2021年江苏省淮安市淮阴区开明中学中考数学第一次模拟试卷

这是一份2021年江苏省淮安市淮阴区开明中学中考数学第一次模拟试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）4的绝对值是（ ）
A．4B．﹣4C．±4D．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2a+3b＝5abB．（﹣a2）3＝a6
C．（a+b）2＝a2+b2D．2a2•3b2＝6a2b2
3．（3分）下列四个图形中，中心对称图形是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．22纳米＝0.000000022米，将0.000000022用科学记数法表示为（ ）
A．2.2×108B．2.2×10﹣8C．0.22×10﹣7D．22×10﹣9
5．（3分）点（﹣1，4）在反比例函数y＝的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）
A．（4，﹣1）B．（﹣，1）C．（﹣4，﹣1）D．（，2）
6．（3分）如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC．若∠A＝35°，∠C＝24°，则∠D的度数是（ ）
A．24°B．59°C．60°D．69°
7．（3分）要从甲、乙、丙、丁四名射击选手中选择一个成绩优秀且发挥稳定的人参加射击比赛，抽取了四人平时10次的射击测试成绩，发现四人10次射击的平均成绩都是9.4环，方差分别是S甲2＝0.90，S乙2＝1.22，S丙2＝0.43，S丁2＝1.68，则应该选择参加比赛的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
8．（3分）如图，向容器甲中匀速的注水，容器甲中水的高度与时间的函数关系可用下面哪一个图象大致刻画（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：（每题3分，共24分，请将答案填在答题卡上）
9．（3分）不等式：﹣x+1＞2的解集是 ．
10．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
11．（3分）如图，添加一个条件： ，使△ADE∽△ACB，（写出一个即可）
12．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是 ．
13．（3分）已知x＝5﹣y，xy＝2，计算3x+3y﹣4xy的值为 ．
14．（3分）已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积是 ．
15．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD＝100°，则∠BCD＝ °．
16．（3分）在平面坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作第一个正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作第二个正方形A2B2CxC1，…，按这样的规律进行下去，第2021个正方形A2021B2021C2021C2020的面积为 ．
三、解答题：（共11小题，共102分，请将答案填在答题卡上）
17．（8分）计算：
（1）计算：（）﹣1﹣2cs30°+|﹣|；
（2）解方程：＝．
18．（6分）先化简，再求值：1﹣÷（2+），其中a＝2．
19．（8分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，交DC的延长线于点E，DA＝DE，求证：四边形ABCD是平行四边形．
20．（10分）2021年体育中考前夕，我校为了了解男生的体育情况随机调查了九年级50名男生“1分钟跳绳”的次数，并将调查所得的数据整理如下：
1分钟跳绳次数的频数、频率分布表：
根据以上图表信息，解答下列问题：
（1）表中的a＝ ，m＝ ；
（2）请把频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应的数据）．
（3）我校九年级共有600名男生，按当前情况请你估计我校九年级男生“1分钟跳绳”有多少人能达满分（次数≥135次达满分）．
21．（8分）如图，有四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀．
（1）从中随机摸出一张，摸出的牌面图形是四边形的概率＝ ；
（2）小明先从中随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，求两人摸出的牌面图形都是轴对称图形的概率（纸牌用A、B、C、D表示）．
22．（8分）位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．
