2024年广东省东莞市长安实验中学中考数学一模试卷

这是一份2024年广东省东莞市长安实验中学中考数学一模试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）把如图所示的海豚吉祥物进行平移，能得到的图形是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）如果温度上升2℃记作+2℃，那么温度下降3℃记作（ ）
A．+2℃B．﹣2℃C．+3℃D．﹣3℃
3．（3分）目前，中国国家版本馆中央总馆入藏版本量共16000000余册，数据16000000用科学记数法表示为（ ）
A．16×106B．0.16×108C．1.6×107D．1.6×108
4．（3分）一个几何体的三视图如图所示，从左向右依次是主视图、左视图、俯视图，则这个几何体是（ ）
A．圆柱B．圆锥C．长方体D．正方体
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2⋅a3＝a6B．（x+y）2＝x2+y2
C．a4+a5＝a9D．（﹣3xy）2＝9x2y2
6．（3分）下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．x2﹣2＝0B．x2﹣2x＝0
C．x2+x+1＝0D．（x﹣1）（x﹣3）＝0
7．（3分）如图，⊙O中，点D，A分别在劣弧BC和优弧BC上，∠BDC＝130°，则∠BOC＝（ ）
A．120°B．110°C．105°D．100°
8．（3分）关于x的不等式（m+2）x＞m+2的解集是x＜1，则m的取值范围是（ ）
A．m≥0B．m＞﹣2C．m＞2D．m＜﹣2
9．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，…．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的周长l6＝6R，则π≈＝3．再利用圆的内接正十二边形来计算圆周率，则圆周率π约为（ ）
A．12sin15°B．12cs15°C．12sin30°D．12cs30°
二.填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是 ．
12．（3分）圆锥的底面半径为2，母线长为6，则它的侧面积为 ．
13．（3分）如果一个正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形是 边形．
14．（3分）如图，在⊙O中，OA＝2，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积为 ．
15．（3分）如图，△ABC中，在CA，CB上分别截取CD，CE，使CD＝CE，分别以D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠ACB内交于点F，作射线CF，交AB于点M，过点M作MN⊥BC，垂足为点N．若BN＝CN，AM＝4，BM＝5，则AC的长为 ．
三.解答题（一）（本大题2小题，每小题5分，共10分）
16．（5分）解不等式组：．
17．（5分）如图，在△ABC中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，证明：△ABD≌△ACD．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
18．（7分）先化简：，再从﹣1，0，1中选择一个合适的数作为x的值代入求值．
19．（7分）在九年级学生中随机抽取了若干名学生参加“平均每天体育运动时间”的调查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．
频数分布表
请根据图表中的信息解答下列问题：
（1）频数分布表中的a＝ ，b＝ ，n＝ ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若该校九年级共有600名学生，试估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于120min的学生人数．
20．（7分）已知反比例函数图象经过A（1，1）．
（1）求反比例函数解析式；
（2）若点（2，y1），（4，y2）是反比例函数图象上两点，试比较y1，y2大小．
五、解答题（三）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）如图：在菱形ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使EF＝BC，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若BF＝8，DF＝4，求CD的长．
22．（8分）某文具店王老板用240元购进一批笔记本，很快售完；王老板又用600元购进第二批笔记本，所购本数是第一批的2倍，但进价比第一批每本多了2元．
（1）第一批笔记本每本进价多少元？
（2）王老板以每本12元的价格销售第二批笔记本，售出60%后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批笔记本的销售总利润不少于48元，剩余的笔记本每本售价最低打几折？
23．（8分）如图，△ABC中，AB＝BC＝5cm，AC＝8cm，点P从顶点B出发，沿B→C→A以每秒1cm的速度匀速运动到A点，设运动时间为x秒，BP长度为ycm，某学习小组对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是他们的探究过程，请补充完整
