浙江省宁波市兴宁中学 2023-2024学年下学期八年级期末考试数学试卷

这是一份浙江省宁波市兴宁中学 2023-2024学年下学期八年级期末考试数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每题3分）
1．在同一平面直角坐标系中，一次函数 y=ax+b 与二次函数 y=ax2+bx 的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
2．在同一副扑克牌中抽取3张“方块”，4张“梅花”，5张“红桃”，将这12张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“方块”的概率为（ ）
A．14B．13C．512D．23
3．若二次函数y＝ax2﹣4ax＋c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣4ax＋c＝0的解为（ ）
A．x1＝﹣1，x2＝﹣5B．x1＝5，x2＝1
C．x1＝﹣1，x2＝5D．x1＝1，x2＝﹣5
4．已知⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为4，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．无法确定
5．将二次函数y=x2-1的图象向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度得到的二次函数解析式是（ ）
A．y=(x-2)2-6B．y=(x-2)2+4
C．y=(x+2)2+4D．y=(x+2)2-6
6．若A(0，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)为二次函数y=(x-2)2+m图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y17．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF交CD于点M．若BE＝DF＝1，则DM的长度为（ ）
A．2B．5C．6D．125
8．如图，在Rt△ABO中，AB=OB，顶点A的坐标为2,0，以AB为边向△ABO的外侧作正方形ABCD，将组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，则第2024次旋转结束时，点D的坐标为（ ）
A．1,-3B．-1,3C．-1,2+2D．3,1
9．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：
①abc>0；②a+b+c=2；③a>12；④b<1.
其中正确的结论是（ ）.
A．①②B．②③C．②④D．③④
10．如图，在△ABC中，∠BAC=108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'．若点B'恰好落在BC边上，且AB=CB'，则∠C'的度数为（ ）
A．18°B．20°C．24°D．28°
二、填空题（每题4分）
11．如图，假设可以随意在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是 ．
12．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为点E，CD=8cm，AB=10cm，则AE= ．
13．一座抛物线形拱桥如图所示，桥下水面宽度为4m时，拱顶距离水面是2m，当水位下降1m后，水面的宽度为 m．（结果保留根号）
14．如图，抛物线y=-87x2+247x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，P为抛物线对称轴上动点，则PA+PC取最小值时，点P坐标是 ．
15．如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1=k1xx>0及y2=k2xx>0的图象分别交于A，B两点，连结OA，OB，已知△AOB的面积为6，则k1-k2= ．
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2-3x与x轴的正半轴交于点E.矩形ABCD的边AB在线段OE上，点C、D在抛物线上，则矩形ABCD周长的最大值为 .
三、作图题(第 17, 18, 19 题各 8 分, 第 20,题 10 分, 第 21，22，23 题 12分, 共 80 分, 解答应写出证明过程或演算步骤)
17．定义：在边长为1的小正方形方格纸中，把顶点落在方格交点上的线段、三角形、四边形分别称为格点线段、格点三角形、格点四边形，在5×5的正方形网格中，若每一个小正方形的边长均为1，请仅用无刻度直尺按要求画图．
（1）在图①中画一个以AB为边画一个格点正方形ABCD；
（2）在图②中画一个格点平行四边形AEBF，使平行四边形面积为6；
（3）在图③中画一个格点菱形AMBN，AMBN不是正方形．
（提示：请画在答题卷相对应的图上）
18．如图，已知二次函数y=ax2+2x+c图象经过点A(-1，0)和点C(0，3)
（1）求该二次函数的解析式
（2）结合函数图象，直接写出：当-119．如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC、OC、BC．
（1）求证：∠ACO=∠BCD；
（2）若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的半径．
20．麦积山石窟是世界文化遗产，国家5A级旅游景区，中国四大石窟之一．在中国西北旅游营销大会旅游装备展上，商家按标价销售某种工艺品时，每件可获利50元，按标价的九折销售该工艺品10件与将标价降低30元销售该工艺品15件所获得利润相等．
（1）该工艺品每件的进价、标价分别为多少元？
