2023-2024学年浙江省宁波市海曙区兴宁中学八年级（下）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年浙江省宁波市海曙区兴宁中学八年级（下）期中数学试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，四象限D．第三，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列三星堆文物图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）反比例函数y＝（k为常数）的图象位于（ ）
A．第一、二象限B．第一、三象限
C．第二、四象限D．第三、四象限
3．（3分）若平行四边形中两个内角的度数比为1：3，则其中较小的内角是（ ）
A．135°B．60°C．120°D．45°
4．（3分）用反证法证明“若ab＝0，则a，b中至少有一个为0”时，第一步应假设（ ）
A．a＝0，b＝0B．a≠0，b≠0C．a≠0，b＝0D．a＝0，b≠0
5．（3分）如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为CD的中点．若OE＝2，则CD的长为（ ）
A．2B．4C．5D．6
6．（3分）小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（ ）
A．①②B．③④C．②③D．①④
7．（3分）一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t（h）与行驶速度v（km/h）满足函数关系：，其图象为如图所示的一段曲线，且端点为A（40，1）和B（m，0.5），若行驶速度不得超过60（km/h），则汽车通过该路段最少需要时间为（ ）
A．分B．40分C．60分D．分
8．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是边AB上一点，且OE⊥AC．设∠AOD＝α，∠AEO＝β，则α与β间的关系正确的是（ ）
A．α＝βB．α+β＝180°C．2α+β＝180°D．α+2β＝180°
9．（3分）已知点A（x1，y1）B（x2，y2），C（x3，y3）在反比例函数的图象上，x1＜x2＜x3，则下列结论一定成立的是（ ）
A．若x1x3＜0，则y2＜y3B．若x2x3＜0，则y1y3＞0
C．若x1x3＞0，则y2＞y3D．若x2x3＞0，则y1y3＞0
10．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE与正方形BCFG，H为EG的中点，连结DH，FH．记△FGH的面积为S1，△CDH的面积为S2，若要求出S1﹣S2的值，只需已知哪条线段的长（ ）
A．ABB．ACC．BCD．EG
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）若n边形的内角和等于外角和，则n＝ ．
12．（4分）若菱形的两条对角线长分别是8和6，则菱形的面积是 ．
13．（4分）如图，已知点P是正方形ABCD对角线BD上一点，且AP＝3，PF⊥CD于点F，PE⊥BC于点E，连结EF，则EF的长为 ．
14．（4分）如图，在▱ABCD中，DF平分∠ADC交AB于点E，交CB的延长线于点F，AD＝5，CD＝12，则BF的长为 ．
15．（4分）如图，反比例函数y＝（x＞0）与一次函数y＝x﹣2的图象交于点P（a，b），则的值为 ．
16．（4分）如图，点A在反比例函数y＝（x＜0，k1＜0）的图象上，点B，C在反比例函数y＝（x＞0，k2＞0）的图象上，AB∥x轴，CD⊥x轴于点D，交AB于点E．当△ABC与△DBC的面积之差为6且时，k1的值为 四边形ADBC的面积为 ．（用含k2的代数式表示）
三、解答题（本大题有8小题，共66分）
17．（6分）如图，在5×5方格纸中，点A，B都在小方格的顶点上，按要求画一个四边形ABCD，使它的顶点都在方格的顶点上．
（1）在图1中所画的四边形ABCD是中心对称图形，但不是轴对称图形；
（2）在图2中所画的四边形ABCD既是轴对称图形，又是中心对称图形．
18．（6分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD＝36，AB＝11，求△OCD的周长．
19．（6分）我们知道，正比例函数y＝2x的图象是一条经过第三象限、原点、第一象限的直线，从左向右上升，即y随着x的增大而增大．
上述结论是通过观察函数图象得到的，我们能不能从代数角度去证明该结论呢？
（1）补全证明过程
