2023-2024学年陕西省渭南市韩城市高二（下）期末数学试卷（含答案）

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这是一份2023-2024学年陕西省渭南市韩城市高二（下）期末数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.数列1，−3，5，−7，…的第9项是( )
A. −19B. 19C. −17D. 17
2.已知函数f(x)在x=x0处的导数为3，则limΔx→0f(x0+2Δx)−f(x0)Δx=( )
A. 6B. 3C. 32D. 23
3.已知函数f(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. 0B. f′(1)C. 0D. f′(3)4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5<0，a3+a8>0，则当Sn取得最小值时，n=( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
5.已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列关于f(x)的描述一定正确的是( )
A. f(x)在区间(−∞,0)上单调递减
B. 当x=0时，f(x)取得最大值
C. f(x)在区间(3,+∞)上单调递减
D. 当x=1时，f(x)取得最小值
6.设数列{an}满足a1+a22+a33+…+ann=1−12n，则an=( )
A. 1−12nB. 12n−3C. 12nD. n2n
7.设函数f(x)=xsinx，若x1,x2∈[−π2,π2]，且f(x1)A. x1x2C. x1+x2<0D. x128.风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年.因龙被视为中华古老文明的象征，再加上大型龙类风筝放飞场面壮观，气势磅礴而广受喜爱.某团队耗时3个多月做出一长达180米、重约20公斤，“龙身”共有140节“鳞片”的巨龙风筝.制作过程中，风筝骨架可采用竹子制作，但竹子易断，还有一种耐用的碳杆材质也可做骨架，但它比竹质的成本高.最终团队决定鳞片骨架按图中规律创作.则所有鳞片中竹质鳞片个数为( )
A. 120B. 124C. 128D. 130
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若数列{an}为递增数列，则{an}的通项公式可以为( )
A. an=nn+1B. an=2n−1C. an=n2−3nD. an=2n
10.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，则下列结论中正确的是( )
A. ∃x0∈R，f(x0)=0
B. 函数f(x)可能无极值点
C. 若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)=0
D. 若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(−∞,x0)单调递减
11.设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，若a1>1，0A. S2024−S2023>0B. a2023a2025<1
C. 数列{Tn}中的最大值是T2023D. 数列{Tn}无最大值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f(x)=f′(π4)cs2x+sinx，f′(π4)= ______．
13.在正项等比数列{an}中，Sn为其前n项和，若S5=5，S10=15，则S15的值为______．
14.设a>0且a≠1，若关于x的方程ax=x有两个实数根，则a的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
求下列函数的导数：
(Ⅰ)y=(2x−1)4；
(Ⅱ)y=x3⋅2x．
16.(本小题15分)
已知等比数列{an}的前n项和为Sn.公比q>1，若a2=8，S3=28．
(1)求{an}的通项公式；
(2)证明：an2>Sn+7．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=ex−ax，a∈R．
(Ⅰ)若a=2，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
(Ⅱ)若f(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，求a的取值范围．
18.(本小题17分)
若数列{an}满足条件：存在正整数k，使得an+k+an−k=2an对一切n∈N*，n>k都成立，则称数列{an}为k级等差数列．
(Ⅰ)若数列{an}为1级等差数列，a1=1，a3=9，求数列{an}的前n项和Sn；
(Ⅱ)若数列{an}为2级等差数列，且前四项依次为2，0，4，3，求a5、a6及数列{an}的前2024项和S2024．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=2ax−ln(2x)，x∈(0,e]，其中e是自然对数的底数，a∈R．
(Ⅰ)当a=1时，求函数f(x)的单调区间和极值；
(Ⅱ)是否存在实数a，使f(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由题意可知，该数列可用an=(−1)n+1(2n−1)表示，
故a9=(−1)9+1(2×9−1)=17．
故选：D．
该数列可用an=(−1)n+1(2n−1)表示，将n=9代入，即可求解．
本题主要考查数列的概念及简单表示法，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：由题意可得f′(x0)=3，
则limΔx→0f(x0+2Δx)−f(x0)Δx=2△x→0limf(x0+2△x)−f(x0)2△x=2f′(x0)=6．
故选：A．
利用极限的运算性质以及导数的几何意义化简即可求解．
本题考查了导数的几何意义以及极限的运算性质，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：由图可得，函数一直单调递增，且递增速度越来越慢，
故0故选：A．
直接根据导数的几何意义以及函数的图像即可得到结论．
本题主要考查导数的几何意义的应用，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：a3+a8>0，
