河南省创新发展联盟2023-2024学年高一下学期7月期末检测数学试题

这是一份河南省创新发展联盟2023-2024学年高一下学期7月期末检测数学试题，共10页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，已知是第三象限角，，则，在正中，D为BC的中点，则，在正四棱柱中，，，，则等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册占30%，必修第二册占70%．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设复数，则（ ）
A．B．C．－2D．
2．已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．某公司共有940名员工，其中女员工有400人．为了解他们的视力状况，用分层随机抽样（按男员工，女员工进行分层）的方法从中抽取一个容量为47的样本，则男员工的样本量为（ ）
A．21B．24C．27D．30
4．若某圆台的上底面半径、下底面半径分别为1，2，高为5，将该圆台的下底面半径扩大为原来的2倍，上底面半径与高保持不变，则新圆台的体积比原圆台的体积增加了（ ）
A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍
5．已知是第三象限角，，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知甲、乙、丙三人的年龄均为正整数，且甲的年龄大于乙的年龄，则“乙的年龄大于丙的年龄”是“甲与丙的年龄之差不小于2”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
7．从正四面体的6条棱中任选2条，这2条棱所在直线互相垂直的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．苏州双塔又称罗汉院双塔，位于江苏省苏州市风凰街定慧寺巷的双塔院内，二塔“外貌”几乎完全一样（高度相等，二塔根据位置称为东塔和西塔）某测绘小组为了测量苏州双塔的实际高度，选取了与塔底A，B（A为东塔塔底，B为西塔塔底）在同一水平面内的测量基点C，并测得米．在点C测得东塔顶的仰角为45°，在点C测得西塔顶的仰角为，且，则苏州双塔的高度为（ ）
A．30米B．33米C．36米D．44米
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．在正中，D为BC的中点，则（ ）
A．B．
C．D．在上的投影向量为
10．在正四棱柱中，，，，则（ ）
A．正四棱柱的侧面积为24
B．与平面所成角的正切值为
C．异面直线与所成角的余弦值为
D．三棱锥内切球的半径为
11．已知函数，则（ ）
A．的图象关于点对称
B．的图象关于直线对称
C．函数的零点个数为5
D．函数的零点个数为9
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．
12．若一组数据3，4，6，m，8，3，7，9的第40百分位数为6，则正整数的最小值为______．
13．已知向量，，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是______．（用区间表示）．
14．在底面为正方形的四棱锥中，平面，，，点在线段上，平面，则四面体外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知某校初二年级有1200名学生，在一次数学测试中，该年级所有学生的数学成绩全部在内．现从该校初二年级的学生中随机抽取100名学生的数学成绩，按，，，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求a的值；
（2）估计该校初二年级学生这次数学测试的平均分（各组数据以该组数据的中点值作代表）；
（3）记这次测试数学成绩不低于85分为“优秀”，估计该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的学生人数．
16．（15分）
已知函数．
（1）若为偶函数，求的值；
（2）若的值域为，求的取值范围；
（3）当时，求的单调递减区间．
17．（15分）
甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中，则此人继续投篮，若未命中，则换对方投篮．已知甲每次投篮的命中率均为0.7，乙每次投篮的命中率均为0.5，甲、乙每次投篮的结果相互独立．