证明：设点A（x1，y1），B（x2，y2）在正比例函数y＝2x的图象上，且x1＜x2，
∴y1＝2x1，y2＝ ，
∴y1﹣y2＝2x1﹣2x2＝2（x1﹣x2），
∵x1＜x2，
∴x1﹣x2 0，
∴2（x1﹣x2） 0，即y1＜y2，
∴y＝2x随着x的增大而增大．
（2）仿照题（1）的证明过程，试从代数角度证明：当x＞0时，反比例函数随着x的增大而增大．
20．（8分）如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC的中点，某数学学习小组要在AC上找两点E，F，使四边形BEDF为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下：
请回答下列问题：
（1）选择其中一种你认为正确的方案进行证明；
（2）在（1）的基础上，若EF＝2AE，S△AED＝4，求▱ABCD的面积．
21．（8分）根据以下素材，探索完成任务．
22．（10分）已知正比例函数y1＝k1x（k1≠0）的图象与反比例函数y2＝（k2≠0）的图象交于A，B两点，其中点A的横坐标为2．
（1）求证：4k1＝k2．
（2）求点B的横坐标．
（3）当k2＞0时，对于实数m，当x＝m时，y1＜y2；当x＝m+1时，y1＞y2，直接写出m的取值范围．
23．（10分）若一个四边形有一组邻边相等，且这组邻边夹角所对的对角线平分一个内角，则称这样的四边形为“近似菱形”．例如：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，BD平分∠ABC，则四边形ABCD是近似菱形．
（1）请在图2中作出一个以BD为对角线的“近似菱形”ABCD，顶点A、顶点C要在网格格点上．
（2）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AC，AD∥BC，∠CAD＝2∠DBC．求证：四边形ABCD是“近似菱形”．
（3）在（2）的条件下，若BD＝3，CD＝1，求AB的长．
24．（12分）如图，已知矩形纸片ABCD，AB＝a，BC＝b（a＞b）．
（1）如图1，将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD边上的点A′处，折痕DE交边AB于点E．求证：四边形AEA′D是正方形．
（2）将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，使点C落在AD边上的点C′处，点B落在点B′处，折痕EF交边DC于点F，连结EC′，如图2．
①求证：AC′＝B′E．
②若a＝8，b＝6，求折痕EF的长．
③当△EFC′为等腰三角形时，直接写出a，b之间应满足的数量关系．
2023-2024学年浙江省宁波市海曙区兴宁中学八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（3分）下列三星堆文物图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．该图形既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
2．（3分）反比例函数y＝（k为常数）的图象位于（ ）
A．第一、二象限B．第一、三象限
C．第二、四象限D．第三、四象限
【分析】先根据一个数的平方为非负数的特点确定比例系数，再利用反比例函数的性质求解．
【解答】解：∵k2+1≥1＞0，
∴反比例函数y＝（k为常数）的图象位于第一、三象限．
故选：B．
3．（3分）若平行四边形中两个内角的度数比为1：3，则其中较小的内角是（ ）
A．135°B．60°C．120°D．45°
【分析】首先设平行四边形中两个内角分别为x°，3x°，由平行四边形的邻角互补，即可得x+3x＝180，继而求得答案．
【解答】解：设平行四边形中两个内角分别为x°，3x°，
则x+3x＝180，
解得：x＝45°，
∴其中较小的内角是45°．
故选：D．
4．（3分）用反证法证明“若ab＝0，则a，b中至少有一个为0”时，第一步应假设（ ）
A．a＝0，b＝0B．a≠0，b≠0C．a≠0，b＝0D．a＝0，b≠0
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行解答．
【解答】解：“若ab＝0，则a，b中至少有一个为0．”第一步应假设：a≠0，b≠0．
故选：B．
5．（3分）如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为CD的中点．若OE＝2，则CD的长为（ ）
A．2B．4C．5D．6
