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2023-2024学年河南省创新发展联盟高一（下）第三次月考数学试卷（5月份）（含答案）
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这是一份2023-2024学年河南省创新发展联盟高一（下）第三次月考数学试卷（5月份）（含答案），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.样本数据12，11，7，15，9，10，12，8的中位数是( )
A. 12B. 11C. 10D. 10.5
2.为了提升学生的文学素养，某校将2024年5月定为读书月，要求每个学生都只选择《平凡的世界》与《麦田里的守望者》中的一本.已知该校高一年级学生选择《平凡的世界》的人数为450，选择《麦田里的守望者》的人数为550.现采用按比例分层随机抽样的方法，从高一学生中抽取20名学生进行阅读分享，则被抽到的这20名学生中选择了《平凡的世界》的人数为( )
A. 9B. 10C. 11D. 12
3.已知在R软件的控制台中，输入“sample(1：20，4，replace=F)”，按回车键，得到的4个1～20范围内的不重复的整数随机数为12，6，10，4，则这4个整数的标准差为( )
A. 2 10B. 10C. 40D. 10
4.如图所示，BC=2AD,DC=4DH，则BH=( )
A. 34BA+78BCB. 23BA+35BCC. 34BA+58BCD. 34BA+56BC
5.下列命题是真命题的是( )
A. 上底面与下底面相似的多面体是棱台
B. 正六棱锥的侧面为等腰三角形，且等腰三角形的底角大于π3
C. 若直线l在平面α外，则l//α
D. 若一个几何体所有的面均为三角形，则这个几何体是三棱锥
6.已知样本数据x1，x2，⋯，x200的平均数为14，样本数据y1，y2，⋯，y600的平均数为a，若样本数据x1，x2，⋯，x200，y1，y2，⋯，y600的平均数为a+1，则a=( )
A. 12B. 10C. 2D. 11
7.已知|OA|=|OB|=|OC|，且AB+AC+OA=0，则BA在OA上的投影向量为( )
A. 12OAB. −12OAC. 14OAD. OA
8.P是△ABC内一点，∠ABP=45°，∠PBC=∠PCB=∠ACP=30°，则tan∠BAP=( )
A. 23B. 25C. 13D. 12
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若z=k2−2k+ki(k∈R)，则下列结论正确的是( )
A. 若z为实数，则k=0
B. 若zi=1+3i，则k=3
C. 若z在复平面内对应的点位于第一象限，则k>3
D. 若z+z−=−2，则|z|= 2
10.已知某省2023年各地市地区生产总值的占比如图所示，则根据图中关于该省2023年各地市地区生产总值占比的统计情况，下列结论正确的是( )
A. A市2023年地区生产总值比B市2023年地区生产总值多
B. 图中11个地市2023年地区生产总值占比的40%分位数为5.92%
C. 图中11个地市2023年地区生产总值占比的70%分位数为4.58%
D. 若该省2024年各地市地区生产总值的增长率相等，则该省2024年各地市地区生产总值的占比不变
11.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正方体每个顶点均有3个面角，每个面角均为π2，故其各个顶点的曲率均为2π−3×π2=π2.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC=2，AA1=32，点C的曲率为π3，D，E，F分别为AC，AB，A1C1的中点，则( )
A. 直线BF//平面A1DE
B. 在三棱柱ABC−A1B1C1中，点A的曲率为5π6
C. 在四面体A1ADE中，点E的曲率小于π
D. 二面角A1−DE−A的大小为π3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.复数(2+i3)i的虚部为______．
13.已知某圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的侧面积为______，该圆柱的内切球的体积为______．
14.为促进学生德、智、体、美、劳全面发展，某校开发出文化艺术课程、科技课程、体育课程等多类课程.为了解该校各班参加科技课程的人数，从全校随机抽取5个班级，设这5个班级参加科技课程的人数分别为x，y，z，m，n(x四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知第10～19届亚运会中国队获得的金牌数如下图所示．
(1)求第10∼19届亚运会中国队获得的金牌数的极差；
(2)剔除第12届亚运会中国队获得的金牌数数据，求剩余9届亚运会中国队获得的金牌数的平均数；
(3)设第10～12届亚运会中国队获得的金牌数的方差为s12，第13～15届亚运会中国队获得的金牌数的方差为s22，不通过计算，试比较s12与s22的大小，并说明理由．
16.(本小题15分)
已知向量a=(3,λ),b=(7,λ−3)．
(1)若a//b，求λ的值．
(2)设a⊥(a−b)，向量a与b的夹角为θ．
①求θ的大小；
②在△ABC中，B=θ,AB=|a|,BC=15|b|，求△ABC的周长．
17.(本小题15分)
在△ABC中，1+sinAsinB=cs2B−sin2A+sin2C.