某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为45°．测角仪的高度为1.6m求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41）．
23．（8分）如图，直线y＝kx+2与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0）和点B，与反比例函数y＝的图象在第一象限内交于点C（1，n）．
（1）求反比例函数y＝的表达式；
（2）过x轴上的点D（a，0）（a＞0）作平行于y轴的直线l，分别与直线y＝kx+2和双曲线y＝交于P、Q两点，且2PQ＝QD，求点D的坐标．
24．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D的直线EF交AC于点F，交AB的延长线于点E，且∠BAC＝2∠BDE．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）当CF＝2，BE＝3时，求AF的长．
25．（10分）在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫，已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，12≤x≤24）满足一次函数的关系，部分数据如表：
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件，则该商家最多可以捐赠给社区多少钱用于抗疫？
26．（12分）【问题呈现】某学校的数学社团成员在学习时遇到这样一个题目：
如图1，在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在DC的延长线上，过E作EF∥AB交AC的延长线于点F，当BD：DE＝1时，试说明：AF+EF＝AB；
【方法探究】
社团成员在研究探讨后，提出了下面的思路：
在图1中，延长线段AD，交线段EF的延长线于点M，可以用AAS明△ABD≌△MED，从而得到EM＝AB…
（1）请接着完成剩下的说理过程；
【方法运用】
（2）在图1中，若BD：DE＝k，则线段AF、EF、AB之间的数量关系为 （用含k的式子表示，不需要证明）；
（3）如图2，若AB＝7，EF＝6，AF＝8，BE＝12，求出BD的长；
【拓展提升】
（4）如图3，若DE＝2BD，连接AE，已知AB＝9，tan∠DAF＝，AE＝2，且AF＞EF，则边EF的长＝ ．
27．（14分）如图，直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝x2+bx+c经过B、C两点，且与x轴交于另一点A．
（1）求出点B的坐标和抛物线的解析式；
（2）如图1，点F是抛物线的顶点，连接FB，FC，试求出△FBC的面积；
（3）如图2，点P是线段BC下方的抛物线上的动点（不与点B、C重合），过P作PD∥y轴交BC于点D，作PE⊥BC于E，则△PDE的周长的最大值＝ ．
（4）当（3）中△PDE的周长取得最大值时，将△PDE绕着点D旋转一周，在旋转的过程中，点P、D、E的对应点分别记为P′、D'、E′．
①点P′到点A距离的最大值＝ ．
②当点P′恰好落在坐标轴上时，请直接写出相应的点E′坐标．
参考答案与试题解析
一、选择题：（每题3分，共24分，请将答案涂在答题卡上）
1．（3分）4的绝对值是（ ）
A．4B．﹣4C．±4D．
【解答】解：4的绝对值是4．
故选：A．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2a+3b＝5abB．（﹣a2）3＝a6
C．（a+b）2＝a2+b2D．2a2•3b2＝6a2b2
【解答】解：A、2a+3b，无法计算，故此选项错误；
B、（﹣a2）3＝﹣a6，故此选项错误；
C、（a+b）2＝a2+4ab+b2，故此选项错误；
D、2a2•3b2＝6a2b2，故此选项正确；
故选：D．
3．（3分）下列四个图形中，中心对称图形是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
4．（3分）2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．22纳米＝0.000000022米，将0.000000022用科学记数法表示为（ ）
A．2.2×108B．2.2×10﹣8C．0.22×10﹣7D．22×10﹣9
【解答】解：将0.000000022用科学记数法表示为2.2×10﹣8．
故选：B．
5．（3分）点（﹣1，4）在反比例函数y＝的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）
A．（4，﹣1）B．（﹣，1）C．（﹣4，﹣1）D．（，2）