（1）通过取点，画图，测量，得到了x（秒）与y（cm）的几组对应值：
要求：补全表格中相关数值（保留一位小数）
（2）在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当x约为 时，BP＝CP．
六、解答题（四）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）已知：如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，过点C的切线交DA的延长线于点E，DE⊥CE，连接CD，BC．
（1）求证：∠DAB＝2∠ABC；
（2）若tan∠ADC＝，BC＝8，求⊙O的半径．
25．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线BC上方抛物线上取一点P，过点P作PQ⊥x轴交BC边于点Q，求PQ的最大值；
（3）在直线BC上方抛物线上取一点D，连接OD，CD．OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）把如图所示的海豚吉祥物进行平移，能得到的图形是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：根据平移定义可知：把如图所示的海豚吉祥物进行平移，能得到的图形是C．
故选：C．
2．（3分）如果温度上升2℃记作+2℃，那么温度下降3℃记作（ ）
A．+2℃B．﹣2℃C．+3℃D．﹣3℃
【解答】解：上升2℃记作+2℃，下降3℃记作﹣3℃；
故选：D．
3．（3分）目前，中国国家版本馆中央总馆入藏版本量共16000000余册，数据16000000用科学记数法表示为（ ）
A．16×106B．0.16×108C．1.6×107D．1.6×108
【解答】解：16000000＝1.6×107，
故选：C．
4．（3分）一个几何体的三视图如图所示，从左向右依次是主视图、左视图、俯视图，则这个几何体是（ ）
A．圆柱B．圆锥C．长方体D．正方体
【解答】解：观察可知主视图、左视图是长方形，俯视图是圆，所以这个几何体是圆柱，
故选：A．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2⋅a3＝a6B．（x+y）2＝x2+y2
C．a4+a5＝a9D．（﹣3xy）2＝9x2y2
【解答】解：A、a2⋅a3＝a5，故本选项不合题意；
B、（x+y）2＝x2+2xy+y2，故本选项不合题意；
C、a4、a5不是同类项，不能合并，故本选项不合题意；
D、（﹣3xy）2＝9x2y2，故本选项符合题意．
故选：D．
6．（3分）下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．x2﹣2＝0B．x2﹣2x＝0
C．x2+x+1＝0D．（x﹣1）（x﹣3）＝0
【解答】解：A、Δ＝02﹣4×1×（﹣2）＝8＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以该选项不符合题意；
B、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以该选项不符合题意；
C、Δ＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0，则方程没有实数根，所以该选项符合题意；
D、解（x﹣1）（x﹣3）＝0得x1＝1，x2＝3，所以该选项不符合题意．
故选：C．
7．（3分）如图，⊙O中，点D，A分别在劣弧BC和优弧BC上，∠BDC＝130°，则∠BOC＝（ ）
A．120°B．110°C．105°D．100°
【解答】解：∵四边形ABDC为圆内接四边形
∴∠A+∠BDC＝180°
∵∠BDC＝130°
∴∠A＝50°
∴∠BOC＝2∠A＝100°
故选：D．
8．（3分）关于x的不等式（m+2）x＞m+2的解集是x＜1，则m的取值范围是（ ）
A．m≥0B．m＞﹣2C．m＞2D．m＜﹣2
【解答】解：∵不等式（m+2）x＞m+2的解集是x＜1，
∴m+2＜0，
∴m＜﹣2，
故选：D．
9．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：由二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象，可知：a＜0，b＞0，
则一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象经过第一、二、四象限，
故选：C．
10．（3分）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，…．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的周长l6＝6R，则π≈＝3．再利用圆的内接正十二边形来计算圆周率，则圆周率π约为（ ）
A．12sin15°B．12cs15°C．12sin30°D．12cs30°
【解答】解：在正十二边形中，∠A6OM＝360°÷24＝15°，
∴A6M＝sin15°×OA6＝R×sin15°，
∵OA6＝OA7，OM⊥A6A7，
∴A6A7＝2A6M＝2R×sin15°，
∴π≈＝12sin15°，
故选：A．
二.填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是 x≥ ．