(1)求角C的大小；
(2)若D在边AB上，DC⊥CB，且AC= 3,AD=1，求△ABC的面积S．
18.(本小题17分)
已知某工厂一区生产车间与二区生产车间均生产某种型号的零件，这两个生产车间生产的该种型号的零件尺寸的频率分布直方图如图所示(每组区间均为左开右闭)．
尺寸大于M的零件用于大型机器中，尺寸小于或等于M的零件用于小型机器中．
(1)若M=60，试分别估计该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件和二区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数．
(2)若M∈(60,70]，现有足够多的来自一区生产车间与二区生产车间的零件，分别用于大型机器、小型机器各5000台的生产，每台机器仅使用一个该种型号的零件．
方案一：直接将一区生产车间生产的零件用于大型机器中，其中用了尺寸小于或等于M的零件的大型机器每台会使得工厂损失200元；直接将二区生产车间生产的零件用于小型机器中，其中用了尺寸大于M的零件的小型机器每台会使得工厂损失100元．
方案二：重新测量一区生产车间与二区生产车间生产的零件尺寸，并正确匹配型号，重新测量的总费用为35万元．
请写出采用方案一，工厂损失费用的估计值H(M)(单位：万元)的表达式，并从工厂损失的角度考虑，选择合理的方案．
19.(本小题17分)
如图，在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD为平行四边形，BD⊥A1C，且E，F，H分别为线段BB1，A1B，AD的中点．
(1)证明：|A1B|=|A1D|．
(2)证明：平面EFH//平面A1CD．
(3)若AB=2A1B1,AA1=1,∠ABC=π3，当A1B与平面A1CD所成的角最大时，求四棱台ABCD−A1B1C1D1的体积V．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：将数据从小到大排列：7，8，9，10，11，12，12，15．
故这组数据的中位数是10+112=10.5．
故选：D．
将数据从小到大排列，按照法则求出中位数即可．
本题考查中位数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】A
【解析】解：依题意，被抽到的这20名学生中选择了《平凡的世界》的人数为20×450450+550=9．
故选：A．
利用分层抽样比与总体抽样比相等即可求出答案．
本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：数据的平均数为12+6+10+44=8，
这4个数据的方差为14[(12−8)2+(6−8)2+(10−8)2+(4−8)2]=10，其标准差为 10．
故选：B．
结合平均数、标准差公式，即可求解．
本题主要考查平均数、标准差公式，是基础题．
4.【答案】C
【解析】解：根据题意，可得BH=BA+AD+DH，将AD=12BC，DH=14DC代入，得BH=BA+12BC+14DC，
因为DC=DA+AB+BC=12BC−BA，所以BH=BA+12BC+14(12BC−BA)=34BA+58BC．
故选：C．
由题意，以BA,BC为基底，根据平面向量的加减法则与数乘向量的运算法则加以计算，可得答案．
本题主要考查了梯形的性质、平面向量的线性运算法则及其应用，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：正方体的上底面与下底面相似，但正方体不是棱台，故A错误；
正六棱锥的侧面为等腰三角形，设其中一个侧面为PAB，底面中心为O，
则AO=AB所以∠PAB>π3，故B正确．
若直线l在平面α外，则l//α或直线l与平面α相交，故C错误；
如图所示的几何体所有的面均为三角形，但该几何体不是三棱锥，故D错误；
故选：B．
A、D选项找反例，C选项找对应知识点，B选项放在三角形中分析即可．
本题考查空间线面关系的应用，属于中档题．
6.【答案】B
【解析】解：根据题意可得：
200200+600×14+600200+600×a=a+1，解得a=10．
故选：B．
依题意总平均数等于总数据和除以总数据的个数，直接解出即可．
本题考查平均数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】A
【解析】解：如图，依题意可得：点O为△ABC的外心，
因为AB+AC+OA=0，所以AB+OC=0，
所以AB=CO，则四边形ABOC为菱形，
设AO∩BC=M，则AO=2AM，
因为AO⊥BC，所以BA在OA上的投影向量为MA=12OA．
故选：A．
由已知，可得点O为△ABC的外心，四边形ABOC为菱形，则BA在OA上的投影向量为MA=12OA．
本题考查投影向量的求法，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：在△PBC中，∠PCB=∠PBC=30°，∠BPC=120°，
设PB=PC=1，则BC2=PB2+PC2−2PB⋅PCcs120°=1+1−2×1×1×(−12)=3，可得BC= 3．
在△ABC中，∠ABC=∠ABP+∠PBC=75°，∠ACB=∠PCB+∠ACP=60°，
所以∠BAC=180°−∠ABC−∠ACB=45°，
由正弦定理得BCsin∠BAC=ABsin∠ACB，即 3sin45°=ABsin60∘，可得AB= 3sin60°sin45°=3 22，
在△ABP中，由余弦定理得AP2=AB2+BP2−2AB⋅BPcs45°=92+1−2×3 22×1× 22=52，可得AP= 52= 102，
所以cs∠BAP=AB2+AP2−BP22AB⋅AP=92+52−12×3 22× 102=2 55，可得sin∠BAP= 1−cs2∠BAP= 55(舍负)．
因此，tan∠BAP=sin∠BAPcs∠BAP=12．
故选：D．
根据题意，△PBC是顶角为120°的等腰三角形，设PB=PC=1，由余弦定理求出BC= 3，然后利用三角形内角和定理算出∠BAC=45°，根据正弦定理求出AB=3 22，进而在△ABP中利用余弦定理算出AP长，再算出cs∠BAP，结合同角三角函数的基本关系算出tan∠BAP的值．
