＝6m，AD为BC边上的高，在△ABC的三个顶点处都装有感应灯，请求出在该三角形内能使感应灯B亮的区域面积．
21．（9分）某商店出售普通练习本和精装练习本，150本普通练习本和100精装练习本销售总额为1450元；200本普通练习本和50精装练习本销售总额为1100元．
（1）求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？
（2）该商店计划再次购进500本练习本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍，已知普通练习本的进价为2元/个，精装练习本的进价为7元/个，设购买普通练习本x个，获得的利润为W元；
①求W关于x的函数关系式；
②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润．
22．（12分）如图1，在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，∠DAC＝37°，AC＝10，点O在边AD上，由点D向点A运动，当点O与点A重合时，停止运动．以点O为圆心，OD为半径在AD的下方作半圆O，半圆O与AD交于点M．（sin37°＝0.6，cs37°＝0.8，tan37°＝0.75）
如图1，当OD＝2时，∠OCD＝ °，点C到半圆O的最短距离＝ ；
（2）半圆O与AC相切时，求OD的长？
（3）如图2，半圆O与AC交于点E、F，当EF＝6.4时，求扇形EOF的面积？
（4）以AD，DC为边矩形ABCD，当半圆O与△ABC有两个公共点时，则OD的取值范围是 .
23．（12分）【教材呈现】如图是华师八年级下册数学教材第75页的部分内容．
请根据教材提示，写出证明“平行线之间的距离处处相等”的完整过程
已知：如图①，直线a∥b，A、C是直线a上的两点，AB⊥b于点B，CD⊥b于点D，求证：AB＝CD．
【结论应用】在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于点P．
（1）如图②，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，连结AQ、DQ．则S△AQD与S△PBC之间的数量关系是 ．
（2）如图③，若∠ADC＝90°，AB＝AC＝5，BC＝6，则△BCD的面积为 ．
2024年广东省云浮市新兴县共成中学中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：﹣2024的相反数是2024，
故选：A．
2． 解：∵，
∴，
∵|9﹣7|＜|4﹣7|，
∴离﹣更近，
∴数轴上与点P最接近的整数是﹣3．
故选：D．
3． 解：（a3）2＝a6，则A不符合题意；
a6÷a2＝a4，则B符合题意；
（a+b）2＝a2+2ab+b2，则C不符合题意；
3a3与a2不是同类项，无法合并，则D不符合题意；
故选：B．
4． 解：数据7，8，9，8，6，9，10，9按照从小到大排列是：6，7，8，8，9，9，9，10，
故这组数据的众数是9，
故选：A．
5． 解：A、若a＞b，则﹣a＜﹣b，故A不符合题意；
B、若a＞b，则a﹣2＞b﹣2，故B不符合题意；
C、若a＞b，且c＞0，则ac＞bc，故C不符合题意；
D、若ac2＞bc2，则a＞b，故D符合题意；
故选：D．
6． 解：∵正方形ABCD的面积为8，
∴正方形的边长是＝2，
∵正方形的四个内角都是90°，
∴AC＝＝4，
故选：C．
7． 解：∵点（2，4）和点（﹣4，n）在反比例函数y＝的图象上，
∴﹣4n＝2×4，
∴n＝﹣2．
故选：C．
8． 解：由题意，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×（﹣2m）
＝4m2﹣4m+1+8m
＝4m2+4m+1
＝（2m+1）2．
∵m≠﹣，
∴（2m+1）2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
9． 解：∵BP⊥AP，
∴∠P＝90°．
在Rt△PAB中，
tanB＝，
∴PA＝tanB•PB＝mtana（米）．
故选：C．
10． 解：设∠EPB＝x°，
由折叠得：∠BPE＝∠EPB′＝x°，
∴∠CPB′＝180°﹣∠BPE﹣∠EPB′＝（180﹣2x）°，