【分析】由菱形的性质可得出BO＝DO，AB＝BC＝CD＝AD，再根据中位线的性质可得BC＝2OE＝4，即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴BO＝DO，AB＝BC＝CD＝AD，
∵OE＝2，且点E为CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴BC＝2OE＝4．
∴CD＝BC＝4．
故选：B．
6．（3分）小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（ ）
A．①②B．③④C．②③D．①④
【分析】确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题．
【解答】解：∵只有③④两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，
∴带③④两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．
故选：B．
7．（3分）一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t（h）与行驶速度v（km/h）满足函数关系：，其图象为如图所示的一段曲线，且端点为A（40，1）和B（m，0.5），若行驶速度不得超过60（km/h），则汽车通过该路段最少需要时间为（ ）
A．分B．40分C．60分D．分
【分析】把点A（40，1）代入t＝，求得k的值，再把点B代入求出的解析式中，求得m的值，然后把v＝60代入t＝，求出t的值即可．
【解答】解：由题意得，函数经过点（40，1），
把（40，1）代入t＝，得k＝40，
则解析式为t＝，再把（m，0.5）代入t＝，得m＝80；
把v＝60代入t＝，得t＝，
小时＝40分钟，
则汽车通过该路段最少需要40分钟；
故选：B．
8．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是边AB上一点，且OE⊥AC．设∠AOD＝α，∠AEO＝β，则α与β间的关系正确的是（ ）
A．α＝βB．α+β＝180°C．2α+β＝180°D．α+2β＝180°
【分析】根据矩形的性质可得OA＝OD，根据等腰三角形底角相等和直角三角形两个锐角互余可得（180°﹣α）＝β，进而可得结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠AOD＝α，
∴∠OAD＝（180°﹣α），
∵OE⊥AC，
∴∠AOE＝90°，
∵∠AEO＝β，∠DAE＝90°，
∴∠OAD＝∠AEO，
∴（180°﹣α）＝β，
∴α+2β＝180°．
故选：D．
9．（3分）已知点A（x1，y1）B（x2，y2），C（x3，y3）在反比例函数的图象上，x1＜x2＜x3，则下列结论一定成立的是（ ）
A．若x1x3＜0，则y2＜y3B．若x2x3＜0，则y1y3＞0
C．若x1x3＞0，则y2＞y3D．若x2x3＞0，则y1y3＞0
【分析】由x1＜x2＜x3，根据反比例函数的图象上点的坐标特征即可判断．
【解答】解：∵k＞0，
∴反比例函数的图象在一、三象限，
∵x1＜x2＜x3，
A、若x1x3＜0，则点A（x1，y1）在第三象限，C（x3，y3）在第一象限，
∴当点B在第三象限时，y2＜y3，当点B在第一象限时，y2＞y3，故A不一定成立；
B、若x2x3＜0，则x1＜x2＜0，x3＞0，
∴点A（x1，y1）在第三象限，C（x3，y3）在第一象限，
∴y1y3＜0，故B一定不成立；
C、若x1x3＞0，则点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在同一象限，
∴y2＞y3，故C一定成立；
D、若x2x3＞0，则点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在同一象限或B（x2，y2），C（x3，y3）在第一象限，点A（x1，y1）在第三象限，
∴y1y3＞0或y1y3＜0，故D不一定成立；
故选：C．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE与正方形BCFG，H为EG的中点，连结DH，FH．记△FGH的面积为S1，△CDH的面积为S2，若要求出S1﹣S2的值，只需已知哪条线段的长（ ）
A．ABB．ACC．BCD．EG
【分析】设正方形AEDC的边长为a，正方形BCFG的边长为b，连接AD交EG于点O，连接BF交EG于点M．根据正方形的性质可得用a和b表示S1和S2的底边长和高，进而表示出S1和S2的面积，相减后整理，根据勾股定理可得需要知道哪条线段的长．