本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形、同角三角函数的基本关系及其应用，属于中档题．
9.【答案】AD
【解析】解：A选项，若z为实数，则k=0，A正确．
B选项，若zi=1+3i，则z=1+3ii=(1+3i)ii2=3−i，
则k2−2k=3,k=−1,解得k=−1，B错误．
C选项，若z在复平面内对应的点位于第一象限，则k2−2k>0,k>0,解得k>2，C错误．
D选项，若z+z−=−2，则2(k2−2k)=−2，
解得k=1，z=−1+i，则|z|= 1+1= 2,D正确．
故选：AD．
A选项，根据复数的类型得到方程，求出k=0；B选项，利用复数除法法则计算出z=3−i，从而得到方程组，求出答案；C选项，由所在象限得到不等式组，求出k>2；D选项，计算出k=1，z=−1+i，利用复数模长公式求出答案．
本题考查复数的几何意义，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：由图中统计数据，可得A市2023年地区生产总值比B市2023年地区生产总值多，故A正确；
因为11×40%=4.4，所以图中11个地市2023年地区生产总值占比的40%分位数为5.92%，故B正确；
因为11×70%=7.7，所以图中11个地市2023年地区生产总值占比的70%分位数为10.1%，故C错误；
若该省2024年各地市地区生产总值的增长率相等，则该省2024年各地市地区生产总值的占比不变，D正确．
故选：ABD．
根据统计图及百分位数的定义一一判断即可．
本题主要考查了统计图的应用，属于基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：选项A，连接CF，
因为D，E，F分别为AC，AB，A1C1的中点，
所以DE//BC，CD=A1F，CD//A1F，
所以四边形A1DCF是平行四边形，
所以A1D//CF，
又DE∩A1D=D，DE、A1D⊂平面A1DE，BC∩CF=C，BC、CF⊂平面BCF，
所以平面A1DE//平面BCF，
因为BF⊂平面BCF，所以BF//平面A1DE，即选项A正确；
选项B，因为点C的曲率为π3，
所以2π−(2×π2+∠ACB)=π3，解得∠ACB=2π3，
又AC=BC，所以∠CAB=∠ABC=π6，
所以点A的曲率为2π−(2×π2+π6)=5π6，即选项B正确；
选项C，因为DE//BC，所以∠AED=∠ABC=π6，
由题意知，AD=DE=1，AE= 3，AA1=32，
所以A1D= AA12+AD2= 132，A1E= AA12+AE2= 212，
在△A1DE中，由余弦定理知，cs∠A1ED=DE2+A1E2−A1D22DE⋅A1E=1+214−1342×1× 212= 217，
在△A1AE中，sin∠A1EA=AA1A1E32 212= 217，
即cs∠A1ED=sin∠A1EA，且∠A1ED，∠A1EA均为锐角，
所以∠A1ED+∠A1EA=π2，
所以在四面体A1ADE中，点E的曲率为2π−(∠AED+∠A1ED+∠A1EA)=2π−(π6+π2)=4π3>π，即选项C错误；
选项D，由选项C可知，cs∠A1ED= 217，
所以sin∠A1ED= 1−cs2∠A1ED=2 77，
所以S△A1DE=12DE⋅A1Esin∠A1ED=12⋅1⋅ 212⋅2 77= 32，
而S△ADE=12AD⋅DEsin∠ADE=12⋅1⋅1⋅ 32= 34，
设二面角A1−DE−A的大小为θ，
则csθ=S△ADES△A1DE= 34 32=12，所以θ=π3，
即二面角A1−DE−A的大小为π3，故选项D正确．
故选：ABD．
选项A，连接CF，先证平面A1DE//平面BCF，再由面面平行的性质定理，即可判断；选项B，根据点C的曲率可得∠ACB的大小，再计算点A的曲率即可；选项C，结合勾股定理与余弦定理，可证∠A1ED+∠A1EA=π2，再求四面体A1ADE中，点E的曲率即可；选项D，利用面积投影法求二面角即可．
本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握面面平行的判定定理与性质定理，理解曲率的计算方法，会用面积投影法求二面角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12.【答案】2
【解析】解：∵(2+i3)i=(2−i)i=2i−i2=1+2i，∴复数(2+i3)i的虚部为2．
故答案为：2．
由复数的运算结合复数的几何意义求出即可．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
13.【答案】4π 43π
【解析】解：如图所示：
依题意圆柱的轴截面是面积为4的正方形，可得该圆柱的底面半径为1，高为2，
则该圆柱的侧面积为2π×1×2=4π．
易得该圆柱的内切球的半径为1，则该圆柱的内切球的体积为43π×13=43π．
故答案为：4π，43π．
(1)由圆柱的轴截面是面积为4的正方形，得到圆柱的底面半径和高，应用圆柱的面积公式求解即可；
(2)依据圆柱的底面半径和高，得到内切球的半径，应用球的体积公式求解即可．
本题考查的知识点：圆柱和球的关系，主要考查学生的视图能力和运算能力，属于中档题．
14.【答案】0
【解析】解：依题意得x+y+z+m+n5=9,(9−x)2+(9−y)2+(9−z)2+(9−m)2+(9−n)25=4，
化简得x+y+z+m+n=45，(9−x)2+(9−y)2+(9−z)2+(9−m)2+(9−n)2=20．
易知n≥m+1≥z+2≥y+3≥x+4，x+y+z+m+n≤5n−10，得n≥11．
又因为(9−x)2+(9−y)2+(9−z)2+(9−m)2+(9−n)2=20，
所以9−x，9−y，9−z，9−m，9−n这5个数的绝对值不超过4，所以9−n≥−4，即11≤n≤13，
当n=13时，可得(9−x)2+(9−y)2+(9−z)2+(9−m)2=4，无解；
当n=12时，可得(9−x)2+(9−y)2+(9−z)2+(9−m)2=11，由xx，y，z，m，n∈N*，得这四个平方数只能为9，1，0，1，则x=6，y=8，z=9，m=10，符合题意，此时z−9=0；
当n=11时，(9−x)2+(9−y)2+(9−z)2+(9−m)2=16，无解．