【解答】解：将点（﹣1，4）代入y＝，
∴k＝﹣4，
∴y＝，
∴点（4，﹣1）在函数图象上，
故选：A．
6．（3分）如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC．若∠A＝35°，∠C＝24°，则∠D的度数是（ ）
A．24°B．59°C．60°D．69°
【解答】解：∵∠A＝35°，∠C＝24°，
∴∠DBC＝∠A+∠C＝59°，
∵DE∥BC，
∴∠D＝∠DBC＝59°，
故选：B．
7．（3分）要从甲、乙、丙、丁四名射击选手中选择一个成绩优秀且发挥稳定的人参加射击比赛，抽取了四人平时10次的射击测试成绩，发现四人10次射击的平均成绩都是9.4环，方差分别是S甲2＝0.90，S乙2＝1.22，S丙2＝0.43，S丁2＝1.68，则应该选择参加比赛的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【解答】解：∵S甲2＝0.90，S乙2＝1.22，S丙2＝0.43，S丁2＝1.68，
∴S丁2＞S乙2＞S甲2＞S丙2，
∴成绩最稳定的是甲，应该选择甲参加比赛；
故选：A．
8．（3分）如图，向容器甲中匀速的注水，容器甲中水的高度与时间的函数关系可用下面哪一个图象大致刻画（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：由容器的形状可知：
注入水的高度随着时间的增长越来越高，
但增长的速度越来越慢，
即图象开始陡峭，后来趋于平缓，
故选：C．
二、填空题：（每题3分，共24分，请将答案填在答题卡上）
9．（3分）不等式：﹣x+1＞2的解集是 x＜﹣1 ．
【解答】解：移项得：﹣x＞2﹣1，
合并得：﹣x＞1，
系数化为1得：x＜﹣1．
故答案为：x＜﹣1．
10．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 x≠7 ．
【解答】解：若代数式有意义，
则x﹣7≠0，
解得：x≠7．
故答案为：x≠7．
11．（3分）如图，添加一个条件： ∠ADE＝∠ACB ，使△ADE∽△ACB，（写出一个即可）
【解答】解：由题意得，∠A＝∠A（公共角），
则可添加：∠ADE＝∠ACB，利用两角法可判定△ADE∽△ACB．
故答案可为：∠ADE＝∠ACB（答案不唯一）．
12．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是 （3，﹣4） ．
【解答】解：点（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣4）．
故答案为：（3，﹣4）．
13．（3分）已知x＝5﹣y，xy＝2，计算3x+3y﹣4xy的值为 7 ．
【解答】解：∵x＝5﹣y，
∴x+y＝5，
当x+y＝5，xy＝2时，
原式＝3（x+y）﹣4xy
＝3×5﹣4×2
＝15﹣8
＝7，
故答案为：7．
14．（3分）已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积是 27π ．
【解答】解：设扇形的半径为r．
则＝6π，
解得r＝9，
∴扇形的面积＝＝27π．
故答案为：27π．
15．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD＝100°，则∠BCD＝ 130 °．
【解答】解：∵∠BOD＝100°，
∴∠A＝50°．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BCD＝180°﹣50°＝130°．
故答案为：130．
16．（3分）在平面坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作第一个正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作第二个正方形A2B2CxC1，…，按这样的规律进行下去，第2021个正方形A2021B2021C2021C2020的面积为 5× ．
【解答】解：设正方形的面积分别为S1，S2……Sn，
根据题意得：AD∥BC∥C1A2∥C2B2，
∴∠BAA1＝B1A1A2＝∠B2A2x，
∵∠ABA1＝∠A1B1A2＝A2B2x＝90°，
∴△BAA1∽△B1A1A2，
在Rt△ADO中，由勾股定理得：
AD＝，tan，
∴tan，
∴B，
∴CA1＝，
同理，，
由正方形的面积公式得：S正方形ABCD＝（）2，
S1＝（）2×2，
S2＝（）2×4＝5×，
由此可得：
第2021个正方形A2021B2021C2021C2020的面积为5×，
故答案为：5×，
三、解答题：（共11小题，共102分，请将答案填在答题卡上）
17．（8分）计算：
（1）计算：（）﹣1﹣2cs30°+|﹣|；
（2）解方程：＝．
【解答】解：（1）（）﹣1﹣2cs30°+|﹣|
＝3﹣2×+
＝3﹣+
＝3；
（2）＝，