（2）若每件工艺品按此进价进货，标价销售．商家每天可卖该工艺品120件，若每件工艺品降价1元，则每天可以多卖该工艺品4件．问：每件工艺品降价多少元销售，每天获得的利润最大？获得的最大利润为多少元？
21．如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y=mx的图象交于点A（﹣3，n），B（2，3）．
（1）求反比例函数与一次函数的函数表达式；
（2）连接OA，OB，求△OAB的面积；
（3）请结合图象直接写出不等式kx+b22．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0，3)，点A在原点的左侧，点B的坐标为(3，0)，点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，△BPC的面积最大？请求出点P的坐标和△BPC面积的最大值．
（3）连接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP'C，那么是否存在点P，使四边形POP'C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图，抛物线y=ax2-2ax-1与y轴交于点C．已知抛物线顶点纵坐标为-2．点P在此拋物线上，其坐标为(m，n)．
（1）求抛物线的解析式．
（2）当-1≤m≤2时，结合图象，直接写出n的取值范围．
（3）若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）恰有三个点到x轴的距离为1．
①求m的取值范围．
②以PC为边作等腰直角三角形PCQ，当点Q在此抛物线的对称轴上时，直接写出点P的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，矛盾，故本选项不符合题意；
B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，矛盾，故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，矛盾，故本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据抛物线和直线的性质：
抛物线的性质，a＞0开口向上，a＜0开口向下，对称轴为x=-ba，而直线上升时a＞0，直线下降时a＜0，直线与y轴的交点纵坐标为b的值，逐一进行对比判断即可。
2．【答案】A
【解析】【解答】解：一共有12种等可能的结果，从中任意抽取1张，是“方块”的有3种，
∴从中任意抽取1张，是“方块”的概率为312=14.
故答案为：A.
【分析】利用方块的张数除以总张数即得结论.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：抛物线的对称轴为直线x=--4a2a=2，
∴点（-1，0）关于直线x=2的对称点的坐标为（5，0），
即二次函数y=ax2-4ax+c的图象与x轴的两个交点坐标为（-1，0），（5，0），
∴方程ax2-4ax+c=0的解为x1=-1，x2=5．
故答案为：C.
【分析】根据抛物线的解析式可得对称轴为直线x=2，根据对称性可得抛物线与x轴的另一个交点坐标为（5，0），然后根据二次函数图象与坐标轴的交点的横坐标即为对应的一元二次方程的解进行解答.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径分别是3，点P到圆心O的距离为4，
∴d＞r，
∴点P与⊙O的位置关系是：点在圆外．
故答案为：A．
【分析】根据点与圆的位置关系求解即可。
5．【答案】D
【解析】【解答】解：二次函数y=x2-1的图象向左平移2个单位长度后的解析式为y=(x+2)2-1，再将其向下平移5个单位长度后的解析式为y=(x+2)2-6，
故答案为：D.
【分析】根据函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。
6．【答案】B
【解析】【解答】解：∵二次函数y=(x-2)2+m的图象开口向上，对称轴为x=2，
∴x=2时，函数值最小，即y2最小，
∵x=0到对称轴的距离是2，x=3到对称轴的距离是1，
∴y1>y3，
∴y2故选： B．
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据“开口向上的二次函数，其自变量离对称轴的距离越大，函数值也越大”，又知
x=0到对称轴的距离是2，x=3到对称轴的距离是1，y1>y3，又知x=2时，函数值最小，即y2最小，即可进行判断．
7．【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADF＝90°，
∴在Rt△ABE和Rt△ADF中，
AB=AD∠ABE=∠ADFBE=DF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（SAS），
∴AE＝AF；
∵AM平分∠EAF，
∴∠EAM＝∠FAM，
∴在△AEM和△AFM中，
AE=AF∠EAM=FAMAM=AM，
∴△AEM≌△AFM（SAS），
∴EM＝FM；
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝4，∠BCD＝90°，
设DM＝x，则MC＝CD﹣DM＝4﹣x，CE＝BC﹣BE＝4﹣1＝3，EM＝FM＝FD+DM＝1+x，
在Rt△MCE中，根据勾股定理，得EM2＝MC2+CE2，即（1+x）2＝（4﹣x）2+32，
解得x＝125．
故选：D．
【分析】利用正方形的性质和BE=DF证明△ABE≌△ADF，求出AE=AF，结合角平分线的定义利用SAS证明△AEM和△AFM全等，从而求出EM=DC，最后设参数DM=x，利用勾股定理列关于x的方程，求出x的值即是求出DM的长度.
