2023年广东省云浮市罗定市素龙中学中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2023年广东省云浮市罗定市素龙中学中考数学一模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年广东省云浮市罗定市素龙中学中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  的倒数是(    )A.  B.  C.  D. 2.  的值是(    )A.  B.  C.  D. 3.  用五个相同的正方体搭成如图所示的立体图形，则该立体图形的主视图是(    )A.
B.
C.
D. 4.  某班有位同学参加围棋、象棋比赛，甲说：“只参加一项的人数大于人．”乙说：“两项都参加的人数小于”对于甲、乙两人的说法，有下列四个命题，其中真命题的是(    )A. 若甲对，则乙对 B. 若乙对，则甲对 C. 若乙错，则甲错 D. 若甲错，则乙对5.  如图，四边形内接于，若，则的度数是(    )A.
B.
C.
D.
 6.  我国古代数学经典著作九章算术中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出八钱，会多三钱；每人出七钱，又差四钱问人数、物价各多少？设人数为人，物价为钱，下列方程组正确的是(    )A.  B.  C.  D. 7.  在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式：，由公式提供的信息，则下列说法错误的是(    )A. 样本的容量是 B. 样本的中位数是
C. 样本的众数是 D. 样本的平均数是8.  不等式组的所有整数解的和是(    )A.  B.  C.  D. 9.  如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若，则莱洛三角形的面积即阴影部分面积为(    )A.
B.
C.
D. 10.  如图，是线段上除端点外的一点，将绕正方形的顶点顺时针旋转，得到连接交于点下列结论正确的是(    )
 A.  B. ：：
C.  D. ：：二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.  年月日我国天问一号探测器在火星预选着陆区着陆，在火星上首次留下中国印迹，迈出我国星际探测征程的重要一步目前探测器距离地球约千米，这个数据用科学记数法可表示为______ ．12.  若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______ ．13.  已知等腰三角形的一个外角为，则它的顶角的度数为________．14.  如图，在拧开一个边长为的正六角形螺帽时，扳手张开的开口，则边长 ______ ．
 15.  如图所示，在中，，、分别是、的中点，动点在射线上，交于，的平分线交于，当时， ______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.  本小题分
第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字．八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份．
八进制数换算成十进制数是______；
小华设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值．
 
 
 17.  本小题分
某人的钱包内有元、元和元的纸币各张，从中随机取出张纸币．
求取出纸币的总额是元的概率；
求取出纸币的总额可购买一件元的商品的概率．18.  本小题分
一艘渔船从位于海岛北偏东方向，距海岛海里的处出发，以每小时海里的速度沿正南方向航行．已知在海岛周围海里水域内有暗礁．参考数据：，，
这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．
渔船航行小时后到达处，求，之间的距离．
19.  本小题分
李师傅将容量为升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地．行驶过程中，货车离目的地的路程千米与行驶时间小时的关系如图所示中途休息、加油的时间不计．当油箱中剩余油量为升时，货车会自动显示加油提醒．设货车平均耗油量为升千米，请根据图象解答下列问题：
直接写出工厂离目的地的路程；
求关于的函数表达式；
当货车显示加油提醒后，问行驶时间在怎样的范围内货车应进站加油？
20.  本小题分
为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书．已知购买本科技类图书和本文学类图书需元，购买本科技类图书和本文学类图书需元．
科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？
为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动文学类图书售价不变：购买科技类图书超过本但不超过本时，每增加本，单价降低元；超过本时，均按购买本时的单价销售．社区计划购进两种图书共计本，其中科技类图书不少于本，但不超过本．按此优惠，社区至少要准备多少购书款？21.  本小题分
如图正方形的边长为，、分别为、中点．
求证：≌．
求的面积．
22.  本小题分
如图，抛物线过点，，与轴交于点．
求抛物线的解析式；
点为抛物线对称轴上一动点，当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标；
在条件下，是否存在点为抛物线第一象限上的点，使得？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
23.  本小题分
问题背景：如图，在四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交、于、探究图中线段，，之间的数量关系．
小李同学探究此问题的方法是：延长到，使，连接，先证明≌，再证明≌，可得出结论，他的结论就是______；
探究延伸：如图，在四边形中，，，，，绕点旋转．它的两边分别交、于、，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论直接写出“成立”或者“不成立”，不要说明理由；
探究延伸：如图，在四边形中，，，，绕点旋转．它的两边分别交、于、上述结论是否仍然成立？并说明理由；
实际应用：如图，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心处北偏西的处．舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以海里小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达、处．且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为试求此时两舰艇之间的距离．


