2023-2024学年辽宁省盘锦光正实验学校高一（下）第一次月考数学试卷-普通用卷

这是一份2023-2024学年辽宁省盘锦光正实验学校高一（下）第一次月考数学试卷-普通用卷，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知角α的终边经过点P(−2,2 3)，则csα=( )
A. − 3B. −2C. −12D. 32
2.二十四节气是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民智慧的结晶.从立春起的二十四节气依次是立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒.二十四节气的对应图如图所示，从2022年4月20日谷雨节气到2022年12月7日大雪节气，圆上一点转过的弧所对圆心角的弧度数为( )
A. 3π4B. −3π4C. 5π4D. −5π4
3.在四边形ABCD中，AB=DC，若|AD−AB|=|BC−BA|，则四边形ABCD是( )
A. 菱形B. 矩形C. 正方形D. 不确定
4.函数y=sin(2x+π3)图像的对称轴方程可能是( )
A. x=−π6B. x=−π12C. x=π6D. x=π12
5.要得到y=3sin(x+π6)的图象只需将y=3sinx的图象( )
A. 向左平移π6个单位B. 向右平移π6个单位C. 向左平移π2个单位D. 向右平移π2个单位
6.已知向量a=(3,m),b=(−1,13)，若a//b，则m=( )
A. 1B. −1C. 9D. −9
7.设a=sin5π7，b=cs2π7，c=tan2π7，则( )
A. a8.函数f(x)=(1−23x+1)⋅csx的图像大致为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列说法正确的有( )
A. 当角α的终边在x轴上时，角α的正切线是一个点
B. 当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在
C. 正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化
D. 余弦线和正切线的始点都是原点
10.下列诱导公式正确的是( )
A. sin(3π+α)=sinαB. sin(7π+α2)=−csα2
C. cs(5π2−2α)=sin2αD. cs(9π−3α)=cs3α
11.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，若|OC|=78，tan∠NCM=2，则( )
A. f(x)=sin(πx+π8)
B. f(x)的单调递增区间为[−58+k,38+k](k∈Z)
C. f(x)图象关于点(−58,0)对称
D. f(x)图象关于直线x=−58是对称
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知扇形的圆心角为π6，弧长为2π3，则该扇形的面积为__________.
13.设α为锐角，若cs(α+π6)=45，则sin(π3−α)=______.
14.若函数f(x)=sinx+3|sinx|在x∈[0,2π]的图象与直线y=2a有两个交点，则实数a的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
(1)计算：sin2120∘+cs180∘+tan45∘−cs2(−330∘)+sin(−210∘)；
(2)已知sin(α+π)=2cs(α−π)，求2sinα−csαsinα+csα.
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=2sin(2x+π3).
(1)求当f(x)取得最大值时，x的取值集合；
(2)求f(x)在[−π4,π6]上的值域.
(3)完成下列表格并在给定的坐标系中，画出函数f(x)在[0,π]上的图象.
17.(本小题15分)
已知sinα+csα= 22,0<α<π.
(1)求1sin2α+1cs2α的值；
(2)求sinα−csα的值；
(3)求tanα的值.
18.(本小题17分)
近年来，我国逐渐用风能等清洁能源替代传统能源，目前利用风能发电的主要手段是风车发电.如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为2π3，现有一座风车，塔高100米，叶片长40米.叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点(此时P离地面60米).设点P转动t(秒)后离地面的距离为S(米)，则S关于t的函数关系式为S(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π).
(1)求S(t)的解析式；
(2)求叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于80米的时长.
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=Asin(x+φ)(A>0,0<φ<π)，x∈R的最大值是1，其图象经过点(π3,12).
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)求g(x)=f2(x)+2f(x)−3的最值.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：因为角α的终边经过点P(−2,2 3)，
所以csα=−2 (−2)2+(2 3)2=−12.
故选：C.
由已知利用任意角的三角函数的定义即可求解．
本题主要考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：依题意，二十四节气将一个圆24等分，所以每一份的弧度数位2π24=π12，
从谷雨到大雪，二十四节气圆盘需要逆时针旋转15个格，
所以转过的弧所对圆心角的弧度数为15×π12=5π4.
故选：C.
根据弧度制的定义计算出每一小格所代表的弧度即可得出答案．
本题主要考查了弧长公式的应用，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD中，AB=DC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
又∵|AD−AB|=|BC−BA|，∴|BD|=|AC|，
∴四边形ABCD为矩形，
故选：B.
先由AB=DC判断出四边形ABCD为平行四边形，再由向量减法的几何意义将|AD−AB|=|BC−BA|变形，进一步判断此四边形的形状．
本题主要考查了相等向量的性质，考查了向量的线性运算，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查正弦函数对称轴的求法．属基础题．
令2x+π3=π2+kπ求出x的值，然后根据k的不同取值对选项进行验证即可．
【解析】
解：令2x+π3π3=π2+kππ2+kπ，
∴x=π12+kπ2π12+kπ2(k∈Z)，
当k=0时，为D选项，
故选D.
