2024-2025学年江西省南昌十中高一（上）第一次月考数学试卷（含答案）

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这是一份2024-2025学年江西省南昌十中高一（上）第一次月考数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合M={x|−4A. {x|−4C. {x|−22.命题“∀x∈R，x2+x+1>0”的否定为( )
A. ∀x∈R，x2+x+1≤0B. ∃x∈R，x2+x+1≤0
C. ∃x∈R，x2+x+1<0D. ∃x∈R，x2+x+1>0
3.不等式−x2+3x+18<0的解集为( )
A. {x|x>6或x−3}B. {x|−3C. {x|x>3或x<−6}D. {x|−64.若a>b>0，c>d，则下列结论一定成立的是( )
A. a−b<0B. a+c>b+cC. ac>bcD. ac>bd
5.已知集合M={x|ax2−x+1=0}(a∈R)，则“a=14”是“集合M仅有1个真子集”的( )
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
6.设集合A={x|2a5}，若A∩B=⌀，则实数a的取值范围为( )
A. [−32,+∞)B. (−32,+∞)C. (−∞,−32]D. (−∞,−32)
7.已知a>0，b>1，且a(b−1)=4，则a+b的最小值为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
8.若正数a、b满足ab=2(a+b)+5，设y=(a+b−4)(12−a−b)，则y的最大值是( )
A. 12B. −12C. 16D. −16
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知集合A={x|x2−3x=0}，则有( )
A. ⌀⊆AB. 3∈AC. {0,3}∈AD. A⊆{x|x≤3}
10.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤−2或x≥1}，则( )
A. b>0且c<0
B. 4a+2b+c=0
C. 不等式bx+c>0的解集为{x|x>2}
D. 不等式cx2−bx+a<0的解集为{x|−111.设a，b为两个正数，定义a，b的算术平均数为A(a,b)=a+b2，几何平均数为G(a,b)= ab，则有：G(a,b)≤A(a,b)，这是我们熟知的基本不等式.上个世纪五十年代，美国数学家ℎmer提出了“Leℎmer均值”，即Lp(a,b)=ap+bpap−1+bp−1，其中p为有理数.下列关系正确的是( )
A. L0.5(a,b)≤A(a,b)B. L0(a,b)≥G(a,b)
C. L2(a,b)≥L1(a,b)D. Ln+1(a,b)≤Ln(a,b)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.条件p：1−x<0，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是______．
13.设非空集合Q⊆M，当Q中所有元素和为偶数时(集合为单元素时和为元素本身)，称Q是M的偶子集．若集合M={1,2,3,4,5,6,7}，则其偶子集Q的个数为______．
14.已知命题“存在x∈R，使ax2−x+2≤0”是假命题，则实数a的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
若集合A={x|−2(1)若m=3，全集U=A∪B，试求A∩(∁UB)；
(2)若A∩B=A，求实数m的取值范围．
16.(本小题15分)
设全集U=R，集合A={x|1≤x≤5}，集合B={x|−1−2a≤x≤a−2}．
(1)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围；
(2)若B⊆A，求实数a的取值范围．
17.(本小题15分)
轩轩计划建造一个室内面积为1500m2的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚的前、后、左、右内墙各保留1.5m宽的通道，两养殖池之间保留2m宽的通道.设温室的一边长为xm，两个养殖地的总面积为ym2，如图所示．
(1)将y表示为x的函数；
(2)当取x取何值时，y取最大值？最大值是多少？
18.(本小题17分)
