苏科版八年级数学下册《同步考点解读•专题训练》专题9.8三角形中位线(知识解读)(原卷版+解析)

这是一份苏科版八年级数学下册《同步考点解读•专题训练》专题9.8三角形中位线(知识解读)(原卷版+解析)，共23页。

1.理解并掌握三角形中位线的概念、性质，会利用性质解决有关问题。
2.经历探索三角形中位线性质的过程，培养学生分析问题和解决问题的能力。
3.通过对问题的探索研究，培养学生大胆猜想、合理论证的科学精神
【知识点梳理】
知识点1：三角形的中位线
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
注意：
（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.
（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.
（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.
知识点2：顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状
顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.
【典例分析】
【考点1：三角形中位线】
【典例1】（2022春•东平县校级月考）如图，在ABC中，AB＝13，BC＝12，D、E分别是AB、BC的中点，连接DE，CD，如果DE＝2.5，那么△ACD的周长为（ ）
A．25B．18.5C．17.5D．18
【变式1-1】（2022春•鼓楼区校级期中）如图，A、B两点被一座山隔开，M、N分别是AC、BC中点，测量MN的长度为30m，那么AB的长度为（ ）
A．30mB．60mC．120mD．160m
【变式1-2】（2022秋•双阳区期末）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，E、F分别为AC、AD的中点，若EF＝1，则AB＝ ．
【变式1-3】（2022秋•新城区校级月考）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，CD为中线，延长CB至点E．使BE＝BC，连接DE，F为DE中点，连接BF，若BF＝4，则BC的长为（ ）
A．6B．8C．D．
【典例2】（2022秋•泰山区校级期末）如图，△ABC中，AB＝9cm，AC＝5cm，点E是BC的中点，若AD平分∠BAC，CD⊥AD，线段DE的长为（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
【变式2-1】（2019秋•碑林区校级月考）如图，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，E为BC中点，连接DE，则DE的长是（ ）
A．1B．1.5C．2D．4
【变式2-2】（2021秋•芝罘区期末）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD，AE分别是角平分线和中线，过点C作CF⊥AD于点F，连接EF，则线段EF的长为（ ）
A．1B．2C．4D．
【变式2-3】（2022•黑龙江模拟）如图，在△ABC中，CE是中线，CD是角平分线，AF⊥CD交CD延长线于点F，AC＝7，BC＝4，则EF的长为（ ）
A．1.5B．2C．2.5D．3
【典例3】（2022秋•莱阳市期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．若∠ACB＝90°，AC＝12，DE＝4．
（1）求证：DE＝BF；
（2）求四边形DEFB的周长．
【变式3-1】（2022春•瑶海区期末）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点
（1）若DE＝2，则BC＝ ；若∠ACB＝70°，则∠AED＝ °；
（2）连接CD和BE交于点O，求证：CO＝2DO．
【变式3-2】（2020秋•莱芜区期末）如图，△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点．
（1）若EF＝5cm，则AB＝ cm；若BC＝9cm，则DE＝ cm；
（2）中线AF与中位线DE有什么特殊的关系？证明你的猜想．
【变式3-3】（2021秋•宝塔区校级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC于E，且D、E分别是AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝CE，连接DE，EF．
（1）求∠ABC的度数；
（2）若DE＝2，求△CEF的面积．
【考点2：中点四边形】
【典例4】（2022秋•郸城县期中）如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．
（1）若AB＝10，CD＝24，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的长．
（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求证：AB2+CD2＝4EF2．
【变式4-1】（2022秋•安溪县期中）在四边形ABCD中，AB＝CD，点E，F分别是边AD，BC的中点．
（1）如图1，点P为对角线BD的中点，连接PE，PF，若∠PEF＝26°，则∠EPF＝ 度；
（2）如图2，直线EF分别与BA，CD的延长线交于点M，N．求证：∠BMF＝∠CNF．
【变式4-2】（2022春•大连期中）如图，在△ABC中，点D为AC中点，延长CA至E，使AE＝BC，连接BE，点F为BE中点，连接FD并延长交BC延长线于G．
（1）求证：CD＝CG；
（2）若∠ACB＝60°，BC＝6，求FD的长．
【变式4-3】（2022春•吉水县期末）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使得AB＝2AD，连接DE，DF，AE，EF，AF于DE交于点O．
（1）证明：AF与DE互相平分；
（2）如果AB＝6，BC＝10，求DO的长．
专题9.8 三角形中位线（知识解读）
【学习目标】
1.理解并掌握三角形中位线的概念、性质，会利用性质解决有关问题。
2.经历探索三角形中位线性质的过程，培养学生分析问题和解决问题的能力。
3.通过对问题的探索研究，培养学生大胆猜想、合理论证的科学精神
【知识点梳理】
知识点1：三角形的中位线
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
注意：
（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.