8．【答案】D
9．【答案】B
【解析】【解答】解：y=ax2+bx+c(a≠0)有下列结论：
①abc>0；
图象开口向上则a>0，
对称轴-10，
图象与y轴交于负半轴则c<0，
故abc<0，结论错误
②a+b+c=2；
当x=1时，y=ax2+bx+c=a×+12+b×+1+c=a+b+c，
结论正确
③a>12；
由①和②的结论a+b+c=2，
∵-1<-b2a∴b>2a
得a+2a+c>2∴a>2-c3，
∵c<0∴a>23∴a>12，
结论正确
④b<1.
当x=-1时，y=ax2+bx+c=a-b+c<0，
由②的结论a+b+c-a-b+c>2∴2b>2∴b>1，
结论错误
综上，其中正确的结论是②③
故答案为：B
【分析】根据一元二次函数的图象性质逐一判定；对于y=ax2+bx+ca≠0，当a>0，图象开口向上，函数的对称轴x=-b2a，图象与y轴的交点纵坐标即是c值，图示x=1时y=2、x=-1时y小于0，根据图象上点坐标的意义可以找到数量关系式。
10．【答案】C
11．【答案】49
【解析】【解答】设小正方形的边长为1，
∴大正方形的面积为9，阴影部分的面积=1×2×12×4=4，
∴P（这个点取在阴影部分）=49，
故答案为：49.
【分析】先求出大正方形的面积和阴影部分的面积，再利用几何概率公式求解即可.
12．【答案】2cm
【解析】【解答】∵AB=10cm，
∴OC=OA=12AB=5cm，
∵AB⊥CD，CD=8cm，
∴CE=ED=12CD=4cm，
设AE=xcm，则OE=（5-x）cm，
在Rt△COE中，CE2+OE2=OC2，
∴42+（5-x）2=52，
解得：x1=2，x2=8（舍），
∴AE=2cm，
故答案为：2cm.
【分析】设AE=xcm，则OE=（5-x）cm，再利用勾股定理可得42+（5-x）2=52，最后求出x的值即可.
13．【答案】26
【解析】【解答】解：建立直角坐标系，如图所示：
设抛物线解析式为y=ax2，
把(2,-2)代入得-2=4a，
解得a=-12，
∴抛物线解析式为y=-12x2，
把y=-3代入得x=±6，
∴水面的宽度是26米，
故答案为：26
【分析】先建立直角坐标系，进而运用待定系数法求出抛物线的解析式，从而代入y=-3即可求解。
14．【答案】(32，87)
【解析】【解答】解：如图所示：连接BC，交抛物线对称轴于点P，根据的对称性可知，此时PA+PC取得最小值，
令x=0，则y=2，
∴点C坐标为（0，2），
令y=0，则0=-87x2+247x+2，
解得：x1=72,x2=-12,
∴点B坐标为72，0，
设直线BC的表达式为y=kx+b，
将点C坐标（0，2），点B坐标72，0代入y=kx+b，
得：2=b0=72k+b，
解得：k=-47b=2，
∴直线BC的表达式为y=-47x+2，
∵抛物线的对称轴x=-b2a=32，
∴点P的横坐标为32，
把x=32代入y=-47x+2，
解得y=87，
∴点P的坐标为(32，87) .
故答案为：(32，87) .
【分析】先连接BC，交抛物线对称轴于点P，根据的对称性可知，此时PA+PC取得最小值，利用抛物线的表达式求出点B、点C的坐标，然后利用待定系数法求得直线BC的表达式，在利用抛物线的嘴唇再求出点P的横坐标，进而求得答案.
15．【答案】12
16．【答案】13
【解析】【解答】设点D的横坐标为m，则点D的纵坐标为12m2-3m，
∴AD=3m-12m2，
∵抛物线的对称轴是直线x=--32×12=3，
∴点C的横坐标为3-（m-3）=6-m，
∴CD=2m-6，
∴矩形ABCD的周长=23m-12m2+2m-6=-m2+10m-12=-（m-5）2+13，
∴当m=5时，矩形周长有最大值为13，
故答案为：13.
【分析】设点D的横坐标为m，则点D的纵坐标为12m2-3m，先求出矩形ABCD的周长为23m-12m2+2m-6=-m2+10m-12=-（m-5）2+13，再利用二次函数的最大值求解即可.
17．【答案】（1）解：画一个以AB为边画一个格点正方形ABCD，如图所示，
（2）解：画一个格点平行四边形AEBF．如图所示，
S▱AEBF=2×3=6.