【解答】解：连接AD交EG于点O，连接BF交EG于点M．
∵四边形AEDC和四边形BCFG是正方形，
∴AD⊥EC，BF⊥CG．
设正方形AEDC的边长为a，正方形BCFG的边长为b，
∴CE＝a，CG＝b．
∴OD＝a，FM＝b，EG＝（a+b）．
∵H为EG的中点，
∴EH＝HG＝（a+b）．
∴CH＝EH﹣EC＝（b﹣a）．
∵S1＝HG•FM＝×（a+b）×b＝（ab+b2），
S2＝CH•OD＝×（b﹣a）×a＝（ab﹣a2）．
∴S1﹣S2＝（b2+a2）．
∵∠ACB＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2．
∴a2+b2＝AB2．
∴S1﹣S2＝AB2．
∴需要知道线段AB的长．
故选：A．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）若n边形的内角和等于外角和，则n＝ 4 ．
【分析】根据多边形的内角和公式、外角和，可得答案．
【解答】解：由n边形的内角和等于外角和，得
（n﹣2）180°＝360°，
解得n＝4，
故答案为：4．
12．（4分）若菱形的两条对角线长分别是8和6，则菱形的面积是 24 ．
【分析】如图，AC＝8，BD＝6，根据菱形的面积公式求解．
【解答】解：如图，AC＝8，BD＝6，
∵四边形ABCD为菱形，
∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×8×6＝24．
故答案为：24．
13．（4分）如图，已知点P是正方形ABCD对角线BD上一点，且AP＝3，PF⊥CD于点F，PE⊥BC于点E，连结EF，则EF的长为 3 ．
【分析】连接PC，证四边形PFCE是矩形，求出EF＝PC，证△ABP≌△CBP，推出AP＝PC即可
【解答】解：连接PC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABD＝∠CBD＝45°，∠BCD＝90°，
在△ABP与△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA＝PC，
∵PE⊥CD，PF⊥BC，
∴∠PFC＝90°，∠PEC＝90°．
又∵∠BCD＝90°，
∴四边形PFCE是矩形，
∴EF＝PC，
∴PA＝EF＝3，
故答案为：3．
14．（4分）如图，在▱ABCD中，DF平分∠ADC交AB于点E，交CB的延长线于点F，AD＝5，CD＝12，则BF的长为 7 ．
【分析】由平行四边形的性质和等腰三角形的判定证出CF＝CD＝12，即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BC＝AD＝5，
∴∠F＝∠ADE，
∵∠ADC平分线为DE，
∴∠ADE＝∠CDF，
∴∠F＝∠CDF，
∴CF＝CD＝12，
∴BF＝CF﹣BC＝12﹣5＝7．
故答案为：7．
15．（4分）如图，反比例函数y＝（x＞0）与一次函数y＝x﹣2的图象交于点P（a，b），则的值为 ．
【分析】由点P（a，b）为反比例函数y＝（x＞0）与一次函数y＝x﹣2的交点，可得出ab＝6、a﹣b＝2，将其代入变形后的代数式中即可求出结论．
【解答】解：∵反比例函数y＝（x＞0）与一次函数y＝x﹣2的图象交于点P（a，b），
∴b＝，b＝a﹣2，
∴ab＝6，a﹣b＝2，
∴＝＝﹣＝﹣＝﹣．
故答案为﹣．
16．（4分）如图，点A在反比例函数y＝（x＜0，k1＜0）的图象上，点B，C在反比例函数y＝（x＞0，k2＞0）的图象上，AB∥x轴，CD⊥x轴于点D，交AB于点E．当△ABC与△DBC的面积之差为6且时，k1的值为 ﹣18 四边形ADBC的面积为 ．（用含k2的代数式表示）
【分析】根据，设CE＝2a，DE＝3a，则CD＝5a，进而得点C，点B，点A，则AB＝，BE＝，S△ABC＝AC•CE＝，S△BCD＝CD•BE＝，再根据△ABC与△DBC的面积之差为6得，由此可解出k1；连接AD，则S四边形ADBC＝S△ABC+S△ABD＝AB•CD，将AB＝，CD＝5a代入即可得出答案．
【解答】解：∵，
∴设CE＝2a，DE＝3a，则CD＝CE+DE＝5a，
∵AB∥x轴，CD⊥x轴于点D，交AB于点E，
∴点C的纵坐标为5a，点B的纵坐标为3a，
∵点B，C在反比例函数y＝的图象上，
∴点C，点B，
又∵A的纵坐标为3a，点A在反比例函数y＝的图象上，
∴点A，
∴AB＝，BE＝，
∴S△ABC＝AC•CE＝＝，S△BCD＝CD•BE＝＝，
又∵△ABC与△DBC的面积之差为6，
∴，
解得：k1＝﹣18；
连接AD，如下图所示：

∴AB＝，