（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.
（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.
知识点2：顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状
顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.
【典例分析】
【考点1：三角形中位线】
【典例1】（2022春•东平县校级月考）如图，在ABC中，AB＝13，BC＝12，D、E分别是AB、BC的中点，连接DE，CD，如果DE＝2.5，那么△ACD的周长为（ ）
A．25B．18.5C．17.5D．18
【答案】D
【解答】解：∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴AC＝2DE＝5，AC∥DE，
AC2+BC2＝52+122＝169，
AB2＝132＝169，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∵AC∥DE，
∴∠DEB＝90°，又∵E是BC的中点，
∴直线DE是线段BC的垂直平分线，
∴DC＝BD，
∴△ACD的周长＝AC+AD+CD＝AC+AD+BD＝AC+AB＝18，
故选：D．
【变式1-1】（2022春•鼓楼区校级期中）如图，A、B两点被一座山隔开，M、N分别是AC、BC中点，测量MN的长度为30m，那么AB的长度为（ ）
A．30mB．60mC．120mD．160m
【答案】B
【解答】解：∵M、N分别是AC、BC中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴AB＝2MN，
∵MN＝30m，
∴AB＝60m，
故选：B．
【变式1-2】（2022秋•双阳区期末）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，E、F分别为AC、AD的中点，若EF＝1，则AB＝ ．
【答案】4
【解答】解：∵E、F分别为AC、AD的中点，
∴CD＝2EF＝2，
∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴AB＝2CD＝4，
故答案为：4．
【变式1-3】（2022秋•新城区校级月考）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，CD为中线，延长CB至点E．使BE＝BC，连接DE，F为DE中点，连接BF，若BF＝4，则BC的长为（ ）
A．6B．8C．D．
【答案】D
【解答】解：∵F为DE中点，
∴EF＝DF，
∵BE＝BC，
∴BF是△CDE的中位线，
∴CD＝2BF＝8，
∵∠ACB＝90°，CD为AB边的中线，
∴AB＝2CD＝16，
∵AC＝8，
∴BC＝＝＝8，
故选：D．
【典例2】（2022秋•泰山区校级期末）如图，△ABC中，AB＝9cm，AC＝5cm，点E是BC的中点，若AD平分∠BAC，CD⊥AD，线段DE的长为（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
【答案】B
【解答】解：如图，延长CD交AB于F，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠FAD，
∵AD⊥AD，
∴∠ADC＝∠ADF＝90°，
在△ADF和△ADC中，
，
∴△ADF≌△ADC（ASA），
∴AF＝AC＝5cm，CD＝FD，
∴BF＝AB﹣AE＝9﹣5＝4cm，
∵CD＝FD，点E为BC的中点，
∴DE是△BCF的中位线，
∴DE＝BF＝2cm，
故选：B．
【变式2-1】（2019秋•碑林区校级月考）如图，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，E为BC中点，连接DE，则DE的长是（ ）
A．1B．1.5C．2D．4
【答案】C
【解答】解：延长BD交AC于F，
在△ADB和△ADF中，
，
∴△ADB≌△ADF（ASA），
∴AF＝AB＝6，BD＝DF，
∴CF＝AC﹣AF＝4，
∵BD＝DF，BE＝EC，
∴DE＝CF＝2，
故选：C．