【解答】解：根据题意得：2x﹣1≥0，
解得：x≥．
故答案为：x≥．
12．（3分）圆锥的底面半径为2，母线长为6，则它的侧面积为 12π ．
【解答】解：根据圆锥的侧面积公式：πrl＝π×2×6＝12π，
故答案为：12π．
13．（3分）如果一个正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形是 八 边形．
【解答】解：正多边形的每个外角相等，且其和为360°，
据此可得＝45，
解得n＝8．
故答案为：八．
14．（3分）如图，在⊙O中，OA＝2，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积为 π﹣2 ．
【解答】解：∵∠C＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB
＝
＝π﹣2．
故答案为：π﹣2．
15．（3分）如图，△ABC中，在CA，CB上分别截取CD，CE，使CD＝CE，分别以D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠ACB内交于点F，作射线CF，交AB于点M，过点M作MN⊥BC，垂足为点N．若BN＝CN，AM＝4，BM＝5，则AC的长为 6 ．
【解答】解：由题中作图可知：CM平分∠ACB，
∴∠ACM＝∠BCM，
∵MN⊥BC，BN＝CN，
∴MB＝MC，
∴∠B＝∠BCM，
∴∠ACM＝∠B，
∵∠CAM＝∠CAB，
∴△ACM∽△ABC，
∴AC：AB＝AM：AC，
∵AM＝4，BM＝5，
∴AB＝AM+BM＝9，
∴AC：9＝4：AC，
∴AC＝6．
故答案为：6．
三.解答题（一）（本大题2小题，每小题5分，共10分）
16．（5分）解不等式组：．
【解答】解：解不等式2x＞4，得：x＞2，
解不等式x﹣1＜2，得：x＜3，
∴不等式组的解集为2＜x＜3．
17．（5分）如图，在△ABC中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，证明：△ABD≌△ACD．
【解答】证明：∵∠3＝∠4，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS）．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
18．（7分）先化简：，再从﹣1，0，1中选择一个合适的数作为x的值代入求值．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝•
＝，
∵x取﹣1，0时，原式无意义，
∴当x＝1时，原式＝＝﹣2．
19．（7分）在九年级学生中随机抽取了若干名学生参加“平均每天体育运动时间”的调查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．
频数分布表
请根据图表中的信息解答下列问题：
（1）频数分布表中的a＝ 14 ，b＝ 0.15 ，n＝ 40 ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若该校九年级共有600名学生，试估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于120min的学生人数．
【解答】解：（1）由题意可知，n＝4÷0.1＝40，
∴a＝40×0.35＝14，b＝6÷40＝0.15，
故答案为：14；0.15；40；
（2）补全频数分布直方图如下：
（3）600×＝225（名），
答：估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于120min的学生人数为225名．
20．（7分）已知反比例函数图象经过A（1，1）．
（1）求反比例函数解析式；
（2）若点（2，y1），（4，y2）是反比例函数图象上两点，试比较y1，y2大小．
【解答】解：（1）将点A（1，1）代入y＝，得k＝1，
∴反比例函数解析式为：y＝，
（2）∵点（2，y1），（4，y2）是反比例函数图象上两点，
∴当x＝2时，y1＝，当x＝4时，y2＝，
∴y1＞y2．
五、解答题（三）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）如图：在菱形ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使EF＝BC，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若BF＝8，DF＝4，求CD的长．
【解答】（1）证明：∵在菱形ABCD中，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：设BC＝CD＝x，则CF＝8﹣x
在Rt△DCF中，DC2＝CF2+DF2，
∵x2＝（8﹣x）2+42，
∴x＝5，
∴CD＝5．
22．（8分）某文具店王老板用240元购进一批笔记本，很快售完；王老板又用600元购进第二批笔记本，所购本数是第一批的2倍，但进价比第一批每本多了2元．
（1）第一批笔记本每本进价多少元？
（2）王老板以每本12元的价格销售第二批笔记本，售出60%后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批笔记本的销售总利润不少于48元，剩余的笔记本每本售价最低打几折？
【解答】解：（1）设第一批笔记本每本进价为x元，则第二批每本进价为（x+2）元，
由题意得：，