综上，z−9=0．
故答案为：0．
根据平均数，方差的定义可得x+y+z+m+n=45，(9−x)2+(9−y)2+(9−z)2+(9−m)2+(9−n)2=20，分析可得11≤n≤13，分n取11，12，13讨论求解．
本题考查平均数，方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15.【答案】解：(1)由题意知：第10−19届亚运会中国队获得的金牌数的极差为201−94=107．
(2)剩余9届亚运会中国队获得的金牌数的平均数为：19×(94+183+129+150+165+199+151+132+201)=156．
(3)可判断出s12>s22，理由如下：
因为第10～12届亚运会中国队获得的金牌数的波动性，明显比第13～15届亚运会中国队获得的金牌数的波动性大，所以s12>s22．
【解析】(1)将数据从小到大排列，找出最大值及最小值，解出极差即可；
(2)剔除第12届亚运会中国队获得的金牌数数据，计算出平均数即可；
(3)通过折线图观察比较出第10～12届亚运会中国队获得的金牌数与第13～15届亚运会中国队获得的金牌数的波动情况即可判断．
本题主要考查统计的知识，基础题．
16.【答案】解：(1)∵a=(3,λ),b=(7,λ−3)且a//b，
∴3(λ−3)=7λ，∴λ=−94；
(2)①因为a⊥(a−b)，
所以a⋅(a−b)=a2−a⋅b=0，
即9+λ2−(21+λ2−3λ)=0，解得λ=4，
由a=(3,4),b=(7,1)，得a⋅b=21+4=25，
|a|= 9+16=5,|b|= 49+1=5 2，
故csθ=a⋅b|a||b|=2525 2= 22，
因为θ∈[0,π]，所以θ=π4；
②由题意得B=π4,AB=5,BC= 2，
由余弦定理得AC= 25+2−2×5× 2×csπ4= 17，
故△ABC的周长为5+ 2+ 17．
【解析】(1)根据向量的平行公式即可得λ的值．
(2)①先由向量垂直关系得λ=4，再由向量夹角公式csθ=a⋅b|a||b|得θ的大小；②在三角形中由余弦定理得AC边长，即可得到周长．
本题考查平面向量的坐标运算，考查向量平行与垂直的性质，考查余弦定理，属中档题．
17.【答案】解：(1)由题意得1−cs2B+sin2A−sin2C=−sinAsinB，
即sin2B+sin2A−sin2C=−sinAsinB，
由正弦定理得AC2+BC2−AB2=−BC⋅AC，
由余弦定理得csC=AC2+BC2−AB22BC⋅AC=−12，
因为C∈(0,π)，所以C=2π3；
(2)如图，
因为DC⊥CB，所以∠ACD=2π3−π2=π6，
在△ACD中，由正弦定理得1sinπ6= 3sin∠ADC，
解得sin∠ADC= 32，
则∠ADC=2π3或π3(舍去)，
得A=π−2π3−π6=π6=B，则BC=AC= 3，
故S=12× 3× 3×sin2π3=3 34．
【解析】(1)由正弦定理及余弦定理化简即可得出所求角；
(2)由正弦定理求出∠ADC，再由三角形的面积公式求解．
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)一区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为(0.020+0.024+0.020+0.020)×10=0.84，
则该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数为500×0.84=420；
二区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为(0.024+0.016)×10=0.4，
则该工厂二区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数为500×0.40=200．
(2)一区生产车间生产的零件尺寸小于或等于M的频率为：
0.004×10+0.012×10+0.02×(M−60)=0.02M−1.04；
二区生产车间生产的零件尺寸大于M的频率为：
0.024×(70−M)+0.016×10=1.84−0.024M，
故H(M)=(0.02M−1.04)×0.02×5000+(1.84−0.024M)×0.01×5000=0.8M−12，
因为M∈(60,70]，所以H(M)∈(36,44]，
又因为采用方案二重新测量的总费用为35万元，
所以从工厂损失的角度考虑，应选择方案二．
【解析】(1)计算出两个生产车间生产的零件尺寸大于60的频率，进而求出两个生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件数；
(2)计算出一区生产车间生产的零件尺寸小于或等于M的频率和二区生产车间生产的零件尺寸大于M的频率，从而得到H(M)=0.8M−12，结合M∈(60,70]，求出H(M)∈(36,44]，与35比较后得到结论．
本题考查离散型随机变量的分布列和期望，是中档题．
19.【答案】解：(1)证明：如图，连接AC，与BD交于点O，
因为AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以AA1⊥BD，
又因为BD⊥A1C，AA1∩A1C=A1，
所以BD⊥平面AA1C，
因为AC⊂平面AA1C，所以AC⊥BD，
因为四边形ABCD是平行四边形，所以四边形ABCD是菱形，则|AB|=|AD|，
因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD，
所以|A1B|2=|A1A|2+|AB|2=|A1A|2+|AD|2=|A1D|2，即|A1B|=|A1D|．
(2)证明：延长EF交AA1于点M，连接MH，
由中位线性质可得EF//A1B1，因为A1B1//AB//CD，所以EF//CD，
因为EF⊄平面A1CD，CD⊂平面A1CD，
所以EF//平面A1CD，
所以M为AA1的中点，则MH//A1D，
因为MH⊄平面A1CD，A1D⊂平面A1CD，所以MH//平面A1CD，
因为EF∩MH=M，所以平面EFH//平面A1CD．
(3)设|AB|=m，m>0.因为∠ABC=π3，