【变式2-2】（2021秋•芝罘区期末）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD，AE分别是角平分线和中线，过点C作CF⊥AD于点F，连接EF，则线段EF的长为（ ）
A．1B．2C．4D．
【答案】A
【解答】解：延长CF交AB于G，
∵AD为△ABC的角平分线，CG⊥AD，
∴△ACG是等腰三角形，
∴AG＝AC＝4，FG＝CF，
∴BG＝AB﹣AG＝6﹣4＝2，
∵AE为△ABC的中线，
∴EF是△BCG的中位线，
∴EF＝BG＝1，
故选：A．
【变式2-3】（2022•黑龙江模拟）如图，在△ABC中，CE是中线，CD是角平分线，AF⊥CD交CD延长线于点F，AC＝7，BC＝4，则EF的长为（ ）
A．1.5B．2C．2.5D．3
【答案】A
【解答】解：延长AF、BC交于点G，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF，
在△ACF和△GCF中，
，
∴△ACF≌△GCF（ASA），
∴CG＝AC＝7，AF＝FG，
∴BG＝CG﹣CB＝3，
∵AE＝EB，AF＝FG，
∴EF＝BG＝1.5，
故选：A．
【典例3】（2022秋•莱阳市期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．若∠ACB＝90°，AC＝12，DE＝4．
（1）求证：DE＝BF；
（2）求四边形DEFB的周长．
【解答】（1）证明：∵点D，E分别是AC，AB的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∵CF＝3BF，
∴BF＝BC，
∴DE＝BF；
（2）解：∵点D是AC的中点，AC＝12，
∴CD＝6，
∵DE＝4，
∴BC＝8，
由勾股定理得：DB＝＝＝10，
∵DE＝BF，DE∥BC，
∴四边形DBFE为平行四边形，
∴四边形DEFB的周长＝2×（4+10）＝28．
【变式3-1】（2022春•瑶海区期末）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点
（1）若DE＝2，则BC＝ ；若∠ACB＝70°，则∠AED＝ °；
（2）连接CD和BE交于点O，求证：CO＝2DO．
【解答】（1）解：∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是三角形的中位线，
∴BC＝2DE＝4，DE∥BC，
∴∠AED＝∠ACB＝70°，
故答案为：4，70；
（2）取BO、CO中点G、H；
则GH∥BC，GH＝BC，
∵DE∥BC，DE＝BC，
∴DE∥GH，DE＝GH，
∴四边形DGHE为平行四边形，
∴DO＝OH＝HC，
即CO＝2DO．
【变式3-2】（2020秋•莱芜区期末）如图，△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点．
（1）若EF＝5cm，则AB＝ cm；若BC＝9cm，则DE＝ cm；
（2）中线AF与中位线DE有什么特殊的关系？证明你的猜想．
【解答】解：（1）∵在△ABC中，点E、F分别是AC、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB且EF＝AB．
又EF＝5cm，
∴AB＝10cm．
同理，DE＝BC＝4.5cm；
故答案是：10、4.5
（2）互相平分，
理由：如图，连接DF，
∵AD＝EF，AD∥EF，
∴四边形ADFE为平行四边形，
∴中线AF与DE的关系是互相平分．
【变式3-3】（2021秋•宝塔区校级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC于E，且D、E分别是AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝CE，连接DE，EF．
（1）求∠ABC的度数；
（2）若DE＝2，求△CEF的面积．
【解答】解：（1）：BE⊥AC于E，E是AC的中点，
∴AB＝BC．
∵AB＝AC，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°；
（2）如图，过E点作EG⊥BC，
∵D、E分别是AB、AC的中点，DE＝2
∴BC＝2DE＝4，
∵BE⊥AC，
∴∠EBC＝∠ABC＝30°，
∴CE＝2＝CF，BE＝＝2，
∴EG＝BE＝，
∴S△ECF＝×CF×EG＝×2×＝．