设y=mx2+(1−m)x+m−2．
(1)若不等式y≥−2对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围；
(2)在(1)的条件下，求m2+2m+5m+1的最小值；
(3)解关于x的不等式f(x)19.(本小题17分)
有限个元素组成的集合A={a1,a2,}，n∈N∗，记集合A中的元素个数为card(A)，即card(A)=n.定义A+A={x+y|x∈A,y∈A}，集合A+A中的元素个数记为card(A+A)，当cand(A+A)=n(n+1)2时，称集合A具有性质P．
(1)A={1,4,7}，B={2,4,8}，判断集合A，B是否具有性质P，并说明理由；
(2)设集合A={a1,a2,a3,2022}，a1参考答案
1.C
2.B
3.A
4.B
5.B
6.A
7.C
8.A
9.ABD
10.AC
11.AC
12.(−∞,1)
13.63
14.(18,+∞)
15.解集合A={x|−2(1)当m=3时，由x−m<0，得x<3，
∴B={x|x<3}，
∴U=A∪B={x|x<4}，
那么∁UB={x|3≤x<4}．
∴A∩(∁UB)={x|3≤x<4}．
(2)∵A={x|−2∵A∩B=A，
∴A⊆B，
故：m≥4．
∴实数m的取值范围是m≥4．
16.解：(1)由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，得A⫋B，
又A={x|1≤x≤5}，B={x|−1−2a≤x≤a−2}，
因此−1−2a<1a−2≥5或−1−2a≤1a−2>5，解得a≥7，
所以实数a的取值范围为[7,+∞)；
(2)由已知B⊆A，
当B=⌀时，−1−2a>a−2，解得a<13，符合题意，因此a<13；
当B≠⌀时，而A={x|1≤x≤5}，B={x|−1−2a≤x≤a−2}，
则1≤−1−2a≤a−2≤5，无解，
所以实数a的取值范围(−∞,13).
17.解：(1)温室的一边长为x，则另外一边长为1500x，
y=(x−1.5×2)⋅(1500x−1.5×2−2)=1515−5x−4500x，x−3>0且1500x−1.5×2−2>0，
解得x∈(3,300)，
故y=1515−5x−4500x，x∈(3,300)；
(2)y=1515−(5x+4500x)≤1515−2 5x⋅4500x=1215，
当且仅当5x=4500x，即x=30时等号成立，
故x=30时，y有最大值为1215．
18.解：(1)由y≥−2恒成立得：mx2+(1−m)x+m≥0对一切实数x恒成立．
当m=0时，不等式为x≥0，不合题意；
当m≠0时，m>0Δ=(1−m)2−4m2≤0，解得：m≥13；
综上所述：实数m的取值范围为[13,+∞)．
(2)∵m≥13，∴m+1≥43，
∴m2+2m+5m+1=(m+1)2+4m+1=m+1+4m+1≥2 (m+1)⋅4m+1=4，
(当且仅当m+1=4m+1，即m=1时取等号)，∴m2+2m+5m+1的最小值为4．
(3)由mx2+(1−m)x+m−2①当m=0时，x−1<0，解得：x<1，即不等式解集为(−∞,1)；
②当m≠0时，令mx2+(1−m)x−1=0，解得：x1=1，x2=−1m；
1)当−1m<0，即m>0时，不等式解集为(−1m,1)；
2)当0<−1m<1，即m<−1时，不等式解集为(−∞,−1m)∪(1,+∞)；
3)当−1m=1，即m=−1时，不等式可化为x2−2x+1=(x−1)2>0，
∴x≠1，∴不等式解集为(−∞,1)∪(1,+∞)；
4)当−1m>1，即−1综上所述：当m=0时，不等式解集为(−∞,1)；
当m>0时，不等式解集为(−1m,1)；
当m<−1时，不等式解集为(−∞,−1m)∪(1,+∞)；
当m=−1时，不等式解集为(−∞,1)∪(1,+∞)；
当−119.解：(1)集合A不具有性质P，集合B具有性质P．
A+A={2,5,8,11,14}，card(A+A)=5≠3(3+1)2，不具有性质P；
B+B={4,6,8,10,12,16}，card(B+B)=6=3(3+1)2，具有性质P．
(2)若三个数a，b，c成等差数列，
则A={a,b,c}不具有性质P，理由是a+c=2b，
∵a1+a2+a3取最大，则a3=2019，
a2≤2018，由题意知{2018,2019,2020}不具有性质P，
要使a1+a2+a3取最大，
则a2=2017，
a1≤2016，
要使a1+a2+a3取最大，检验可得a1=2014，
∴若集合A具有性质P，则a1+a2+a3的最大值为6050．