所以|AC|=|BC|=|AB|=m，则|A1B|= m2+1，|A1D|=|A1C|= m2+1,S△A1CD=12⋅m⋅ m2+1−14m2=12 34m4+m2，
设点B到平面A1CD的距离为d，A1B与平面A1CD所成的角为α，
则sinα=d|A1B|=d m2+1，
因为VA1−BCD=13⋅|AA1|⋅S△BCD=13S△BCD=13× 34m2= 312m2，
VB−A1CD=13⋅d⋅S△A1CD=13⋅d⋅12 34m4+m2，
所以13⋅d⋅12 34m4+m2= 312m2，得d= 3m 3m2+4，
所以sinα= 3m 3m2+4 m2+1= 3 3m2+4m2+7≤ 3 2 12+7= 32+ 3=2 3−3，
当且仅当m4=43，即m2=2 33时，等号成立，此时A1B与平面A1CD所成的角最大，
ABCD−A1B1C1D1的体积V=13×1×(2× 34m2+2×14× 34m2+ 2× 34m2×2×14× 34m2)
=13( 32×2 33+12× 34×2 33+ 32×2 33×12× 34×2 33)
=712．
【解析】(1)证明线面垂直，利用垂直条件及题意即可证明；
(2)证明出平面EFH中的两条相交直线均平行于平面A1CD即可；
(3)结合题意先求出|AB|，再求出ABCD−A1B1C1D1的体积即可．
本题考查空间位置关系的判定以及基本不等式求最值的应用，属于难题．
1.样本数据12，11，7，15，9，10，12，8的中位数是( )
A. 12B. 11C. 10D. 10.5
2.为了提升学生的文学素养，某校将2024年5月定为读书月，要求每个学生都只选择《平凡的世界》与《麦田里的守望者》中的一本.已知该校高一年级学生选择《平凡的世界》的人数为450，选择《麦田里的守望者》的人数为550.现采用按比例分层随机抽样的方法，从高一学生中抽取20名学生进行阅读分享，则被抽到的这20名学生中选择了《平凡的世界》的人数为( )
A. 9B. 10C. 11D. 12
3.已知在R软件的控制台中，输入“sample(1：20，4，replace=F)”，按回车键，得到的4个1～20范围内的不重复的整数随机数为12，6，10，4，则这4个整数的标准差为( )
A. 2 10B. 10C. 40D. 10
4.如图所示，BC=2AD,DC=4DH，则BH=( )
A. 34BA+78BCB. 23BA+35BCC. 34BA+58BCD. 34BA+56BC
5.下列命题是真命题的是( )
A. 上底面与下底面相似的多面体是棱台
B. 正六棱锥的侧面为等腰三角形，且等腰三角形的底角大于π3
C. 若直线l在平面α外，则l//α
D. 若一个几何体所有的面均为三角形，则这个几何体是三棱锥
6.已知样本数据x1，x2，⋯，x200的平均数为14，样本数据y1，y2，⋯，y600的平均数为a，若样本数据x1，x2，⋯，x200，y1，y2，⋯，y600的平均数为a+1，则a=( )
A. 12B. 10C. 2D. 11
7.已知|OA|=|OB|=|OC|，且AB+AC+OA=0，则BA在OA上的投影向量为( )
A. 12OAB. −12OAC. 14OAD. OA
8.P是△ABC内一点，∠ABP=45°，∠PBC=∠PCB=∠ACP=30°，则tan∠BAP=( )
A. 23B. 25C. 13D. 12
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若z=k2−2k+ki(k∈R)，则下列结论正确的是( )
A. 若z为实数，则k=0
B. 若zi=1+3i，则k=3
C. 若z在复平面内对应的点位于第一象限，则k>3
D. 若z+z−=−2，则|z|= 2
10.已知某省2023年各地市地区生产总值的占比如图所示，则根据图中关于该省2023年各地市地区生产总值占比的统计情况，下列结论正确的是( )
A. A市2023年地区生产总值比B市2023年地区生产总值多
B. 图中11个地市2023年地区生产总值占比的40%分位数为5.92%
C. 图中11个地市2023年地区生产总值占比的70%分位数为4.58%
D. 若该省2024年各地市地区生产总值的增长率相等，则该省2024年各地市地区生产总值的占比不变
11.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正方体每个顶点均有3个面角，每个面角均为π2，故其各个顶点的曲率均为2π−3×π2=π2.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC=2，AA1=32，点C的曲率为π3，D，E，F分别为AC，AB，A1C1的中点，则( )
A. 直线BF//平面A1DE
B. 在三棱柱ABC−A1B1C1中，点A的曲率为5π6
C. 在四面体A1ADE中，点E的曲率小于π
D. 二面角A1−DE−A的大小为π3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.复数(2+i3)i的虚部为______．
13.已知某圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的侧面积为______，该圆柱的内切球的体积为______．
14.为促进学生德、智、体、美、劳全面发展，某校开发出文化艺术课程、科技课程、体育课程等多类课程.为了解该校各班参加科技课程的人数，从全校随机抽取5个班级，设这5个班级参加科技课程的人数分别为x，y，z，m，n(x
15.(本小题13分)
已知第10～19届亚运会中国队获得的金牌数如下图所示．
(1)求第10∼19届亚运会中国队获得的金牌数的极差；
(2)剔除第12届亚运会中国队获得的金牌数数据，求剩余9届亚运会中国队获得的金牌数的平均数；
(3)设第10～12届亚运会中国队获得的金牌数的方差为s12，第13～15届亚运会中国队获得的金牌数的方差为s22，不通过计算，试比较s12与s22的大小，并说明理由．
16.(本小题15分)
已知向量a=(3,λ),b=(7,λ−3)．
(1)若a//b，求λ的值．
(2)设a⊥(a−b)，向量a与b的夹角为θ．
①求θ的大小；
②在△ABC中，B=θ,AB=|a|,BC=15|b|，求△ABC的周长．
17.(本小题15分)
在△ABC中，1+sinAsinB=cs2B−sin2A+sin2C.