【考点2：中点四边形】
【典例4】（2022秋•郸城县期中）如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．
（1）若AB＝10，CD＝24，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的长．
（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求证：AB2+CD2＝4EF2．
【解答】（1）解：如图，取BD的中点P，连接EP、FP，
∵E，F分别是AD、BC的中点，AB＝10，CD＝24，
∴PE是△ABD的中位线，PF是△BCD的中位线，
∴PE∥AB，且，且，
∴∠EPD＝∠ABD＝30°，∠DPF＝180°﹣∠BDC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝90°，
在Rt△EPF中，由勾股定理得：，
即EF的长为13；
（2）证明：由（1）可知，PE是△ABD的中位线，PF是△BCD的中位线，
∴PE∥AB，且，PF∥CD，且，
∴∠EPD＝∠ABD，∠DPF＝180°﹣∠BDC．
∵∠BDC﹣∠ABD＝90°，
∴∠BDC＝90°+∠ABD，
∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝∠ABD+180°﹣∠BDC＝∠ABD+180°﹣（90°+∠ABD）＝90°，
∴，
∴AB2+CD2＝4EF2．
【变式4-1】（2022秋•安溪县期中）在四边形ABCD中，AB＝CD，点E，F分别是边AD，BC的中点．
（1）如图1，点P为对角线BD的中点，连接PE，PF，若∠PEF＝26°，则∠EPF＝ 度；
（2）如图2，直线EF分别与BA，CD的延长线交于点M，N．求证：∠BMF＝∠CNF．
【解答】（1）解：∵点E，F分别是边AD，BC的中点，点P为对角线BD的中点，
∴PE为△ABD的中位线，PF为△BCD的中位线，
∴PE＝AB，PF＝CD，
∵AB＝CD，
∴PE＝PF，
∴∠PFE＝∠PEF＝26°，
∴∠EPF＝180°﹣∠PFE﹣∠PEF＝180°﹣26°﹣26°＝128°，
故答案为：128；
（2）证明：连接BD，取BD的中点P，连接PE、PF，
同（1）得：PE为△ABD的中位线，PF为△BCD的中位线，
∴PE∥AB，PF∥CD，PE＝AB，PF＝CD，
∴∠PEF＝∠BMF，∠PFE＝∠CNF，
∵AB＝CD，
∴PE＝PF，
∴∠PFE＝∠PEF，
∴∠BMF＝∠CNF．
【变式4-2】（2022春•大连期中）如图，在△ABC中，点D为AC中点，延长CA至E，使AE＝BC，连接BE，点F为BE中点，连接FD并延长交BC延长线于G．
（1）求证：CD＝CG；
（2）若∠ACB＝60°，BC＝6，求FD的长．
【解答】（1）证明：如图，取AB的中点M，连接FM，DM，
∵F为BE中点，M为AB中点，
∴FM∥AE，FM＝AE，
∴∠MFD＝∠CDG，
∵D为AC中点，M为AB中点，
∴DM＝BC，DM∥BC，
∴∠MDF＝∠G，
∵AE＝BC，
∴MF＝DM，
∴∠MFD＝∠MDF，
∵∠G＝∠CDG，
∴CD＝CG；
（2）解：由（1）知：∠MFD＝∠MDF，
∴MF＝MD，
如图，作MN⊥DF于N，
∴DN＝NF＝DF，∠MND＝90°，
∵∠ACB＝∠CDG+∠G＝60°，
∴∠G＝∠CDG＝30°，
∴∠MDN＝30°＝∠G，
在Rt△DMN中，DM＝BC＝3，
∴MN＝DM＝，
∴DN＝＝，
∴DF＝2DN＝3．
【变式4-3】（2022春•吉水县期末）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使得AB＝2AD，连接DE，DF，AE，EF，AF于DE交于点O．
（1）证明：AF与DE互相平分；
（2）如果AB＝6，BC＝10，求DO的长．
【解答】（1）证明：∵BE＝EC，AF＝FC，
∴EF∥AB，AB＝2EF，
∵AB＝2AD，
∴AD＝EF，AD∥EF，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴AF与DE互相平分．
（2）解：在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，
∴AC＝＝8，
∵EF＝AB＝3，
∴OA＝OF＝QC＝2，
∴OD＝OE＝＝．