（1）若第1次投篮的人是甲，求第3次投篮的人是甲的概率；
（2）若第1次投篮的人是乙，求前5次投篮中乙投篮次数不少于4的概率．
18．（17分）
在锐角中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且．
（1）若，求周长的最大值．
（2）设，．
（ⅰ）求外接圆的半径；
（ⅱ）求的面积．
19．（17分）
如图，在正四棱雉中，．
（1）证明：平面平面．
（2）若以为球心，半径为的球与直线只有1个公共点，求二面角的正切值．
（3）已知当时，取得最小值．请根据这条信息求正四棱锥体积的最大值．
2023-2024学年高一下学期期末检测
数学试卷参考答案
1．A ．
2．B 依题意得，则，所以中元素的个数为3．
3．C 设男员工的样本量为，由分层随机抽样的定义可得，解得．
4．B 设新圆台与原圆台的体积分别为，，则，所以新圆台的体积比原圆台的体积增加了倍．
5．A 因为是第三象限角，，所以，，
所以．
6．C 若乙的年龄大于丙的年龄，则乙与丙的年龄之差不小于1．因为甲的年龄大于乙的年龄，所以甲与乙的年龄之差不小于1，所以甲与丙的年龄之差不小于2，反之不成立．故“乙的年龄大于丙的年龄”是“甲与丙的年龄之差不小于”的充分不必要条件．
7．D 从正四面体的6条棱中任选2条的所有情况为，，，，
，，，，，，，,,，其中异面的3对棱互相垂直，所以这2条棱所在直线互相垂直的概率为．
8．B 设苏州双塔的高度为米，依题意可得米，米．
因为0.75，所以由余弦定理得，解得．
9． ，A错误．
，则，正确．
，C正确．
在上的投影向量为，正确．
10． 正四棱柱的侧面积为，正确．
设，易证平面，则与平面所成的角为，通过计算可得，，则，B正确．
易证，则异面直线与所成的角为或其补角，
通过计算可得，
则，C错误．
三棱锥的表面积，
三棱锥的体积，
所以三棱锥内切球的半径为，D正确．
11．ACD ，，，A正确，B错误．
由，得，
因为，所以由，得，
结合图象可知，函数的零点个数为5，C正确．
由，得，
因为，所以由，得，，
结合图象可知，函数的零点个数为9，D正确．
12．6 剔除，将剩余7个数按照从小到大的顺序排列为3，3，4，6，7，8，9，因为，且数据3，4，6，m，8，3，7，9的第40百分位数为6，所以．
13．
因为与的夹角为锐角，
所以解得．
14．
连接交于，连接，
因为，共面，且平面，所以，易知为的中点，
所以为的中点．
设四面体外接球的球心为，则平面，
设，则，
所以，解得，
故四面体外接球的表面积为．
15．解：（1）由频率分布直方图可得，解得．
（2）由题意，估计平均分分
（3）由频率分布直方图可知这次测试数学成绩为“优秀”的频率为，
则该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的频率为0.15，
故估计该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的学生人数为．
16．解：（1）因为为偶函数，所以，
所以，则恒成立，所以，
所以，则．
（2）因为的值域为，所以可以取遍所有正数，
所以，
解得．
（3）当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
由，得，
在上单调递增，
根据复合函数的单调性可知的单调递减区间为．
17．解：（1）若第1次投篮的人是甲，且第3次投篮的人是甲，则甲第1次和第2次投篮都命中或第1次未命中、第2次乙也未命中，
故所求概率为．
（2）前5次投篮中乙投篮次数为5的概率．
若前5次投篮中乙投篮次数为4，则乙前3次投篮均命中且第4次投篮未命中或前3次乙有1次投篮未命中且甲投篮未命中，
所以前5次投篮中乙投篮次数为4的概率
．
故所求概率为．
18．解：（1）由余弦定理得，即，
所以，
因为，
所以，
则，当且仅当时，等号成立，
所以周长的最大值为6．
（2）（ⅰ）由正弦定理得，，
代入，得，
即．
因为，所以．
（ⅱ）的面积．
因为，所以．
因为是锐角，所以，则，所以．
因为，所以．
又因为A，B是锐角，所以，
所以，所以，
则，所以
故．
19．（1）证明：设与交于点，连接，则底面．
因为平面，所以．
在正四棱雉中，底面为正方形，所以，
因为，所以平面．
又平面PAC，所以平面平面PBD．
（2）解：因为以为球心，半径为的球与直线BC只有1个公共点，所以点P到直线BC的距离为．
取的中点，连接，，因为，所以，，
所以，且为二面角的平面角．
因为，所以，
所以，则，即二面角的正切值为4．
（3）解：设，则，
即，其中，
所以正四棱雉的体积
，．
因为当时，取得最小值，
所以当时，取得最大值，
所以正四棱雉体积的最大值为．