解之得：x＝8，
经检验，x＝8为原方程的解，
答：第一批笔记本每本进价为8元．
（2）第二批笔记本有：＝60（本），
设剩余的笔记本每本打y折，
由题意得：，
解得：y≥7.5，
答：剩余的笔记本每本最低打七五折．
23．（8分）如图，△ABC中，AB＝BC＝5cm，AC＝8cm，点P从顶点B出发，沿B→C→A以每秒1cm的速度匀速运动到A点，设运动时间为x秒，BP长度为ycm，某学习小组对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是他们的探究过程，请补充完整
（1）通过取点，画图，测量，得到了x（秒）与y（cm）的几组对应值：
要求：补全表格中相关数值（保留一位小数）
（2）在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当x约为 8.0或2.5 时，BP＝CP．
【解答】解：（1）当x＝5时，点P与点C重合，故y＝BP＝BC＝5，
当x＝10时，如图所示：
过点P作PH⊥AC于点H，
在Rt△BCH中，BC＝5，CH＝AC＝4，则BH＝3，则PH＝PC﹣CH＝5﹣4＝1，
在Rt△BHP中，y＝BP＝＝≈3.2，
注：也可通过表格数据的对称性，确定此时，y＝3.2；
故答案为：5.0；3.2；
（2）描点绘出如下函数图象：
（3）PC＝x﹣5，而BP＝CP，即y＝x﹣5，
画出函数y＝x﹣5的图象与原图象的交点即为所求，
从图象看，x约为8.0，
此外，当P在线段BC中点时，即x＝2.5，
故答案为8.0或2.5．
六、解答题（四）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）已知：如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，过点C的切线交DA的延长线于点E，DE⊥CE，连接CD，BC．
（1）求证：∠DAB＝2∠ABC；
（2）若tan∠ADC＝，BC＝8，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE＝90°，
∵DE⊥CE，
∴∠E＝90°，
∴∠OCE+∠E＝180°，
∴OC∥DE，
∴∠DAB＝∠AOC，
∵∠AOC＝2∠ABC，
∴∠DAB＝2∠ABC；
（2）解：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴tan∠ABC＝tan∠ADC＝，
∴，
∵BC＝8，
∴AC＝4，
∴AB＝4，
∴⊙O的半径为2．
25．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线BC上方抛物线上取一点P，过点P作PQ⊥x轴交BC边于点Q，求PQ的最大值；
（3）在直线BC上方抛物线上取一点D，连接OD，CD．OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标．
【解答】解：（1）把点A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+3中可得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为：y＝kx+m，
把B（3，0），C（0，3）代入y＝kx+m中可得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，
过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，
设P点坐标为（x，﹣x2+2x+3），
则Q点坐标为（x，﹣x+3），
∴PQ＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）
＝﹣x2+2x+3+x﹣3
＝﹣x2+3x
＝﹣（x﹣）2+，
∴PQ的最大值是；
（3）∵S△COF：S△CDF＝3：2，
∴OF：DF＝3：2，
过点D作DG∥y轴交BC于点G，
∴∠OCF＝∠CGD，∠COF＝∠ODG，
∴△COF∽△GDF，
∴＝，
∵OC＝3，
∴DG＝2，
设点D坐标为（m，﹣m2+2m+3），则点G坐标为（m，﹣m+3），
∴DG＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）
＝﹣m2+3m，
∴﹣m2+3m＝2，
解得：m1＝1，m2＝2，
∴点D的坐标为（1，4）或（2，3）．运动时间t/min
频数
频率
30≤t＜60
4
0.1
60≤t＜90
7
0.175
90≤t＜120
a
0.35
120≤t＜150
9
0.225
150≤t＜180
6
b
合计
n
1
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
y
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0

4.2
3.6
3.2
3.0

3.6
4.2
5.0
运动时间t/min
频数
频率
30≤t＜60
4
0.1
60≤t＜90
7
0.175
90≤t＜120
a
0.35
120≤t＜150
9
0.225
150≤t＜180
6
b
合计
n
1
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
y
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
4.2
3.6
3.2
3.0
3.2
3.6
4.2
5.0