(1)求角C的大小；
(2)若D在边AB上，DC⊥CB，且AC= 3,AD=1，求△ABC的面积S．
18.(本小题17分)
已知某工厂一区生产车间与二区生产车间均生产某种型号的零件，这两个生产车间生产的该种型号的零件尺寸的频率分布直方图如图所示(每组区间均为左开右闭)．
尺寸大于M的零件用于大型机器中，尺寸小于或等于M的零件用于小型机器中．
(1)若M=60，试分别估计该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件和二区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数．
(2)若M∈(60,70]，现有足够多的来自一区生产车间与二区生产车间的零件，分别用于大型机器、小型机器各5000台的生产，每台机器仅使用一个该种型号的零件．
方案一：直接将一区生产车间生产的零件用于大型机器中，其中用了尺寸小于或等于M的零件的大型机器每台会使得工厂损失200元；直接将二区生产车间生产的零件用于小型机器中，其中用了尺寸大于M的零件的小型机器每台会使得工厂损失100元．
方案二：重新测量一区生产车间与二区生产车间生产的零件尺寸，并正确匹配型号，重新测量的总费用为35万元．
请写出采用方案一，工厂损失费用的估计值H(M)(单位：万元)的表达式，并从工厂损失的角度考虑，选择合理的方案．
19.(本小题17分)
如图，在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD为平行四边形，BD⊥A1C，且E，F，H分别为线段BB1，A1B，AD的中点．
(1)证明：|A1B|=|A1D|．
(2)证明：平面EFH//平面A1CD．
(3)若AB=2A1B1,AA1=1,∠ABC=π3，当A1B与平面A1CD所成的角最大时，求四棱台ABCD−A1B1C1D1的体积V．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：将数据从小到大排列：7，8，9，10，11，12，12，15．
故这组数据的中位数是10+112=10.5．
故选：D．
将数据从小到大排列，按照法则求出中位数即可．
本题考查中位数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】A
【解析】解：依题意，被抽到的这20名学生中选择了《平凡的世界》的人数为20×450450+550=9．
故选：A．
利用分层抽样比与总体抽样比相等即可求出答案．
本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：数据的平均数为12+6+10+44=8，
这4个数据的方差为14[(12−8)2+(6−8)2+(10−8)2+(4−8)2]=10，其标准差为 10．
故选：B．
结合平均数、标准差公式，即可求解．
本题主要考查平均数、标准差公式，是基础题．
4.【答案】C
【解析】解：根据题意，可得BH=BA+AD+DH，将AD=12BC，DH=14DC代入，得BH=BA+12BC+14DC，
因为DC=DA+AB+BC=12BC−BA，所以BH=BA+12BC+14(12BC−BA)=34BA+58BC．
故选：C．
由题意，以BA,BC为基底，根据平面向量的加减法则与数乘向量的运算法则加以计算，可得答案．
本题主要考查了梯形的性质、平面向量的线性运算法则及其应用，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：正方体的上底面与下底面相似，但正方体不是棱台，故A错误；
正六棱锥的侧面为等腰三角形，设其中一个侧面为PAB，底面中心为O，
则AO=AB
若直线l在平面α外，则l//α或直线l与平面α相交，故C错误；
如图所示的几何体所有的面均为三角形，但该几何体不是三棱锥，故D错误；
故选：B．
A、D选项找反例，C选项找对应知识点，B选项放在三角形中分析即可．
本题考查空间线面关系的应用，属于中档题．
6.【答案】B
【解析】解：根据题意可得：
200200+600×14+600200+600×a=a+1，解得a=10．
故选：B．
依题意总平均数等于总数据和除以总数据的个数，直接解出即可．
本题考查平均数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】A
【解析】解：如图，依题意可得：点O为△ABC的外心，
因为AB+AC+OA=0，所以AB+OC=0，
所以AB=CO，则四边形ABOC为菱形，
设AO∩BC=M，则AO=2AM，
因为AO⊥BC，所以BA在OA上的投影向量为MA=12OA．
故选：A．
由已知，可得点O为△ABC的外心，四边形ABOC为菱形，则BA在OA上的投影向量为MA=12OA．
本题考查投影向量的求法，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：在△PBC中，∠PCB=∠PBC=30°，∠BPC=120°，
设PB=PC=1，则BC2=PB2+PC2−2PB⋅PCcs120°=1+1−2×1×1×(−12)=3，可得BC= 3．
在△ABC中，∠ABC=∠ABP+∠PBC=75°，∠ACB=∠PCB+∠ACP=60°，
所以∠BAC=180°−∠ABC−∠ACB=45°，
由正弦定理得BCsin∠BAC=ABsin∠ACB，即 3sin45°=ABsin60∘，可得AB= 3sin60°sin45°=3 22，
在△ABP中，由余弦定理得AP2=AB2+BP2−2AB⋅BPcs45°=92+1−2×3 22×1× 22=52，可得AP= 52= 102，
所以cs∠BAP=AB2+AP2−BP22AB⋅AP=92+52−12×3 22× 102=2 55，可得sin∠BAP= 1−cs2∠BAP= 55(舍负)．
因此，tan∠BAP=sin∠BAPcs∠BAP=12．
故选：D．
根据题意，△PBC是顶角为120°的等腰三角形，设PB=PC=1，由余弦定理求出BC= 3，然后利用三角形内角和定理算出∠BAC=45°，根据正弦定理求出AB=3 22，进而在△ABP中利用余弦定理算出AP长，再算出cs∠BAP，结合同角三角函数的基本关系算出tan∠BAP的值．
本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形、同角三角函数的基本关系及其应用，属于中档题．
9.【答案】AD
【解析】解：A选项，若z为实数，则k=0，A正确．
B选项，若zi=1+3i，则z=1+3ii=(1+3i)ii2=3−i，
则k2−2k=3,k=−1,解得k=−1，B错误．
C选项，若z在复平面内对应的点位于第一象限，则k2−2k>0,k>0,解得k>2，C错误．