∴S四边形ADBC＝S△ABC+S△ABD
＝AB•CE+AB•DE
＝AB（CE+DE）
＝AB•CD
＝
＝．
故答案为：﹣18；．
三、解答题（本大题有8小题，共66分）
17．（6分）如图，在5×5方格纸中，点A，B都在小方格的顶点上，按要求画一个四边形ABCD，使它的顶点都在方格的顶点上．
（1）在图1中所画的四边形ABCD是中心对称图形，但不是轴对称图形；
（2）在图2中所画的四边形ABCD既是轴对称图形，又是中心对称图形．
【分析】（1）利用平行四边形的性质画出符合题意的图形即可；
（2）利用正方形的性质画出符合题意的图形即可．
【解答】解：（1）图1中所画的四边形ABCD是中心对称图形，但不是轴对称图形；
（2）图2中所画的四边形ABCD既是轴对称图形，又是中心对称图形．
18．（6分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD＝36，AB＝11，求△OCD的周长．
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分可得出OC+OD＝（AC+BD），再由平行四边形的对边相等可得AB＝CD＝11，继而代入可求出△OCD的周长．
【解答】解：∵ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝11，
∴OC+OD＝（AC+BD）＝18，
∴△OCD的周长＝OC+OD+CD＝18+11＝29．
19．（6分）我们知道，正比例函数y＝2x的图象是一条经过第三象限、原点、第一象限的直线，从左向右上升，即y随着x的增大而增大．
上述结论是通过观察函数图象得到的，我们能不能从代数角度去证明该结论呢？
（1）补全证明过程
证明：设点A（x1，y1），B（x2，y2）在正比例函数y＝2x的图象上，且x1＜x2，
∴y1＝2x1，y2＝ 2x2 ，
∴y1﹣y2＝2x1﹣2x2＝2（x1﹣x2），
∵x1＜x2，
∴x1﹣x2 ＜ 0，
∴2（x1﹣x2） ＜ 0，即y1＜y2，
∴y＝2x随着x的增大而增大．
（2）仿照题（1）的证明过程，试从代数角度证明：当x＞0时，反比例函数随着x的增大而增大．
【分析】（1）根据题意写出证明过程即可得出答案；
（2）根据（1）中的证明方法进行证明即可．
【解答】证明：（1）设点A（x1，y1），B（x2，y2）在正比例函数y＝2x的图象上，且x1＜x2，
∴y1＝2x1，y2＝2x2，
∴y1﹣y2＝2x1﹣2x2＝2（x1﹣x2），
∵x1＜x2，
∴x1﹣x2＜0，
∴2（x1﹣x2）＜0，即y1＜y2，
∴y＝2x随着x的增大而增大；
故答案为：2x2，＜，＜；
（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数的图象上，且0＜x1＜x2，
∴，，
∴，
∵0＜x1＜x2，
∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0，
∴，即y1＜y2，
∴当x＞0时，反比例函数随着x的增大而增大．
20．（8分）如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC的中点，某数学学习小组要在AC上找两点E，F，使四边形BEDF为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下：
请回答下列问题：
（1）选择其中一种你认为正确的方案进行证明；
（2）在（1）的基础上，若EF＝2AE，S△AED＝4，求▱ABCD的面积．
【分析】（1）甲方案，由平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，则∠BAE＝∠DCF，由AO＝CO，E、F分别是AO、CO的中点，得AE＝CF，可证明△ABE≌△CDF，得BE＝DF，∠AEB＝∠CFD，所以∠BEF＝∠DFE，则BE∥DF，即可证明四边形BEDF是平行四边形；
乙方案，由BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，得BE∥DF，∠AEB＝∠CFD＝90°，由平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，则∠BAE＝∠DCF，可证明△ABE≌△CDF，得BE＝DF，即可证明四边形BEDF是平行四边形；
（2）由AO＝CO，AE＝CF，推导出OE＝OF，则EF＝2AE＝2OE，所以OE＝AE＝CF＝OF，则S△ABC＝S△ADC＝4S△AED＝24，所以S▱ABCD＝48．