答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
的倒数为：．
故选：．
直接利用倒数的定义分析得出答案．
此题主要考查了倒数，正确把握倒数的定义是解题关键．
 2.【答案】 【解析】本题考查了零指数幂的意义，掌握是解题的关键．
根据零指数幂的意义即可求解．
解：．
故选：．
 3.【答案】 【解析】【分析】
找到从正面看所得到的图形即可．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
【解答】
解：从正面看，底层是两个小正方形，上层是两个小正方形，形成一个“田”字．
故选：．  4.【答案】 【解析】解：若甲对，即只参加一项的人数大于人，不妨假设只参加一项的人数是人，
则两项都参加的人数为人，故乙错．
若乙对，即两项都参加的人数小于人，则两项都参加的人数至多为人，
此时只参加一项的人数为人，故甲对．
故选：．
分别假设甲说的对和乙说的正确，进而得出答案．
此题主要考查了推理与论证，关键是分两种情况分别进行分析．
 5.【答案】 【解析】解：四边形内接于，
，
，
，
故选：．
根据圆内接四边形的性质得出，再代入求出答案即可．
本题考查了圆内接四边形的性质，注意：圆内接四边形的对角互补．
 6.【答案】 【解析】解：每人出八钱，会多三钱，
；
每人出七钱，又差四钱，
．
根据题意可列方程组．
故选：．
根据“每人出八钱，会多三钱；每人出七钱，又差四钱”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：由题意知，这组数据为、、、，
所以这组数据的样本容量为，中位数为，众数为，平均数为，
故选：．
先根据方差的公式得出这组数据为、、、，再根据样本容量、中位数、众数和平均数的概念逐一求解可得答案．
本题主要考查方差、样本容量、中位数、众数和平均数，解题的关键是根据方差的定义得出这组数据．
 8.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解的应用，解此题的关键是求出不等式组的解集．先求出不等式组的解集，再求出不等式组的整数解，最后求出答案即可．
【解答】
解：
解不等式得；，
解不等式得；，
不等式组的解集为，
不等式组的整数解为，，，，
，
故选D．  9.【答案】 【解析】【分析】
图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．
本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键．
【解答】
解：过作于，
是等边三角形，

，，
，
，，
的面积为，
，
莱洛三角形的面积，
故选：．  10.【答案】 【解析】解：绕正方形的顶点顺时针旋转，得到，
≌，
，
，
故A不正确；
，，
是等腰直角三角形，
，
：：，
故B不正确；
若成立，
：：，
，
，
即是的中点，不一定是的中点，
故C不正确；
，
：：，
，
：：，
故D正确；
故选：．
由已知可得≌，从而得到，；由，可知不正确；由，，可知是等腰直角三角形，所以，则不正确；若成立，可得，即是的中点，而不一定是的中点，故C不正确；由，由平行线分线段成比例可得：：，故D正确．
本题考查正方形的性质，三角形的旋转；抓住三角形旋转的本质，旋转前后的三角形全等，得到是等腰直角三角形是解本题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法，关键是确定的值以及的值．
 12.【答案】 【解析】解：由题意可得，
，
，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件即可解得．
此题考查了二次根式的意义，解题的关键是列出不等式求解．
 13.【答案】或 【解析】解：等腰三角形的一个外角为，
与此外角相邻的内角为，
当为顶角时，其他两角都为、，
当为底角时，其他两角为、，
所以等腰三角形的顶角为或．
故答案为：或．
等腰三角形的一个外角等于，则等腰三角形的一个内角为，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．
本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理．
 14.【答案】 【解析】解：如图，连接、，过作于．

则，
，是等边三角形，
，
，，
，
，
故答案为：．
如图，连接、，过作于解直角三角形求出即可．
本题考查了正多边形和圆的知识，构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形是解题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：如图，延长交射线于，

、分别是、的中点，
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
，
，
由得，∽，
，
，
即．
故答案为：．
延长交射线于，三角形的中位线定理得到，推出，∽，得到，进而推出，即可得出结论．
本题考查三角形的中位线定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．解题的关键是构造等腰三角形和相似三角形．
 16.【答案】解：；
依题意有：，
解得，舍去．
故的值是． 【解析】【分析】
本题主要考查一元二次方程，因式分解的应用，有理数的混合运算，解题的关键是弄清各个进制数转化为十进制数的计算方法．
根据已知，从个位数字起，将二进制的每一位数分别乘以，，，，再把所得结果相加即可得解；
根据进制数和十进制数的计算方法得到关于的方程，解方程即可求解．
【解答】
解：

．
故八进制数字换算成十进制是．
故答案为：；
见答案．  17.【答案】解：列表：

共有种等可能的结果数，其中总额是元占种，
所以取出纸币的总额是元的概率；
共有种等可能的结果数，其中总额超过元的有种，
所以取出纸币的总额可购买一件元的商品的概率为． 【解析】先列表展示所有种等可能的结果数，再找出总额是元所占结果数，然后根据概率公式计算；
找出总额超过元的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，求出概率．
 18.【答案】解：这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险，理由如下：
作于，如图：