D选项，若z+z−=−2，则2(k2−2k)=−2，
解得k=1，z=−1+i，则|z|= 1+1= 2,D正确．
故选：AD．
A选项，根据复数的类型得到方程，求出k=0；B选项，利用复数除法法则计算出z=3−i，从而得到方程组，求出答案；C选项，由所在象限得到不等式组，求出k>2；D选项，计算出k=1，z=−1+i，利用复数模长公式求出答案．
本题考查复数的几何意义，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：由图中统计数据，可得A市2023年地区生产总值比B市2023年地区生产总值多，故A正确；
因为11×40%=4.4，所以图中11个地市2023年地区生产总值占比的40%分位数为5.92%，故B正确；
因为11×70%=7.7，所以图中11个地市2023年地区生产总值占比的70%分位数为10.1%，故C错误；
若该省2024年各地市地区生产总值的增长率相等，则该省2024年各地市地区生产总值的占比不变，D正确．
故选：ABD．
根据统计图及百分位数的定义一一判断即可．
本题主要考查了统计图的应用，属于基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：选项A，连接CF，
因为D，E，F分别为AC，AB，A1C1的中点，
所以DE//BC，CD=A1F，CD//A1F，
所以四边形A1DCF是平行四边形，
所以A1D//CF，
又DE∩A1D=D，DE、A1D⊂平面A1DE，BC∩CF=C，BC、CF⊂平面BCF，
所以平面A1DE//平面BCF，
因为BF⊂平面BCF，所以BF//平面A1DE，即选项A正确；
选项B，因为点C的曲率为π3，
所以2π−(2×π2+∠ACB)=π3，解得∠ACB=2π3，
又AC=BC，所以∠CAB=∠ABC=π6，
所以点A的曲率为2π−(2×π2+π6)=5π6，即选项B正确；
选项C，因为DE//BC，所以∠AED=∠ABC=π6，
由题意知，AD=DE=1，AE= 3，AA1=32，
所以A1D= AA12+AD2= 132，A1E= AA12+AE2= 212，
在△A1DE中，由余弦定理知，cs∠A1ED=DE2+A1E2−A1D22DE⋅A1E=1+214−1342×1× 212= 217，
在△A1AE中，sin∠A1EA=AA1A1E32 212= 217，
即cs∠A1ED=sin∠A1EA，且∠A1ED，∠A1EA均为锐角，
所以∠A1ED+∠A1EA=π2，
所以在四面体A1ADE中，点E的曲率为2π−(∠AED+∠A1ED+∠A1EA)=2π−(π6+π2)=4π3>π，即选项C错误；
选项D，由选项C可知，cs∠A1ED= 217，
所以sin∠A1ED= 1−cs2∠A1ED=2 77，
所以S△A1DE=12DE⋅A1Esin∠A1ED=12⋅1⋅ 212⋅2 77= 32，
而S△ADE=12AD⋅DEsin∠ADE=12⋅1⋅1⋅ 32= 34，
设二面角A1−DE−A的大小为θ，
则csθ=S△ADES△A1DE= 34 32=12，所以θ=π3，
即二面角A1−DE−A的大小为π3，故选项D正确．
故选：ABD．
选项A，连接CF，先证平面A1DE//平面BCF，再由面面平行的性质定理，即可判断；选项B，根据点C的曲率可得∠ACB的大小，再计算点A的曲率即可；选项C，结合勾股定理与余弦定理，可证∠A1ED+∠A1EA=π2，再求四面体A1ADE中，点E的曲率即可；选项D，利用面积投影法求二面角即可．
本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握面面平行的判定定理与性质定理，理解曲率的计算方法，会用面积投影法求二面角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12.【答案】2
【解析】解：∵(2+i3)i=(2−i)i=2i−i2=1+2i，∴复数(2+i3)i的虚部为2．
故答案为：2．
由复数的运算结合复数的几何意义求出即可．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
13.【答案】4π 43π
【解析】解：如图所示：
依题意圆柱的轴截面是面积为4的正方形，可得该圆柱的底面半径为1，高为2，
则该圆柱的侧面积为2π×1×2=4π．
易得该圆柱的内切球的半径为1，则该圆柱的内切球的体积为43π×13=43π．
故答案为：4π，43π．
(1)由圆柱的轴截面是面积为4的正方形，得到圆柱的底面半径和高，应用圆柱的面积公式求解即可；
(2)依据圆柱的底面半径和高，得到内切球的半径，应用球的体积公式求解即可．
本题考查的知识点：圆柱和球的关系，主要考查学生的视图能力和运算能力，属于中档题．
14.【答案】0
【解析】解：依题意得x+y+z+m+n5=9,(9−x)2+(9−y)2+(9−z)2+(9−m)2+(9−n)25=4，
化简得x+y+z+m+n=45，(9−x)2+(9−y)2+(9−z)2+(9−m)2+(9−n)2=20．
易知n≥m+1≥z+2≥y+3≥x+4，x+y+z+m+n≤5n−10，得n≥11．
又因为(9−x)2+(9−y)2+(9−z)2+(9−m)2+(9−n)2=20，
所以9−x，9−y，9−z，9−m，9−n这5个数的绝对值不超过4，所以9−n≥−4，即11≤n≤13，
当n=13时，可得(9−x)2+(9−y)2+(9−z)2+(9−m)2=4，无解；
当n=12时，可得(9−x)2+(9−y)2+(9−z)2+(9−m)2=11，由x
当n=11时，(9−x)2+(9−y)2+(9−z)2+(9−m)2=16，无解．
综上，z−9=0．
故答案为：0．
根据平均数，方差的定义可得x+y+z+m+n=45，(9−x)2+(9−y)2+(9−z)2+(9−m)2+(9−n)2=20，分析可得11≤n≤13，分n取11，12，13讨论求解．
本题考查平均数，方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15.【答案】解：(1)由题意知：第10−19届亚运会中国队获得的金牌数的极差为201−94=107．
(2)剩余9届亚运会中国队获得的金牌数的平均数为：19×(94+183+129+150+165+199+151+132+201)=156．
(3)可判断出s12>s22，理由如下：
因为第10～12届亚运会中国队获得的金牌数的波动性，明显比第13～15届亚运会中国队获得的金牌数的波动性大，所以s12>s22．
【解析】(1)将数据从小到大排列，找出最大值及最小值，解出极差即可；
(2)剔除第12届亚运会中国队获得的金牌数数据，计算出平均数即可；