【解答】解：（1）甲方案，证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵O是对角线AC的中点，
∴AO＝CO，
∵E、F分别是AO、CO的中点，
∴AE＝AO，CF＝CO，
∴AE＝CF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴BE＝DF，∠AEB＝∠CFD，
∵∠BEF＝180°﹣∠AEB，∠DFE＝180°﹣∠CFD，
∴∠BEF＝∠DFE，
∴BE∥DF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
故甲方案正确；
乙方案，证明：∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，
∴BE∥DF，∠AEB＝∠CFD＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
故乙方案正确；
（2）解：由（1）得△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF，
∴AO﹣AE＝CO﹣CF，
∴OE＝OF，
∴EF＝2OE，
∵EF＝2AE，
∴2OE＝2AE，
∴OE＝AE＝CF＝OF，
∴S△ABC＝S△ADC＝4S△AED＝4×4＝16，
∴S▱ABCD＝2×16＝32，
∴▱ABCD的面积是32．
21．（8分）根据以下素材，探索完成任务．
【分析】任务1：根据左盘砝码重量×OA＝右盘物体重量×OP，把相关数值代入后整理可得y与x的关系式，根据OP也就是x的取值范围可得y的取值范围；
任务2：设空瓶的质量为a g，两次加水的质量均为b g，根据左盘砝码重量×OA＝右盘物体重量×OP列出二元一次方程组求解即可得到空瓶的质量．
【解答】解：任务1：∵左盘砝码重量×OA＝右盘物体重量×OP，右侧托盘放置y（g）物体，OP长x（cm），砝码的质量是100g，OA＝12cm，
∴100×12＝xy．
∴y＝，
∵OC＝12cm，BC＝28cm，
∴OB＝40cm．
∵点P可以在横梁BC段滑动，
∴12≤OP≤40．
即12≤x≤40．
∴30≤y≤100．
答：y关于x的函数表达式为：y＝（30≤y≤100）；
任务2：设空瓶的重量为a g，两次加水的重量均为b g，根据题意，得：
，
解得，
答：这个空矿泉水瓶的重量为10g．
22．（10分）已知正比例函数y1＝k1x（k1≠0）的图象与反比例函数y2＝（k2≠0）的图象交于A，B两点，其中点A的横坐标为2．
（1）求证：4k1＝k2．
（2）求点B的横坐标．
（3）当k2＞0时，对于实数m，当x＝m时，y1＜y2；当x＝m+1时，y1＞y2，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）把交点A的横坐标分别代入正比例函数、反比例函数的解析式得到2k1＝，变形得到4k1＝k2．
（2）根据正比例函数、反比例函数的中心对称性即可求得；
（3）根据正比例函数、反比例函数的性质借助图象即可得到关于m的不等式组，解不等式组即可求得．
【解答】（1）证明：正比例函数y1＝k1x（k1≠0）的图象与反比例函数y2＝（k2≠0）的图象交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，
∴y1＝2k1，y2＝，
∵y1＝y2，
∴2k1＝，
∴4k1＝k2．
（2）解：∵正比例函数y1＝k1x（k1≠0）的图象与反比例函数y2＝（k2≠0）的图象交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，
∴点B的横坐标为﹣2；
（3）解：∵点A的横坐标为2，点B的横坐标为﹣2，
∴当k2＞0时，对于实数m，当x＝m时，y1＜y2；当x＝m+1时，y1＞y2，m的取值范围是或，
解得﹣3＜m＜﹣2或1＜m＜2．
23．（10分）若一个四边形有一组邻边相等，且这组邻边夹角所对的对角线平分一个内角，则称这样的四边形为“近似菱形”．例如：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，BD平分∠ABC，则四边形ABCD是近似菱形．
（1）请在图2中作出一个以BD为对角线的“近似菱形”ABCD，顶点A、顶点C要在网格格点上．
（2）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AC，AD∥BC，∠CAD＝2∠DBC．求证：四边形ABCD是“近似菱形”．
（3）在（2）的条件下，若BD＝3，CD＝1，求AB的长．