x﹣2＝3x，
解得：x＝﹣1，
检验：当x＝﹣1时，x（x﹣2）≠0，
∴x＝﹣1是原方程的根．
18．（6分）先化简，再求值：1﹣÷（2+），其中a＝2．
【解答】解：原式＝1﹣÷[+]
＝1﹣÷
＝1﹣•
＝1﹣
＝﹣
＝，
当a＝2时，
原式＝＝0．
19．（8分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，交DC的延长线于点E，DA＝DE，求证：四边形ABCD是平行四边形．
【解答】证明：∵AD∥BC，
∴∠D＝∠BCE，∠DAE＝∠AFB，
∵DA＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∵∠AFB＝∠CFE，
∴∠DAE＝∠CFE，
∴∠CFE＝∠DEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠DEA，
∴AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
20．（10分）2021年体育中考前夕，我校为了了解男生的体育情况随机调查了九年级50名男生“1分钟跳绳”的次数，并将调查所得的数据整理如下：
1分钟跳绳次数的频数、频率分布表：
根据以上图表信息，解答下列问题：
（1）表中的a＝ 0.2 ，m＝ 16 ；
（2）请把频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应的数据）．
（3）我校九年级共有600名男生，按当前情况请你估计我校九年级男生“1分钟跳绳”有多少人能达满分（次数≥135次达满分）．
【解答】解：（1）本次调查的九年级男生总人数为5÷0.1＝50（名），
则a＝10÷50＝0.2，b＝50×0.14＝7，
∴m＝50﹣（5+10+7+12）＝16，
故答案为：0.2，16；
（2）补全频数分布直方图如下：
（3）估计“1分钟跳绳”能达满分有：600×（1﹣0.1﹣0.2﹣0.14）＝336（人）．
21．（8分）如图，有四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀．
（1）从中随机摸出一张，摸出的牌面图形是四边形的概率＝ ；
（2）小明先从中随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，求两人摸出的牌面图形都是轴对称图形的概率（纸牌用A、B、C、D表示）．
【解答】解：（1）从中随机摸出一张，摸出的牌面图形是四边形的概率是；
故答案为：；
（2）列表得：
共产生12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人摸出的牌面图形都是轴对称图形的有6种，
则两人摸出的牌面图形都是轴对称图形的概率是＝．
22．（8分）位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．
某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为45°．测角仪的高度为1.6m求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41）．
【解答】解：过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E，
则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，
∴BC＝MN＝16m，DE＝CN＝BM＝1.6m，
∵∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴CE＝AE，
设AE＝CE＝x，
∴BE＝16+x，
∵∠ABE＝22°，
∴tan22°＝＝≈0.40，
解得：x≈10.7（m），
∴AD≈10.7+1.6＝12.3（m），
答：观星台最高点A距离地面的高度约为12.3m．
23．（8分）如图，直线y＝kx+2与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0）和点B，与反比例函数y＝的图象在第一象限内交于点C（1，n）．
（1）求反比例函数y＝的表达式；
（2）过x轴上的点D（a，0）（a＞0）作平行于y轴的直线l，分别与直线y＝kx+2和双曲线y＝交于P、Q两点，且2PQ＝QD，求点D的坐标．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0）代入y＝kx+2得﹣k+2＝0，
解得k＝2，
∴一次函数解析式为y＝2x+2；
把C（1，n）代入y＝2x+2得n＝4，
∴C（1，4），
把C（1，4）代入y＝得m＝1×4＝4，
∴反比例函数解析式为y＝；
（2）∵PD∥y轴，而D（a，0），
∴P（a，2a+2），Q（a，），
∵2PQ＝QD，
∴2|2a+2﹣|＝，
解得a＝或．
∵a＞0，