(3)通过折线图观察比较出第10～12届亚运会中国队获得的金牌数与第13～15届亚运会中国队获得的金牌数的波动情况即可判断．
本题主要考查统计的知识，基础题．
16.【答案】解：(1)∵a=(3,λ),b=(7,λ−3)且a//b，
∴3(λ−3)=7λ，∴λ=−94；
(2)①因为a⊥(a−b)，
所以a⋅(a−b)=a2−a⋅b=0，
即9+λ2−(21+λ2−3λ)=0，解得λ=4，
由a=(3,4),b=(7,1)，得a⋅b=21+4=25，
|a|= 9+16=5,|b|= 49+1=5 2，
故csθ=a⋅b|a||b|=2525 2= 22，
因为θ∈[0,π]，所以θ=π4；
②由题意得B=π4,AB=5,BC= 2，
由余弦定理得AC= 25+2−2×5× 2×csπ4= 17，
故△ABC的周长为5+ 2+ 17．
【解析】(1)根据向量的平行公式即可得λ的值．
(2)①先由向量垂直关系得λ=4，再由向量夹角公式csθ=a⋅b|a||b|得θ的大小；②在三角形中由余弦定理得AC边长，即可得到周长．
本题考查平面向量的坐标运算，考查向量平行与垂直的性质，考查余弦定理，属中档题．
17.【答案】解：(1)由题意得1−cs2B+sin2A−sin2C=−sinAsinB，
即sin2B+sin2A−sin2C=−sinAsinB，
由正弦定理得AC2+BC2−AB2=−BC⋅AC，
由余弦定理得csC=AC2+BC2−AB22BC⋅AC=−12，
因为C∈(0,π)，所以C=2π3；
(2)如图，
因为DC⊥CB，所以∠ACD=2π3−π2=π6，
在△ACD中，由正弦定理得1sinπ6= 3sin∠ADC，
解得sin∠ADC= 32，
则∠ADC=2π3或π3(舍去)，
得A=π−2π3−π6=π6=B，则BC=AC= 3，
故S=12× 3× 3×sin2π3=3 34．
【解析】(1)由正弦定理及余弦定理化简即可得出所求角；
(2)由正弦定理求出∠ADC，再由三角形的面积公式求解．
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)一区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为(0.020+0.024+0.020+0.020)×10=0.84，
则该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数为500×0.84=420；
二区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为(0.024+0.016)×10=0.4，
则该工厂二区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数为500×0.40=200．
(2)一区生产车间生产的零件尺寸小于或等于M的频率为：
0.004×10+0.012×10+0.02×(M−60)=0.02M−1.04；
二区生产车间生产的零件尺寸大于M的频率为：
0.024×(70−M)+0.016×10=1.84−0.024M，
故H(M)=(0.02M−1.04)×0.02×5000+(1.84−0.024M)×0.01×5000=0.8M−12，
因为M∈(60,70]，所以H(M)∈(36,44]，
又因为采用方案二重新测量的总费用为35万元，
所以从工厂损失的角度考虑，应选择方案二．
【解析】(1)计算出两个生产车间生产的零件尺寸大于60的频率，进而求出两个生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件数；
(2)计算出一区生产车间生产的零件尺寸小于或等于M的频率和二区生产车间生产的零件尺寸大于M的频率，从而得到H(M)=0.8M−12，结合M∈(60,70]，求出H(M)∈(36,44]，与35比较后得到结论．
本题考查离散型随机变量的分布列和期望，是中档题．
19.【答案】解：(1)证明：如图，连接AC，与BD交于点O，
因为AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以AA1⊥BD，
又因为BD⊥A1C，AA1∩A1C=A1，
所以BD⊥平面AA1C，
因为AC⊂平面AA1C，所以AC⊥BD，
因为四边形ABCD是平行四边形，所以四边形ABCD是菱形，则|AB|=|AD|，
因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD，
所以|A1B|2=|A1A|2+|AB|2=|A1A|2+|AD|2=|A1D|2，即|A1B|=|A1D|．
(2)证明：延长EF交AA1于点M，连接MH，
由中位线性质可得EF//A1B1，因为A1B1//AB//CD，所以EF//CD，
因为EF⊄平面A1CD，CD⊂平面A1CD，
所以EF//平面A1CD，
所以M为AA1的中点，则MH//A1D，
因为MH⊄平面A1CD，A1D⊂平面A1CD，所以MH//平面A1CD，
因为EF∩MH=M，所以平面EFH//平面A1CD．
(3)设|AB|=m，m>0.因为∠ABC=π3，
所以|AC|=|BC|=|AB|=m，则|A1B|= m2+1，|A1D|=|A1C|= m2+1,S△A1CD=12⋅m⋅ m2+1−14m2=12 34m4+m2，
设点B到平面A1CD的距离为d，A1B与平面A1CD所成的角为α，
则sinα=d|A1B|=d m2+1，
因为VA1−BCD=13⋅|AA1|⋅S△BCD=13S△BCD=13× 34m2= 312m2，
VB−A1CD=13⋅d⋅S△A1CD=13⋅d⋅12 34m4+m2，
所以13⋅d⋅12 34m4+m2= 312m2，得d= 3m 3m2+4，
所以sinα= 3m 3m2+4 m2+1= 3 3m2+4m2+7≤ 3 2 12+7= 32+ 3=2 3−3，
当且仅当m4=43，即m2=2 33时，等号成立，此时A1B与平面A1CD所成的角最大，
ABCD−A1B1C1D1的体积V=13×1×(2× 34m2+2×14× 34m2+ 2× 34m2×2×14× 34m2)
=13( 32×2 33+12× 34×2 33+ 32×2 33×12× 34×2 33)
=712．
【解析】(1)证明线面垂直，利用垂直条件及题意即可证明；
(2)证明出平面EFH中的两条相交直线均平行于平面A1CD即可；
(3)结合题意先求出|AB|，再求出ABCD−A1B1C1D1的体积即可．
本题考查空间位置关系的判定以及基本不等式求最值的应用，属于难题．
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