【分析】（1）以AB＝AD作图，则点A在BD的垂直平分线上，设点A在BD上方第三个网格格点上，则点C在点B下方第一个网格对角线上，答案不唯一；
（2）由AB＝AC得∠ABC＝∠ACB，由平行线的性质得∠ADB＝∠DBC，∠CAD＝∠ACB，推出∠CAD＝∠ABC＝2∠DBC，得出∠ABD＝∠DBC，则BD平分∠ABC，∠ABD＝∠ADB，得出AB＝AD，即可得出结论；
（3）过点D作DE∥AB，交BC于E，连接AE，交BD于O，证平行四边形ABED是菱形，得出AE⊥BD，OB＝BD＝，OA＝AE，DE＝AB，再由SAS证得△DEC≌△ACE，得出AE＝CD＝1，则OA＝，然后由勾股定理即可得出结果．
【解答】（1）解：∵以BD为对角线的“近似菱形”ABCD，
∴AB＝AD或BC＝CD，
以AB＝AD例作图，则点A在BD的垂直平分线上，
设点A在BD上方第三个网格格点上，
则点C在点B下方第一个网格对角线上，
如图2所示，答案不唯一；
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，∠CAD＝∠ACB，
∴∠CAD＝∠ABC＝2∠DBC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴BD平分∠ABC，∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是“近似菱形”；
（3）解：过点D作DE∥AB，交BC于E，连接AE，交BD于O，如图3所示：
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形，
∵AB＝AD，
∴平行四边形ABED是菱形，
∴AE⊥BD，OB＝BD＝，OA＝AE，DE＝AB，
∵AB＝AC，
∴DE＝AC，
∵DE∥AB，
∴∠DEC＝∠ABC，
∵∠ABC＝∠ACB，
∴∠DEC＝∠ACE，
在△DEC和△ACE中，
，
∴△DEC≌△ACE（SAS），
∴AE＝CD＝1，
∴OA＝，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝＝．
24．（12分）如图，已知矩形纸片ABCD，AB＝a，BC＝b（a＞b）．
（1）如图1，将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD边上的点A′处，折痕DE交边AB于点E．求证：四边形AEA′D是正方形．
（2）将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，使点C落在AD边上的点C′处，点B落在点B′处，折痕EF交边DC于点F，连结EC′，如图2．
①求证：AC′＝B′E．
②若a＝8，b＝6，求折痕EF的长．
③当△EFC′为等腰三角形时，直接写出a，b之间应满足的数量关系．
【分析】（1）由折叠性质得AD＝AD′，AE＝A′E，∠ADE＝∠A′DE，再根据平行线的性质和等腰三角形的判定得到四边形AEA′D是菱形，进而结合内角为直角条件得四边形AEA′D为正方形；
（2）①连接C′E，证明Rt△EC′A≌Rt△C′EB′，得∠C′EA＝∠EC′B′，便可得结论；
②如图2﹣2，过点E作EM⊥CD于点D，根据矩形的性质和勾股定理即可求出折痕EF的长；
③当△EFC′为等腰三角形时，分三种情况讨论：I、当EC′＝EF时，过点E作EM⊥CD于点M，连接EC，Ⅱ、当EC′＝C′F时，Ⅲ、方法一：当EF＝C′F时，连接CC′，交EF于点O，如图2﹣3所示：依次进行解答即可．方法二：当点M与点F重合时，点C与点C′重合，当△EFC′为等腰三角形时，根据翻折的性质得四边形AEFD，EFCB是正方形，进而可以解决问题．
【解答】（1）证明：∵ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝90°，
∵将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，
∴AD＝A′D，AE＝A′E，∠ADE＝∠A′DE＝45°，
∵AB∥CD，
∴∠AED＝∠A′DE＝∠ADE，
∴AD＝AE，
∴AD＝AE＝A′E＝A′D，
∴四边形AEA′D是菱形，
∵∠A＝90°，
∴四边形AEA′D是正方形；
（2）①证明：如图2﹣1，连接C′E，由（1）知，AD＝AE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠EAC′＝∠B＝90°，
由折叠知，B′C′＝BC，∠B＝∠B′，
∴AE＝B′C′，∠EAC′＝∠B′，
∵EC′＝C′E，
在Rt△EC′A和Rt△C′EB′中，
，
∴Rt△EC′A≌Rt△C′EB′（HL），
∴AC′＝B′E；