∴D（，0）或（，0）．
24．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D的直线EF交AC于点F，交AB的延长线于点E，且∠BAC＝2∠BDE．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）当CF＝2，BE＝3时，求AF的长．
【解答】（1）证明：连接OD，AD，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴∠BAC＝2∠BAD，
∵∠BAC＝2∠BDE，
∴∠BDE＝∠BAD，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ADO，
∵∠ADO+∠ODB＝90°，
∴∠BDE+∠ODB＝90°，
∴∠ODE＝90°，
即DF⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线．
（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵BO＝AO，
∴OD∥AC，
∴△EOD∽△EAF，
∴，
设OD＝x，
∵CF＝2，BE＝3，
∴OA＝OB＝x，
AF＝AC﹣CF＝2x﹣2，
EO＝x+3，EA＝2x+3，
∴＝，
解得x＝6，
经检验，x＝6是分式方程的解，
∴AF＝2x﹣2＝10．
25．（10分）在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫，已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，12≤x≤24）满足一次函数的关系，部分数据如表：
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件，则该商家最多可以捐赠给社区多少钱用于抗疫？
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
则，
解得：，
即y与x的函数关系式是y＝﹣100x+2400；
（2）设总利润为w元，
w＝（x﹣10）（﹣100x+2400）+（x﹣2﹣10）×400＝﹣100（x﹣19）2+7300，
∵﹣100＜0，12≤x≤24，
∴当x＝19时，w取得最大值，此时w＝7300，
∴该商家最多可以捐赠给社区7300元用于抗疫．
26．（12分）【问题呈现】某学校的数学社团成员在学习时遇到这样一个题目：
如图1，在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在DC的延长线上，过E作EF∥AB交AC的延长线于点F，当BD：DE＝1时，试说明：AF+EF＝AB；
【方法探究】
社团成员在研究探讨后，提出了下面的思路：
在图1中，延长线段AD，交线段EF的延长线于点M，可以用AAS明△ABD≌△MED，从而得到EM＝AB…
（1）请接着完成剩下的说理过程；
【方法运用】
（2）在图1中，若BD：DE＝k，则线段AF、EF、AB之间的数量关系为 AF+EF＝AB （用含k的式子表示，不需要证明）；
（3）如图2，若AB＝7，EF＝6，AF＝8，BE＝12，求出BD的长；
【拓展提升】
（4）如图3，若DE＝2BD，连接AE，已知AB＝9，tan∠DAF＝，AE＝2，且AF＞EF，则边EF的长＝ 8 ．
【解答】（1）证明：当BD：DE＝1时，DE＝BD，
∵EF∥AB，
∴∠BAD＝∠EMD，
在△ABD与△MED中，
，
∴△ABD≌△MED（AAS），
∴AB＝ME，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∴∠FMD＝∠DAC，
∴AF＝MF，
∴AF+EF＝AB；
（2）AF+EF＝AB，
当时，
∵EF∥AB，
∴∠BAD＝∠EGD，
又∵∠BDA＝∠EDG，
∴△ABD∽△GED，
∴，即GE＝kAB，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∴∠FGD＝∠DAC，
∴AF＝GF，
∴AF+EF＝AB；
（3）由（2）得，AF+EF＝kAB，
∴（8+6）k＝7，
∴k＝，
∵BD：DE＝，
∴，
∴，
∴BD＝4；
（4）延长AD、EF交点为G．
由（1）（2）可知：FG+EF＝2AB＝18，即GE＝18．
过点A作AH⊥GE，在Rt△AGH中，tan∠G＝tan∠DAF＝．
即，
∴GH＝2AH，
设AH＝x，则GH＝2x，HE＝18﹣2x，
在Rt△AEH中，由勾股定理可得x2+，
解得，
当AH＝8时，GH＝16，设FH＝a，则AF＝16﹣a，在Rt△AFH中，
由勾股定理可得：82+a2＝（16﹣a）2，
解得a＝6，AF＝10，EF＝8，成立．
当AH＝时，同理可求FH＝4.8，AF＝8，EF＝10．
∵AF＞EF，
∴此种情况不成立．