则a5+a6=a3+a8>0，
a5<0，
则a6>0，
故当Sn取得最小值时，n=5．
故选：B．
根据已知条件，结合等差数列的性质，即可求解．
本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由图可知，x<0时，f′(x)>0，f(x)为增函数；
0当x=0时，f(x)有极大值，不一定为最大值；
10，f(x)为增函数；
当x=1时，f(x)有极小值，不一定为最小值；
x>3时，f(x)<0，f(x)为减函数，
综上可得只有C正确．
故选：C．
根据导数图象与函数图象的关系可得答案．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：∵a1+a22+a33+…+ann=1−12n，
∴当n=1时，a1=1−12=12．
当n≥2时，a1+a22+a33+…+an−1n−1=1−12n−1，
∴ann=1−12n−(1−12n−1)=12n，
∴an=n2n．
当n=1时也成立，
∴an=n2n．
故选：D．
利用递推关系即可得出．
本题考查了数列的通项公式求法、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7.【答案】D
【解析】解：f(−x)=−xsin(−x)=xsinx=f(x)，则函数f(x)为偶函数，
当x∈(0,π2)时，f′(x)=sinx+xcsx>0，
则函数f(x)在(0,π2)上单调递增，
又x1,x2∈[−π2,π2]，且f(x1)则|x1|<|x2|，
故x12故选：D．
易知函数f(x)为偶函数，且在(0,π2)上单调递增，结合题意可得|x1|<|x2|，由此得解．
本题考查函数与导数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查等差数列的实际应用，涉及等差数列的求和公式在实际问题中的应用，属于基础题．
根据题意，分析碳杆材质的鳞片和竹质鳞片之间的规律，再假设有n个“碳杆”鳞片，分析可得n的不等式，求出n的值，分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，分析可得：第n个碳杆材质的鳞片和第n+1个碳杆材质的鳞片之间有n个竹质鳞片，
假设有n个碳杆材质的鳞片，n∈N*，
由已知可得n+1+2+3+…+(n−1)+n≥140①，
如果只有n−1个碳杆材质的鳞片，则骨架总数少于140，
所以(n−1)+1+2+3+…+(n−1)<140②，
联立①②可得：n2+3n≥280且n2+n<282，
又n∈N*，解得n=16，即需要16个碳杆材质的鳞片，
故需要140−16=124个竹质鳞片．
故选：B．
9.【答案】ABD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，an=nn+1=1−1n+1，则an+1−an=(1−1n+2)−(1−1n+1)=1(n+1)(n+2)，易得an+1−an>0，则数列an}为递增数列，符合题意；
对于B，an=2n−1，则an+1−an=2(n+1)−1−2n+1=2>0，则数列an}为递增数列，符合题意；
对于C，an=n2−3n，有a1=a2=−2，数列an}不是递增数列，不符合题意；
对于D，an=2n，an+1−an=2n+1−2n=2n>0，数列an}为递增数列，符合题意．
故选：ABD．
根据题意，依次分析选项中数列的单调性，综合可得答案．
本题考查数列的函数特性，涉及数列的单调性，属于基础题．
10.【答案】ABC
【解析】解：函数f(x)=x3+ax2+bx+c，当x→−∞时，f(x)<0，当x→+∞时，f(x)>0，
又f(x)连续，所以∃x0∈R，f(x0)=0，A正确；
当a=b=0时，f(x)=x3+c在R上单调递增，无极值点，故B正确；
三次函数是连续的，若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)=0，故C正确；
若x0是f(x)的极小值点，可能还有极大值点x1，若x1则f(x)在区间(−∞,x1)上单调递增，在(x1,x0)上单调递减，故D错误．
故选：ABC．
由三次函数的图象特征可判断A；取函数f(x)=x3+c即可判断B；由极值点的定义即可判断C；由极值点与单调性的关系即可判断D．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查逻辑推理能力，属于中档题．
11.【答案】ABC
【解析】解：a1>1，0则a2023>1，0对于A，S2024−S2023=a2024>0，故A正确；
对于B，a2023a2025=a20242<1，故B正确；
对于CD，a2023>1，0则数列{Tn}中的最大值是T2023，故C正确，D错误．
故选：ABC．
根据已知条件，推得a2023>1，0本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
12.【答案】 26
【解析】解：由题f′(x)=−2f′(π4)sin2x+csx，
所以f′(π4)=−2f′(π4)sin(2×π4)+csπ4=−2f′(π4)+ 22，
则f′(π4)= 26．
故答案为： 26．
先求出导数f′(x)，即可求出常数f′(π4)．
本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题．
13.【答案】35
【解析】解：正项等比数列{an}中，Sn为其前n项和，
故S5，S10−S5，S15−S10成等比数列；由于S5=5，S10=15，
所以(S10−S5)2=S5⋅(S15−S10)，解得S15=35．
故答案为：35．
直接利用等比数列的性质求出结果．
本题考查的知识点：等比数列的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
14.【答案】(1,e1e)
【解析】解：当0当a>1时，
设f(x)=ax−x，
则f(x)=0在(0,+∞)上有2个根，
因为f′(x)=ax⋅lna−1，
易知f′(x)在0，+∞)上单调递增，
设f′(x0)=0，即有ax0⋅lna=1，
则当x∈(0,x0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(x0,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x)min=f(x0)=ax0−x0=1lna−x0<0，
所以x0>1lna，
即x0lna>1，lnax0>lne，
ax0>e，1lna>e，lna<1e，
解得a综上，1故答案为：(1,e1e).