5.【答案】A
【解析】解：将y=3sinx的图象向左平移π6个单位，得函数y=3sin(x+π6)的图象，A正确，BCD错误．
故选：A.
根据给定条件，利用图象的平移变换求解即得．
本题主要考查了三角函数图象平移变换，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：因为向量a=(3,m),b=(−1,13)，
若a//b，则3×13=−m，即m=−1.
故选：B.
由已知结合向量平行的坐标表示即可求解．
本题主要考查了向量平行的坐标表示，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：a=sin5π7=sin2π7，
∵π4<2π7<π2，∴tan2π7>1，
sin2π7>cs2π7，
∴b故选：B.
根据三角函数的诱导公式进行转化，结合三角函数的单调性和取值范围进行比较即可．
本题主要考查三角函数值的大小比较，利用三角函数的诱导公式以及三角函数的单调性进行转化是解决本题的关键，是基础题．
8.【答案】B
【解析】解：根据题意，f(x)=(1−23x+1)⋅csx=(3x−13x+1)csx，
其定义域为R，有f(−x)=−(3x−13x+1)csx=−f(x)，则函数f(x)为奇函数，排除CD，
f(1)=12cs1>0，排除A.
故选：B.
根据题意，先分析函数的奇偶性，排除CD，再计算f(1)的值，排除A，综合可得答案．
本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性以及函数值符号的分析，属于基础题．
9.【答案】ABC
【解析】解：ABC：根据三角函数线的概念，ABC正确；
D：因为余弦线的始点在原点，而正切线的始点在单位圆与x轴正半轴的交点上，故D错误．
故选：ABC.
利用三角函数线的定义对各个选项逐个判断即可求解．
本题考查了三角函数线的应用，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：对于A，sin(3π+α)=sin(π+α)=−sinα，故A项错误；
对于B，sin(7π+α2)=sin(α2−π2)=−sin(π2−α2)=−csα2，故B正确；
对于C，cs(5π2−2α)=cs(π2−2α)=sin2α，故C正确；
对于D，cs(9π−3α)=cs(π−3α)=−cs3α，故D错误．
故选：BC.
利用三角函数的诱导公式即可得解．
本题主要考查了诱导公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
11.【答案】AD
【解析】解：由函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象可得A=1，
因为|MN|=1，tan∠NCM=2，
所以|NC|=12×1=12，则T4=2π4ω=12，得ω=π.
所以f(x)=sin(πx+φ)，
将C(78,0)代入f(x)=sin(πx+φ)，得sin(7π8+φ)=0，
则7π8+φ=kπ(k∈Z)，解得φ=−7π8+kπ(k∈Z)，
因为|φ|<π2，
所以φ=π8,f(x)=sin(πx+π8),A正确．
令−π2+2kπ(k∈Z)≤πx+π8≤π2+2kπ(k∈Z)，得−58+2k≤x≤38+2k(k∈Z),B错误．
f(−58)=sin(−5π8+π8)=−1，C错误，D正确．
故选：AD.
根据已知函数f(x)的部分图象可得A=1，再结合函数的周期可得ω=π，然后将C(78,0)代入求得φ=π8，即可求得函数f(x)的解析式，进而判断选项A的正误；利用三角函数的图象与性质求出函数f(x)的单调区间，即可判断选项B的正误；利用代入验证法判断函数的对称中心和对称轴即可判断选项C、D的正误．
本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】4π3
【解析】【分析】
本题考查扇形的面积、弧长公式，考查学生的计算能力，属于基础题．
利用扇形的圆心角为π6，弧长为2π3，求出扇形的半径，再求扇形的面积．
【解答】
解：∵扇形的圆心角为π6，弧长为2π3，
∴扇形的半径为2π3π6=4，
∴扇形的面积为12×23π×4=4π3.
故答案为：4π3.
13.【答案】45
【解析】解：∵cs(α+π6)=45，
∴sin(π3−α)=sin[π2−(α+π6)]=cs(α+π6)=45，
故答案为：45.
由已知直接利用诱导公式化简求值．
本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．
14.【答案】(1,2)
【解析】解：依题意，f(x)=sinx+3|sinx|=4sinx,x∈[0,π)−2sinx,x∈[π,2π],
画出函数y=f(x)的图象，如图：
由图象知，当2a∈(2,4)，即a∈(1,2)时，函数f(x)的图象与直线y=2a有且仅有两个不同的交点，
所以实数a的取值范围是(1,2).
故答案为：(1,2).
将函数f(x)写成分段函数的形式，在同一坐标系下画出函数f(x)和函数y=2a图象，利用数形结合即可判断两函数有两个不同的交点时实数a的取值范围．
本题考查三角函数的图象和性质，属于基础题．
15.【答案】解：(1)sin2120∘+cs180∘+tan45∘−cs2(−330∘)+sin(−210∘)
=( 32)2−1+1−cs230∘+sin150∘
=34−( 32)2+12=12；
(2)∵sin(α+π)=2cs(α−π)，∴−sinα=−2csα，得tanα=2，
则2sinα−csαsinα+csα=2tanα−1tanα+1=2×2−12+1=1.