则，
由题意得：，，
，
，
这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险；
由得：，，
，
，
在中，海里；
答：，之间的距离约为海里． 【解析】作于，由题意得，，则，根据勾股定理求出，即可得出结论；
由得，，求出，由勾股定理求出即可．
本题考查的是勾股定理的应用、方向角的概念、直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．
 19.【答案】解：由图象，得时，，
工厂离目的地的路程为千米，
答：工厂离目的地的路程为千米；
设，
将和代入得，
，
解得：，
关于的函数表达式：，
答：关于的函数表达式：；
当油箱中剩余油量为升时，
千米，
，
解得：小时，
当油箱中剩余油量为升时，
千米，
，解得：小时，
，
随的增大而减小，
的取值范围是． 【解析】由图象直接求出工厂离目的地的路程；
用待定系数法求出函数解析式即可；
当油箱中剩余油量为升时和当油箱中剩余油量为升时，求出的取值即可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
 20.【答案】解：设科技类图书的单价为元，文学类图书的单价为元，
依题意得：，
解得：．
答：科技类图书的单价为元，文学类图书的单价为元．
设科技类图书的购买数量为本，购买这两种图书的总金额为元，则文学类图书的购买数量为本．
当时，，
，
随的增大而增大，
；
当时，，
，
当时，随的增大而减小，
；
当时，，
，
随的增大而增大，
．
综上，当时，的最小值为．
答：社区至少要准备元购书款． 【解析】设科技类图书的单价为元，文学类图书的单价为元，根据“购买本科技类图书和本文学类图书需元，购买本科技类图书和本文学类图书需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设科技类图书的购买数量为本，购买这两种图书的总金额为元，则文学类图书的购买数量为本，分，及三种情况考虑，利用总价单价数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特征或二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，可求出的取值范围，取其最小值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；分，及三种情况，找出关于的函数关系式．
解：设科技类图书的单价为元，文学类图书的单价为元，
依题意得：，
解得：．
答：科技类图书的单价为元，文学类图书的单价为元．
设科技类图书的购买数量为本，购买这两种图书的总金额为元，则文学类图书的购买数量为本．
当时，，
，
随的增大而增大，
；
当时，，
，
当时，随的增大而减小，
；
当时，，
，
随的增大而增大，
．
综上，当时，的最小值为．
答：社区至少要准备元购书款．
 21.【答案】证明：四边形为正方形，
，，，
、为、中点，
，，
，
在和中，
，
≌；

解：由题知、、均为直角三角形，
且，，，


． 【解析】由四边形为正方形，得到，，，由、分别为、中点，得出，进而证明出两三角形全等；
首先求出和的长度，再根据得出结果．
本题主要考查正方形的性质和全等三角形的证明，解答本题的关键是熟练掌握正方形的性质以及全等三角形的判定定理，此题难度不大．
 22.【答案】解：由题意得：，
；
设，
，
，
，
；
假设存在点满足条件，
作交轴于，作交轴于，
的解析式为，
，
，，
，
直线的解析式为：，
由得，
，
点横坐标为或． 【解析】由交点式可直接得出抛物线的解析式；
设，根据列出方程，进而求得点坐标；
作交轴于，作交轴于，先求出的解析式，进而求得的解析式，进一步求得结果．
本题考查了求二次函数解析式，一次函数解析式，勾股定理列方程，两个函数图象交点与对应方程组之间的关系等知识，解决问题的关键是转化题意，求一次函数解析式．
 23.【答案】解：问题背景：
如图，延长到，使，连接，先证明≌，再证明≌，可得出结论：；

故答案为：；

探究延伸：
如图，延长到，使，连接，先证明≌，再证明≌，可得出结论：；


探究延伸：
上述结论仍然成立，即，理由：
如图，延长到，使得，连接，

，，
，
，，
≌，
，，
，
又，
，
，
≌，
；

实际应用：
如图，连接，延长交的延长线于，

舰艇甲在指挥中心处北偏西的处．舰艇乙在指挥中心南偏东的处，
，
指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为，
，
．
，，，
，
因此本题的实际的应用可转化为如下的数学问题：
在四边形中，，，，的两边分别交，于，，求的长．
根据探究延伸的结论可得：，
根据题意得，海里，海里，
海里．
答：此时两舰艇之间的距离为海里． 【解析】问题背景：延长到，使，连接，先证明≌，再证明≌，即可得出结论：；
探究延伸：延长到，使，连接，先证明≌，再证明≌，可得出结论：；
探究延伸：延长到，使得，连接，先证明≌，即可得到，，再证明≌，即可得出；
实际应用：连接，延长交的延长线于，根据题意可转化为如下的数学问题：在四边形中，，，，的两边分别交，于，，求的长．再根据探究延伸的结论：，即可得到两舰艇之间的距离．
本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形，解答时注意类比思想的灵活应用．