27．（14分）如图，直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝x2+bx+c经过B、C两点，且与x轴交于另一点A．
（1）求出点B的坐标和抛物线的解析式；
（2）如图1，点F是抛物线的顶点，连接FB，FC，试求出△FBC的面积；
（3）如图2，点P是线段BC下方的抛物线上的动点（不与点B、C重合），过P作PD∥y轴交BC于点D，作PE⊥BC于E，则△PDE的周长的最大值＝ ．
（4）当（3）中△PDE的周长取得最大值时，将△PDE绕着点D旋转一周，在旋转的过程中，点P、D、E的对应点分别记为P′、D'、E′．
①点P′到点A距离的最大值＝ +2 ．
②当点P′恰好落在坐标轴上时，请直接写出相应的点E′坐标．
【解答】解：（1）∵直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，
∴B（4，0），C（0，﹣2），
∵抛物线y＝x2+bx+c经过B、C两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2；
（2）如图1，过点F作FG∥y轴交BC于点G，
∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣，
∴顶点F（，﹣），
∴G（，﹣），
∴FG＝﹣﹣（﹣）＝，
∴S△FBC＝FG×（xB﹣xC）＝××4＝；
（3）如图2，∵B（4，0），C（0，﹣2），
∴OB＝4，OC＝2，
在Rt△BCO中，BC＝＝＝2，
∴△BCO的周长C△BCO＝4+2+2＝6+2，
设P（t，t2﹣t﹣2），则D（t，t﹣2），
∴PD＝t﹣2﹣（t2﹣t﹣2）＝﹣t2+2t，
∵PD∥y轴，
∴∠PDE＝∠BCO，
∵PE⊥BC，
∴∠PED＝90°＝∠BOC，
∴△PDE∽△BCO，
∴＝，即＝，
∴C△PDE＝×（﹣t2+2t）＝﹣（t﹣2）2+，
∴当t＝2时，C△PDE取得最大值；
（4）①由（3）知：当t＝2时，C△PDE取得最大值，
∴P（2，﹣3），D（2，﹣1），
∴DP＝2，
如图3，以D为圆心，DP的长为半径作⊙D，则点P′在⊙D上，
∴当点P′为AD的延长线与⊙D的交点时，点P′到点A距离最大，
此时，AP′＝AD+DP′，
在y＝x2﹣x﹣2中，令y＝0，
则x2﹣x﹣2＝0，
解得：x＝﹣1或4，
∴A（﹣1，0），
∴AD＝＝，
∴AP′＝+2，
故答案为：+2．
②当点P′恰好落在y轴上时，如图4，过点E′作E′K⊥DP′于点K，
由（3）知：△PDE∽△BCO，
∴＝＝，即＝＝，
∴DE＝，PE＝，
由旋转知：DP′＝DP＝2，DE′＝DE＝，P′E′＝PE＝，∠P′E′D＝∠PED＝90°，
∴P′E′•DE′＝P′D•E′K，即×＝2E′K，
∴E′K＝，
∵∠P′KE′＝∠P′E′D＝90°，∠E′P′K＝∠DP′E′，
∴△P′E′K∽△P′DE′，
∴＝，即＝，
∴P′K＝2E′K＝，
∵D（2，﹣1），
∴点D到y轴的距离为2，即DP′⊥y轴于点P′，
∴E′（，﹣）；
当点P′恰好落在x轴上时，如图5，延长PD交x轴于点H，
则H（2，0），∠DHP′＝90°，DH＝1，
由旋转知：DP′＝2，
∴HP′＝＝，
∴P′（2+，0）或（2﹣，0），
当P′（2+，0）时，过点E'作E'M⊥DP于M，过点P'作P'N⊥ME'交ME'的延长线于点N，
∵∠DE'P'＝∠DME′＝∠P′NE′＝90°，
∴∠DE'M+∠E'DM＝∠DE'M+∠P′E'N＝90°，
∴∠E'DM＝∠P'E'N，
∴△DE′M∽△E′P′N，
∴＝＝＝，
设E′（x，y），则DM＝﹣1﹣y，ME′＝x﹣2，E′N＝2+﹣x，P′N＝﹣y，
∴＝＝，
∴y＝﹣2x+4，﹣2y＝﹣x+4，
∴x＝，y＝，
∴E′（，）；
当P′（2﹣，0）时，如图6，过点E'作x轴垂线E'T，
设E'（x，y），
∴TE'＝﹣y，P'T＝x﹣2+，
∵P'E'＝PE＝，
在Rt△P'NE'中，P′E′2＝E′T2+P′T2，
∴＝y2+（x﹣2﹣）2，
DE'2＝＝（x﹣2）2+（y+1）2，
∴y＝，x＝，
∴E'（，）；
综上所述：E′（，﹣）或E′（，）或E'（，）．
成绩段
频数
频率
90≤x＜105
5
0.1
105≤x＜120
10
a
120≤x＜135
b
0.14
135≤x＜150
m
c
150≤x＜165
12
n
x（元/件）
12
13
14
15
16
y （件）
1200
1100
1000
900
800
成绩段
频数
频率
90≤x＜105
5
0.1
105≤x＜120
10
a
120≤x＜135
b
0.14
135≤x＜150
m
c
150≤x＜165
12
n
A
B
C
D
A
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
x（元/件）
12
13
14
15
16
y （件）
1200
1100
1000
900
800