【解析】(1)利用特殊角的三角函数值与三角函数的诱导公式即可得解；
(2)先利用三角函数的诱导公式与基本关系式得到tanα，再利用正余弦的齐次式法即可得解．
本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
16.【答案】解：(1)由已知令f(x)=2sin(2x+π3)=2，
则sin(2x+π3)=1，
所以2x+π3=π2+2kπ,k∈Z，
解得x=π12+kπ,k∈Z，
即当f(x)取得最大值时，x的取值集合为{x|x=π12+kπ,k∈Z}；
(2)当−π4≤x≤π6时，−π6≤2x+π3≤2π3，
则−12≤sin(2x+π3)≤1，即−1≤2sin(2x+π3)≤2
所以f(x)在[−π4,π6]上的值域为[−1,2]；
(3)列表如下：
图象如下：

【解析】(1)由已知可得sin(2x+π3)=1，利用正弦函数的性质即可求解；
(2)由题意可求−π6≤2x+π3≤2π3，进而利用正弦函数的性质即可求解；
(3)利用五点法完成表格，然后再作图即可．
本题考查了正弦函数的性质以及五点法作函数y=Asin(ωx+φ)的图象，考查了函数思想，属于基础题．
17.【答案】解：(1)由sinα+csα= 22，得sin2α+cs2α+2sinαcsα=12，
∴sinαcsα=−14.
∴1sin2α+1cs2α=cs2α+sin2αsin2αcs2α=1(sinαcsα)2=1116=16；
(2)∵sinαcsα=−14<0,0<α<π，∴sinα>0，csα<0，则sinα−csα>0，
又∵(sinα−csα)2=sin2α−2sinαcsα+cs2α=1−2×(−14)=32，
∴sinα−csα= 62；
(3)由sinα+csα= 22sinα−csα= 62，可得sinα= 2+ 64csα= 2− 64.
∴tanα=sinαcsα= 6+ 24 2− 64=−2− 3.
【解析】(1)两边平方，结合平方关系得sinαcsα=−14.由此即可进一步求解；
(2)首先得sinα−csα>0，进一步由(sinα−csα)2=sin2α−2sinαcsα+cs2α即可求解；
(3)首先分别求得sinα，csα，然后由商数关系即可求解．
本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数的基本关系式的应用，是基础题．
18.【答案】解：(1)如图，建立平面直角坐标系，
当t=0时，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点，设为P0，则P0(0,60)，
由题意得，ω=2π5，且A+B=100+40−A+B=100−40S(0)=Asinφ+B=60，
解得A=40B=100φ=−π2，
所以S(t)=40sin(2π5t−π2)+100；
(2)令S(t)≥80，则S(t)=40sin(2π5t−π2)+100≥80，
即cs2π5t≤12，
所以2kπ+π3≤2π5t≤2kπ+5π3(k∈Z)，解得56+5k≤t≤256+5k(k∈Z)，
当k=0时，56≤t≤256,256−56=103，
所以叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于80米的时长为103秒．
【解析】(1)建立平面直角坐标系，根据题意列出方程组，求出A，B，φ的值，得到S(t)的解析式；
(2)令S(t)≥80，则S(t)=40sin(2π5t−π2)+100≥80，再结合正弦函数的性质求解．
本题主要考查了三角函数的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．
19.【答案】解：(1)∵f(x)的最大值为1，
∴A=1，
又∵f(x)的图象过(π3,12)，
∴sin(π3+φ)=12，
∴π3+φ=π6+2kπ,k∈Z或π3+φ=5π6+2kπ,k∈Z，
∵0<φ<π，
∴φ=π2，
∴f(x)=sin(x+π2)=csx；
(2)由(1)知f(x)=csx，
由余弦函数的性质可得其增区间为[−π+2kπ,2kπ]，k∈Z，
减区间为[2kπ,π+2kπ]，k∈Z；
(3)g(x)=f2(x)+2f(x)−3=cs2x+2csx−3，
令 t=csx，t∈[−1,1]，
则y=t2+2t−3=(t+1)2−4，t∈[−1,1]，
当t=−1时，即x=2kπ−π，k∈Z时，g(x)有最小值−4，
当t=1时，即x=2kπ，k∈Z时，g(x)有最大值0.
【解析】(1)根据函数的最值和过的点即可求得函数的解析式；
(2)根据余弦函数的性质可得函数的单调区间；
(3)换元后转化为二次函数，利用二次函数的性质求解即可．
本题考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，余弦函数的性质以及二次函数的性质，考查了函数思想，属于中档题．x
2x+π3
y
x
0
π12
π3
7π12
5π6
π
2x+π3
π3
π2
π
3π2
2π
7π3
y
3
2
0
−2
0
3