（3）解：画一个格点菱形AMBN，AMBN不是正方形，如图所示，
【解析】【分析】根据正方形、平行四边形、菱形的性质分别作图即可.
18．【答案】（1）解：将点A和点C的坐标代入函数解析式，
得a-2+c=0c=3，
解得a=-1c=3，
二次函数的解析式为y=-x2+2x+3；
（2）解：抛物线的对称轴为x=1，
∵-1∴当x=1时，y取得最大值为：y=4，
当x=-1时，y=0，
当x=2时，y=3，
∴函数y的取值范围：0【解析】【分析】(1)根据待定系数法，把点A(-1，0)和点C(0，3)代入y=ax2+2x+c，可得a=-1，c=3，可得函数解析式；
（2）抛物线的对称轴为x=1，根据二次函数性质得当x=1时，y取得最大值为y=4，当x=-1时，y取得最小值为y=0，即可得解.
19．【答案】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，∠BCD与∠ACE互余，又∠ACE与∠CAE互余，
∴∠BCD=∠BAC．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∴∠ACO=∠BCD；
（2）解：设⊙O的半径为Rcm，则OE=OB-EB=(R-8)cm，
CE=12CD=12×24=12cm，
在Rt△CEO中，由勾股定理可得：
OC2=OE2+CE2，
即R2=(R-8)2+122，
解得R=13．
答：⊙O的半径为13cm．
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理和等角的余角相等定理，可找到 ∠BCD=∠BAC，再根据等边对等角，把 ∠BAC进行等量代换即可证得；也可以根据垂径定理可得BC⏜=BD⏜，然后根据圆周角定理得到相等的圆周角，再进行等量代换；
（2）设出半径，根据已知条件推出两条直角边的表达式，用勾股定理列出等式，求解即可。
20．【答案】（1）进价150元每件，标价200元每件
（2）每件工艺品降价10元销售，每天获得的利润最大，获得的最大利润为6400元
21．【答案】（1）解：∵B（2，3）在反比例函数y=mx的图象上．
∴3=m2，∴m＝6，y=6x．
∵又A（﹣3，n）在y=6x上，∴n＝﹣2，A（﹣3，﹣2）
将A（﹣3，﹣2），B（2，3）代入y＝kx＋b得：-5k+b=-22k+b=5 解之，得·（b＝1∴y＝x＋1．
（2）解：如图，设直线AB交x轴于点C，令y＝x＋1＝0，则x＝﹣1，∴C（﹣1，0），OC＝1．
∴s△AOB=s△AOC+s△BOC=12×1×2+12×1×3=52
（3）解：x＜﹣3或0＜x＜2
【解析】【解答】（3）根据函数图象可得：不等式kx+b故答案为：x＜﹣3或0＜x＜2.
【分析】（1）将点B的坐标代入反比例求出m的值，再求出点A的坐标，最后将点A、B的坐标代入y＝kx＋b求出k、b的值即可；
（2）先求出点C的坐标可得OC的长，再利用三角形的面积公式及割补法求出△AOB的面积即可；
（3）结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。
22．【答案】（1）解：将B(3，0)，C(0，3)代入y=-x2+bx+c，
得-9+3b+c=0c=3，解得b=2c=3，
∴二次函数的解析式为y=-x2+2x+3．
（2）解：如图，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，
设P(x，-x2+2x+3)，直线BC的解析式为y=mx+n，
则3m+n=0n=3，解得m=-1n=3，∴直线BC的解析式为y=-x+3，则Q(x，-x+3)，
∴S△CPB=S△BPQ+S△CPQ=12QP⋅OB=12(-x2+3x)×3=-32(x-32)2+278，
当x=32时，△CPB的面积最大，此时，点P的坐标为（32，154)，△CPB的面积的最大值为278．
（3）解：存在．
如图，设点P(x，-x2+2x+3)，PP'交CO于点E，
若四边形POP'C是菱形，则OP=PC，
连接PP'，则PE⊥OC，OE=CE=32，∴-x2+2x+3=32，