②解：AB＝a＝8，BC＝b＝6，
如图2﹣2，过点E作EM⊥CD于点D，
∵∠B＝∠C＝∠CME＝90°，
∴四边形EBCM是矩形，
∴BE＝CM，BC＝EM＝6，
∵AC'＝BE＝B′E，AD＝AE＝6，AB＝8，
∴BE＝2＝B′E＝AC′＝CM，CD＝AB＝8，
∴C′D＝AD﹣AC′＝6﹣2＝4，
设CF＝C′F＝x，则DF＝8﹣x，
在Rt△DC′F中，由勾股定理得：
C′F2＝C′D2+DF2，
∴x2＝42+（8﹣x）2，
解得x＝5，
∴FM＝CF﹣CM＝5﹣2＝3，
∴EF＝＝＝3；
∴折痕EF的长为3；
③解：当△EFC′为等腰三角形时，分三种情况：
I、当EC′＝EF时，过点E作EM⊥CD于点M，连接EC，如图2﹣2所示，
由折叠可知：EC′＝EC＝EF，CF＝C′F，
∵AE＝AD＝AB﹣BE，
∴BE＝AB﹣AD＝a﹣b，
∴FM＝CM＝BE＝a﹣b，
∴CF＝2CM＝2a﹣2b＝C′F，
∵DF＝CD﹣CF＝a﹣（2a﹣2b）＝2b﹣a，
∵AC′＝BE＝a﹣b，
∴DC′＝AD﹣AC′＝b﹣（a﹣b）＝2b﹣a，
∴DF＝DC′＝2b﹣a，
∴△DC′F是等腰直角三角形，
∴C′F＝DF，
∴2a﹣2b＝（2b﹣a），
解得a＝b；
Ⅱ、当EC′＝C′F时，
∴∠C′EF＝∠C′FE，
由折叠的性质可知：∠C′FE＝∠CFE＝∠C′EF，
∴C′E∥CF，
在矩形ABCD中，CF∥AE，
∴点C′与点A重合，
由折叠的性质可知：点C与点C′重合，
∴四边形ABCD是正方形，
∴a＝b，与a＞b矛盾；
Ⅲ、方法一：当EF＝C′F时，连接CC′，交EF于点O，如图2﹣3所示：
∴EF＝C′F＝CF，
∴∠FC′E＝∠FCE＝∠FEC，
∵AB∥CD，
∴∠BEC＝∠FCE＝∠FEC，
由折叠的性质可知：EF垂直平分CC′，
∴CC′⊥EF，CO＝C′O，
∵∠BEC＝∠FEC，CB⊥BE，CO⊥EF，
∴BC＝CO＝b，
∴CC'＝2CO＝2BC＝2b，
在Rt△CDC′中，DC′＝2b﹣a，DC＝a，
∴（2b﹣a）2+a2＝4b2，
解得a＝2b；
方法二：当点M与点F重合时，点C与点C′重合，
当△EFC′为等腰三角形时，
根据翻折的性质得四边形AEFD，EFCB是正方形，
∴AD＝AE＝b，
∴BE＝AB﹣AE＝a﹣b，
∴b＝a﹣b，
∴a＝2b．
综上所述：当△EFC′为等腰三角形时，a＝b或a＝2b．
甲方案
乙方案
分别取AO，CO的中点E，F
作BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F
如何称量一个空矿泉水瓶的重量？
素材1
如图是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘的点P可在横梁BC段滑动．已知OA＝OC＝12cm，BC＝28cm，一个100g 的砝码．
素材2
由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘的点P滑动至点B处，空瓶中加入适量的水使天平平衡；再向瓶中加入等量的水，发现点P移动到PC长为12cm时，天平再次平衡．
链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘砝码重量×OA＝右盘物体重量×OP．（不计托盘与横梁重量）

问题解决
任务1
分析数量关系
设右侧托盘放置y（g）物体，OP长x（cm），求y关于x的函数表达式，并求出y的取值范围．
任务2
解决具体问题
求这个空矿泉水瓶的重量．
甲方案
乙方案
分别取AO，CO的中点E，F
作BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F
如何称量一个空矿泉水瓶的重量？
素材1
如图是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘的点P可在横梁BC段滑动．已知OA＝OC＝12cm，BC＝28cm，一个100g 的砝码．
素材2
由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘的点P滑动至点B处，空瓶中加入适量的水使天平平衡；再向瓶中加入等量的水，发现点P移动到PC长为12cm时，天平再次平衡．
链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘砝码重量×OA＝右盘物体重量×OP．（不计托盘与横梁重量）

问题解决
任务1
分析数量关系
设右侧托盘放置y（g）物体，OP长x（cm），求y关于x的函数表达式，并求出y的取值范围．
任务2
解决具体问题
求这个空矿泉水瓶的重量．