由折叠得：∠CPB′＝∠C′PB′＝（180﹣2x）°，
∴∠EPC′＝∠C′PB′﹣∠EPB′＝（180﹣3x）°
∵∠EPC′比∠BPE的2倍大10°，
∴180﹣3x＝2x+10，
解得：x＝34，
∴∠EPB＝34°，
故选：D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11． 解：m2﹣36
＝（m﹣6）（m+6），
故答案为：（m﹣6）（m+6）．
12． 解：点A（﹣6，8）关于原点对称的点的坐标是（6，﹣8），
故答案为：（6，﹣8）．
13． 解：215000000用科学记数法表示为2.15×108．
故答案为：2.15×108．
14． 解：∵二次函数y＝x2+ax+2a+1的图象经过原点，
∴0＝2a+1，
解得a＝﹣，
故答案为：﹣．
15． 解：过B作BP⊥AC于点P，过D作DQ⊥AC于点Q，
∵在△ABC中，AB＝4，AC＝6，AE是∠BAC的角平分线，
∴BD：CD＝4：6＝2：3，
∵∠BAC＝60°，
∴AP＝AB•cs∠BAC＝AB＝2，BP＝AB•sin∠BAC＝2，
∴CP＝AC﹣AP＝4，
∴BC＝＝2，
∴CD＝，BD＝，
∵DQ∥BP，
∴＝，
∴CQ＝，DQ＝，
∴AQ＝AC﹣CQ＝，
∴AD＝＝，
∵BD•CD＝AD•DE，
∴DE＝，
∴AE＝DE+AD＝．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16． 解：（1）
＝2++2
＝2﹣1++1
＝3；
（2）解不等式组：
解得x≤5，
解3（x﹣1）＞2x﹣2得x＞1，
∴不等式组的解集为1＜x≤5．
17． 证明：（1）在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（AAS），
∴BA＝BC；
（2）∵BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵∠BAD＝∠BCE，
∴∠FAC＝∠FCA，
∴FA＝FC，
∴△AFC为等腰三角形．
18． 解：（1）由统计表可知，抽取的这1200名学生每周参加家庭劳动时间的中位数为第600个和第601个数据的平均数，故中位数落在第二组；
（2）（1200﹣200）×（1﹣25%﹣30%﹣35%﹣2.5% ）＝75（人），
答：在本次被调查的中小学生中，选择“家长不同意”的人数为75人；
（3）由统计图可知，该地区中小学生每周参加家庭劳动时间不足2小时的人数为：，
答：估计需要提高参加家务劳动的意识的学生有10000人．
19． 解：（1）由题意可知，OD＝OC+CD＝9.5cm，点A的坐标为（﹣10，9.5），点B的坐标为（10，9.5），抛物线的顶点坐标为（0，1.5），
设抛物线的关系式为y＝ax2+1.5，则100a+1.5＝9.5，
解得a＝，
所以抛物线的函数表达式为y＝x2+1.5；
（2）由题意可知，OE＝OC+EC＝7.5cm，
当y＝x2+1.5＝7.5时，解得x＝±5，
∴P（﹣5，7.5），Q（5，7.5），
∴PQ＝5+5＝10，
∴面汤表面所在圆的直径PQ长为10cm．
20． 解：（1）∵∠A＝90°，AB＝6m，AC＝8m，
∴，，
∵EF垂直平分BC，
∴，
∴，
∴m，
∴．
（2）在△ABC中，
∵AB＝AC＝5m，BC＝6m，AD为BC边上的高，
∴，
作线段AB的垂直平分线FE，交AB于点F，交AD于点E，
∴，，
∴，
∴S四边形DEFB＝S△ABD﹣S△AEF
＝
＝
＝．
21． 解：（1）设普通练习本的销售单价为m元，精装练习本的销售单价为n元，
由题意可得：，
解得，
答：普通练习本的销售单价为3元，精装练习本的销售单价为10元；
（2）①购买普通练习本x个，则购买精装练习本（500﹣x）个，
由题意可得：W＝（3﹣2）x+（10﹣7）（500﹣x）＝﹣2x+1500，
∵普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍，
∴x≥3（500﹣x），
解得x≥375，
即W关于x的函数关系式是；W＝﹣2x+1500（375≤x≤500）；
②∵W＝﹣2x+1500，
∴W随x的增大而减小，
∵375≤x≤500，
∴当x＝375时，W取得最大值，此时W＝750，500﹣x＝125，
