陕西省渭南市韩城市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试题

这是一份陕西省渭南市韩城市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试题，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.数列1，，5，，…的第9项是( )
A. B. 19C. D. 17
2.已知函数在处的导数为3，则( )
A. 6B. 3C. D.
3.已知函数的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.
4.已知等差数列的前n项和为，若，，则当取得最小值时，( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
5.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列关于的描述一定正确的是( )
A. 在区间上单调递减
B. 当时，取得最大值
C. 在区间上单调递减
D. 当时，取得最小值
6.设数列满足…，则( )
A. B. C. D.
7.设函数，若，且，则下列不等式恒成立的是( )
A. B. C. D.
8.风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年.因龙被视为中华古老文明的象征，再加上大型龙类风筝放飞场面壮观，气势磅礴而广受喜爱.某团队耗时3个多月做出一长达180米、重约20公斤，“龙身”共有140节“鳞片”的巨龙风筝.制作过程中，风筝骨架可采用竹子制作，但竹子易断，还有一种耐用的碳杆材质也可做骨架，但它比竹质的成本高.最终团队决定鳞片骨架按图中规律创作.则所有鳞片中竹质鳞片个数为( )
A. 120B. 124C. 128D. 130
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.若数列为递增数列，则的通项公式可以为( )
A. B. C. D.
10.已知函数，则下列结论中正确的是( )
A. ，
B. 函数可能无极值点
C. 若是的极值点，则
D. 若是的极小值点，则在区间单调递减
11.设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，若，，且，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 数列中的最大值是D. 数列无最大值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，______.
13.在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则的值为______.
14.设且，若关于x的方程有两个实数根，则a的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
求下列函数的导数：
Ⅰ；
Ⅱ
16.本小题15分
已知等比数列的前n项和为公比，若，
求的通项公式；
证明：
17.本小题15分
已知函数，
Ⅰ若，求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ若在上恒成立，求a的取值范围.
18.本小题17分
若数列满足条件：存在正整数k，使得对一切，都成立，则称数列为k级等差数列.
Ⅰ若数列为1级等差数列，，，求数列的前n项和；
Ⅱ若数列为2级等差数列，且前四项依次为2，0，4，3，求、及数列的前2024项和
19.本小题17分
已知函数，其中e是自然对数的底数，
Ⅰ当时，求函数的单调区间和极值；
Ⅱ是否存在实数a，使的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由题意可知，该数列可用表示，
故
故选：
该数列可用表示，将代入，即可求解．
本题主要考查数列的概念及简单表示法，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：由题意可得，
则
故选：
利用极限的运算性质以及导数的几何意义化简即可求解．
本题考查了导数的几何意义以及极限的运算性质，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：由图可得，函数一直单调递增，且递增速度越来越慢，
故
故选：
直接根据导数的几何意义以及函数的图像即可得到结论．
本题主要考查导数的几何意义的应用，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：，
则，
，
则，
故当取得最小值时，
故选：
根据已知条件，结合等差数列的性质，即可求解．
本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由图可知，时，，为增函数；
时，，为减函数；
当时，有极大值，不一定为最大值；
时，，为增函数；
当时，有极小值，不一定为最小值；
时，，为减函数，
综上可得只有C正确．
故选：
根据导数图象与函数图象的关系可得答案．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：…，
当时，
当时，…，
，
当时也成立，
故选：
利用递推关系即可得出．
本题考查了数列的通项公式求法、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7.【答案】D
【解析】解：，则函数为偶函数，
当时，，
则函数在上单调递增，
又，且，
则，
故
故选：
易知函数为偶函数，且在上单调递增，结合题意可得，由此得解．
本题考查函数与导数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查等差数列的实际应用，涉及等差数列的求和公式在实际问题中的应用，属于基础题．