解得x1=2+102，x2=2-102（不合题意，舍去），∴P(2+102，32)
【解析】【分析】（1）根据题意代入点B和点C即可求解；
（2）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，进而设P(x，-x2+2x+3)，再运用待定系数法即可求出直线BC的函数解析式，从而根据三角形的面积结合二次函数的最值即可求解；
（3）设点P(x，-x2+2x+3)，PP'交CO于点E，进而根据菱形的性质得到OP=PC，连接PP'，则PE⊥OC，OE=CE=32，从而解一元二次方程即可求解。
23．【答案】（1）解：∵y=ax2-2ax-1=a(x-1)2-a-1，
∴抛物线的顶点坐标为(1，-a-1)，
∵抛物线顶点纵坐标为-2，
∴-a-1=-2，
∴a=1，
∴抛物线的解析式为：y=x2-2x-1；
（2）-2≤n≤2
（3）解：①当点P(m，n)到x轴的距离为1时，n=1或n=-1，
当n=1时，则m2-2m-1=1，
解得：m1=1-3，m2=1+3，
当n=-1时，则m2-2m-1=-1，
解得：m1=0，m2=2，
如图，点E(1-3，1)，F(1+3，1)，G(2，-1)，C(0，-1)到x轴的距离均为1，
，
∵抛物线在点P左侧部分（包括点P）恰有三个点到x轴的距离为1，
∴m的取值范围是2≤m<1+3；
②P1(2，-1)，P2(1+2，0)，P3(3+52，5-12)．
【解析】【解答】解：（2）∵点P在此拋物线上，其坐标为(m，n)，
∴n=m2-2m-1，
当m=-1时，n=(-1)2-2×(-1)-1=2，
当m=2时，n=22-2×2-1=-1，
由（1）得抛物线的顶点坐标为(1，-2)，
∴当点P与抛物线的顶点重合时，则n=-2，
∴当-1≤m≤2时，n的最大值和最小值分别为2和-2，
∴n的取值范围是-2≤n≤2；
（3）②由（1）得抛物线的对称轴为直线x=1，
在y=x2-2x-1中，当x=0时，y=-1，
∴C(0，-1)，
如图，作点C(0，-1)关于直线x=1的对称点P，则P(2，1)，设直线x=2交x轴于点Q，连接CQ、PQ，
，
∵∠COQ=90°，Q(1，0)，
∴OC=OQ=1，
∴PQ=CQ=12+12=2，
∵PC=2，
∴PQ2+CQ2=PC2，
∴△PCQ是等腰直角三角形，且点Q在抛物线的对称轴上，此时P(2，-1)；
如图，点P为抛物线与x轴的交点，作CQ⊥CP交直线x=1于点Q，连接PQ，作QR⊥y轴于R，
，
∵∠POC=∠CRQ=∠PCQ=90°，
∴∠OCP=∠CRQ=90°-∠RCQ，
∵OC=RQ=1，
∴△POC≌△CRQ(ASA)，
∴△PCQ是等腰直角三角形，
当n=0时，则m2-2m-1=0，
解得：m1=1+2，m2=1-2（不符合题意，舍去），
∴P(1+2，0)；
如图，等腰直角三角形PCQ，点Q在直线x=1上，且∠CPQ=90°，
，
∴PQ=PC，
作PH⊥x轴，CH⊥PH于点H，QL⊥PH于点L，
∵∠L=∠H=∠CPQ=90°，
∴∠PQL=∠CPH=90°-∠QPL，
∴△PQL≌△CPH(AAS)，
∴QL=PH，
∵P(m，m2-2m-1)，H(m，-1)，
∴PH=m2-2m-1-(-1)=m2-2m，
∴QL=m-1，
∴m-1=m2-2m，
解得：m1=3+52，m2=3-52（不符合题意，舍去），
∴P(3+52，5-12)，
综上所述，P1(2，-1)，P2(1+2，0)，P3(3+52，5-12)．
【分析】（1）先把一般式配方转化为顶点式，确定顶点坐标并建立方程求出a的值即可；
（2）根据抛物线上点的坐标特征可得n=m2-2m-1，当m=-1时，n=2，当m=2时，n=-1，由（1）得抛物线的顶点坐标为(1，-2)，当点P与抛物线的顶点重合时，则n=-2，由此求解即可；
（3）①当点P(m，n)到x轴的距离为1时，n=1或n=-1，分别求出n=1或n=-1时m的值，再结合图象求解即可；
②分三情况讨论：PC=PQ或PC=CQ或PQ=CQ。过三角形PCQ的顶点作坐标轴的平行行，构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等，结合点的坐标建立方程求解即可。