答：当购买375个普通练习本，125个精装练习，销售总利润最大，最大总利润为750元．
22． 解：（1）连接OC，OC与半圆O交于点B，
在Rt△ADC中，
∴sin∠DAC＝，
∴DC＝AC•sin37°＝10×0.6＝6．
在Rt△ODC中，
∵tan∠OCD＝＝，
∴∠OCD＝30°．
∵OC＝＝4，
∴BC＝OC﹣OB＝4﹣2＝2，
∴点C到半圆O的最短距离＝2，
故答案为：30；2；
（2）当半圆O与AC相切时，设切点为N，连接ON，OC，如图，
∵∠ADC＝90°，
∴CD为半圆O的切线，
∵CN为半圆O的切线，
∴CD＝CN＝6，
∴AN＝AC﹣CN＝4．
设OD＝ON＝r，
∵AD＝＝8，
∴OA＝8﹣r．
∵CN为半圆O的切线，
∴ON⊥AC．
∴OA2＝ON2+AN2，
∴（8﹣r）2＝r2+42，
解得：r＝3．
∴OD＝3；
（3）过点O作OH⊥EF于点H，连接OF，如图，
则EH＝FH＝＝3.2，
∵∠AHO＝∠ADC＝90°，∠A＝∠A，
∴△AOH∽△ACD，
∴，
∴，
∴OH＝（8﹣OD）．
∵OH2+HF2＝OF2，
∴，
解得：OD＝4或OD＝﹣13（不合题意，舍去），
∴OD＝4，
∴OM＝OA＝OD＝4，
∴A，M，E三点重合，
∴∠EOF＝180°﹣2×37°＝106°．
∴扇形EOF的面积＝＝；
（4）如图，
当⊙O1与AC边相切与点M1时，O1M1⊥AC，
此时，⊙O1与△ABC有一个公共点，
由（2）知：O1M1＝3．
当⊙O1与BC边相切与点M2时，O2M2⊥BC，
此时，⊙O1与△ABC有三个公共点，
∴O2M2＝CD＝6．
∴当圆心O在O1与O2之间时，半圆O与△ABC有两个公共点，
∴3＜OD＜6；
当⊙O的圆心O在O2与点A之间时，此时⊙O与△ABC有两个或三个公共点，
当⊙O经过点B时，⊙O与△ABC有三个公共点，
∵OB2＝OA2+AB2，OB＝OD，OA＝8﹣OD，
∴OD2＝（8﹣OD）2+62，
解得：OD＝．
∴当OD＝时，⊙O与△ABC有三个公共点，
∴当＜OD≤8时，，⊙O与△ABC有两个公共点，
综上，当半圆O与△ABC有两个公共点时，OD的取值范围是＜OD≤8或3＜OD＜6．
故答案为：＜OD≤8或3＜OD＜6．
23． 【教材呈现】证明：∵AB⊥b，CD⊥b，
∴AB∥CD，
又∵a∥b，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD；
【结论应用】（1）解：∵AB∥PQ，PQ∥AB，
∴PQ∥CD，
设直线AB与PQ的距离为m，直线PQ与CD的距离为n，直线AB，CD之间的距离为r，
∵S△ABD＝AB•r，S△ABC＝AB•r，
∴S△ABD＝S△ABC，
∵S△ABD﹣S△ABP＝S△ABC﹣S△ABP，
∴S△APD＝S△PBC，
∵S△APQ＝PQ•m，S△BPQ＝PQ•m，
∴S△APQ＝S△BPQ，
∵S△DPQ＝PQ•n，S△CPQ＝PQ•n，
∴S△DPQ＝S△CPQ，
∴S△APQ+S△DPQ＝S△BPQ+S△CPQ＝S△PBC，
∴△AQD＝S△APD+S△APQ+S△DPQ＝S△PBC+S△PBC＝2S△PBC，
∴S△AQD＝2S△PBC，
故答案为：S△AQD＝2S△PBC．
（2）解：如图③，作AF⊥BC于点F，CE⊥AB于点E，则∠AFB＝90°，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴，
∴，
∵S△ABC＝AB•CE＝BC•AF，
∴，
∴，
∵∠ADC＝90°，
∴AD⊥CD，
∵AB∥CD，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
每周参加家庭劳动时间（x小时）
第一组
0≤x＜0.5
第二组
0.5≤x＜1
第三组
1≤x＜1.5
第四组
1.5≤x＜2
第五组
x≥2
人数（人）
308
295
221
176
200
如图在方格纸上画出两条互相平行的直线，在其中一条直线上任取若干点，过这些点作另外一条直线的垂线，用刻度尺量出平行线之间这些垂线的长度．
你能发现什么结论？试用平行四边形的性质定理加以说明．
经过度量，我们发现这些垂线段的长度都相等，由此我们得到平行线的又一性质：平行线间的距离处处相等．
两条直线平行，其中一条直线上的任一点到另外一条直线的距离，叫做两条平行线的距离．