根据题意，分析碳杆材质的鳞片和竹质鳞片之间的规律，再假设有n个“碳杆”鳞片，分析可得n的不等式，求出n的值，分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，分析可得：第n个碳杆材质的鳞片和第个碳杆材质的鳞片之间有n个竹质鳞片，
假设有n个碳杆材质的鳞片，，
由已知可得…①，
如果只有个碳杆材质的鳞片，则骨架总数少于140，
所以…②，
联立①②可得：且，
又，解得，即需要16个碳杆材质的鳞片，
故需要个竹质鳞片．
故选：
9.【答案】ABD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，，则，易得，则数列为递增数列，符合题意；
对于B，，则，则数列为递增数列，符合题意；
对于C，，有，数列不是递增数列，不符合题意；
对于D，，，数列为递增数列，符合题意．
故选：
根据题意，依次分析选项中数列的单调性，综合可得答案．
本题考查数列的函数特性，涉及数列的单调性，属于基础题．
10.【答案】ABC
【解析】解：函数，当时，，当时，，
又连续，所以，，A正确；
当时，在R上单调递增，无极值点，故B正确；
三次函数是连续的，若是的极值点，则，故C正确；
若是的极小值点，可能还有极大值点，若，
则在区间上单调递增，在上单调递减，故D错误．
故选：
由三次函数的图象特征可判断A；取函数即可判断B；由极值点的定义即可判断C；由极值点与单调性的关系即可判断
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查逻辑推理能力，属于中档题．
11.【答案】ABC
【解析】解：，，且，
则，，
对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于CD，，，，
则数列中的最大值是，故C正确，D错误．
故选：
根据已知条件，推得，，即可依次判断．
本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：由题，
所以，
则
故答案为：
先求出导数，即可求出常数
本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题．
13.【答案】35
【解析】解：正项等比数列中，为其前n项和，
故，，成等比数列；由于，，
所以，解得
故答案为：
直接利用等比数列的性质求出结果．
本题考查的知识点：等比数列的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：当时，由指数函数的性质可知与只有一个交点，不满足题意；
当时，
设，
则在上有2个根，
因为，
易知在0，上单调递增，
设，即有，
则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
所以，
即，，
，，，
解得，
综上，
故答案为：
由指数函数的性质可知当时，不满足题意，当时，设，将问题转化为在上有2个根，利用导数求解即可．
本题考查了指数函数的性质、转化思想及导数的综合运用，属于中档题．
15.【答案】解：；
Ⅱ
【解析】由已知结合函数的求导公式及求导法则即可分别求解．
本题主要考查了函数的求导公式及求导法则的应用，属于基础题．
16.【答案】解：等比数列中，由于，，
则有，
解得或舍去，所以
因为，且，
所以，
所以
【解析】根据题意，分析得到关于、q的方程组，解得即可；
首先求出，再利用作差法证明即可．
本题考查等不数量的求和，涉及等比数列的前n项和，属于基础题．
17.【答案】解：Ⅰ当时，，
则，，
，
曲线在点处的切线方程为，即；
Ⅱ在上恒成立，等价于在上恒成立，
即，令，
则，
当时，，当时，，
在上的极小值点为，也是最小值点，
，
，
即a的取值范围为
【解析】Ⅰ利用导数的几何意义求解；
Ⅱ由题意可知，在上恒成立，即，令，利用导数求出的最小值即可．
本题主要考查了导数的几何意义，考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题．
18.【答案】解：Ⅰ若数列为1级等差数列，即对一切，都成立，
则数列为等差数列，设公差为d，
由，，可得，
则
Ⅱ由数列为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3，
可得对一切，都成立，
，，，…，
可得数列中奇数项是首项和公差均为2的等差数列，偶数项是首项为0，公差为3的等差数列，
则

【解析】Ⅰ结合已知定义，利用等差数列的性质及求和公式即可求解；
Ⅱ由已知递推关系，结合等差数列的求和公式即可求解．
本题主要考查了数列的递推关系，等差数列的性质及求和公式的应用，属于中档题．
19.【答案】解：Ⅰ当时，，
则，
当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增．
所以函数的极小值为，
故的单调递减区间为，单调递增区间为
的极小值为，无极大值；
Ⅱ假设存在实数a，使，的最小值是3，
，
①当时，因为所以，在上单调递减，
所以，解得舍去；
②当时，即时，
当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增．
所以，解得，满足条件；
③当时，即时，对任意的在上单调递减，
所以，解得舍去
综上，存在实数，使得当时，的最小值为
【解析】Ⅰ当时，求得，分析导数的符号变化，由此可求得函数的单调递增区间、递减区间以及极值；
Ⅱ求得，对实数a的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在区间上的单调性，结合函数在区间上的最小值为3可求得实数a的值．
本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题．