由指数函数的性质可知当01时，设f(x)=ax−x，将问题转化为f(x)=0在(0,+∞)上有2个根，利用导数求解即可．
本题考查了指数函数的性质、转化思想及导数的综合运用，属于中档题．
15.【答案】解：(I)y′=4(2x−1)3⋅(2x−1)′=8(2x−1)3；
(Ⅱ)y′=3x2⋅2x+x3⋅2x⋅ln2．
【解析】由已知结合函数的求导公式及求导法则即可分别求解．
本题主要考查了函数的求导公式及求导法则的应用，属于基础题．
16.【答案】解：(1)等比数列{an}中，由于a2=8，S3=28，
则有a1q=8a1+a1q+a1q2=28，
解得a1=4q=2或a1=16q=12(舍去)，所以an=a1qn−1=2n+1．
(2)因为Sn=4(1−2n)1−2=2×2n+1−4，且n∈N*，
所以an2−Sn−7=(2n+1)2−2×2n+1−3=(2n+1−3)(2n+1+1)>0，
所以an2>Sn+7．
【解析】(1)根据题意，分析得到关于a1、q的方程组，解得即可；
(2)首先求出Sn，再利用作差法证明即可．
本题考查等不数量的求和，涉及等比数列的前n项和，属于基础题．
17.【答案】解：(Ⅰ)当a=2时，f(x)=ex−2x，
则f(0)=1，f′(x)=ex−2，
∴f′(0)=−1，
∴曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y−1=−(x−0)，即x+y−1=0；
(Ⅱ)f(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，等价于a≤exx在(0,+∞)上恒成立，
即a≤(exx)min，令g(x)=exx，
则g′(x)=ex(x−1)x2，
当01时，g′(x)>0，
∴g(x)在(0,+∞)上的极小值点为x=1，也是最小值点，
∴g(x)min=g(1)=e，
∴a≤e，
即a的取值范围为(−∞,e]．
【解析】(Ⅰ)利用导数的几何意义求解；
(Ⅱ)由题意可知，a≤exx在(0,+∞)上恒成立，即a≤(exx)min，令g(x)=exx，利用导数求出g(x)的最小值即可．
本题主要考查了导数的几何意义，考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题．
18.【答案】解：(Ⅰ)若数列{an}为1级等差数列，即an+1+an−1=2an对一切n∈N*，n>1都成立，
则数列{an}为等差数列，设公差为d，
由a1=1，a3=9，可得d=a3−a13−1=9−13−1=4，
则Sn=n+12n(n−1)×4=2n2−n．
(Ⅱ)由数列{an}为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3，
可得an+2+an−2=2an对一切n∈N*，n>2都成立，
a5=2a3−a1=8−2=6，a6=2a4−a2=6−0=6，a7=2a5−a3=12−4=8，…，
可得数列{an}中奇数项是首项和公差均为2的等差数列，偶数项是首项为0，公差为3的等差数列，
则S2024=(a1+a3+⋯+a2023)+(a2+a4+⋯+a2024)
=2×1012+12×1012×1011×2+12×1012×1011×3=2559854．
【解析】(Ⅰ)结合已知定义，利用等差数列的性质及求和公式即可求解；
(Ⅱ)由已知递推关系，结合等差数列的求和公式即可求解．
本题主要考查了数列的递推关系，等差数列的性质及求和公式的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(Ⅰ)当a=1时，f(x)=2x−ln(2x)，
则f′(x)=2−1x=2x−1x，x∈(0,e]，
当0当120，则f(x)单调递增．
所以函数f(x)的极小值为f(12)=1，
故f(x)的单调递减区间为(0,12)，单调递增区间为(12,e],
f(x)的极小值为f(12)=1，无极大值；
(Ⅱ)假设存在实数a，使f(x)=2ax−ln(2x)，x∈(0,e]的最小值是3，
f′(x)=2a−1x=2ax−1x，x∈(0,e]．
①当a≤0时，因为x∈(0,e]，所以f′(x)<0，f(x)在(0,e]上单调递减，
所以f(x)min=f(e)=2ae−ln(2e)=3，解得a=4+ln22e(舍去)；
②当0<12a12e时，
当0当12e0，此时函数f(x)单调递增．
所以f(x)min=f(12a)=1−ln1a=3，解得a=e2，满足条件；
③当12a≥e时，即0所以f(x)min=f(e)=2ae−ln(2e)=3，解得a=4+ln22e(舍去)．
综上，存在实数a=e2，使得当x∈(0,e]时，f(x)的最小值为3．
【解析】(Ⅰ)当a=1时，求得f′(x)=2x−1x，分析导数的符号变化，由此可求得函数f(x)的单调递增区间、递减区间以及极值；
(Ⅱ)求得f′(x)=2a−1x=2ax−1x，对实数a的取值进行分类讨论，利用导数分析函数f(x)在区间(0,e]上的单调性，结合函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为3可求得实数a的值．
本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题．

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