苏科版八年级数学下册《同步考点解读•专题训练》专项9.7中位线综合运用问题(原卷版+解析)

这是一份苏科版八年级数学下册《同步考点解读•专题训练》专项9.7中位线综合运用问题(原卷版+解析)，共25页。试卷主要包含了7 中位线综合运用问题等内容，欢迎下载使用。

1．（2022秋•东平县期末）如图，△ABC中，∠BAD＝∠CAD，BE＝CE，AD⊥BD，DE＝，AB＝4，则AC的值为（ ）
A．6B．C．7D．8
2．（2021春•金坛区期中）如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝6，BD＝8，点E、F分别是边AD、BC的中点，连接EF，则EF的长是（ ）
A．B．5C．D．10
3．（2021春•西安期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过点C作CD⊥AD，AD交BC于点G，DE∥AB交AC于点E，作∠BCA的平分线CF交AD于点P，交AB于点F，若∠B＝60°，下列结论：①∠PCD＝30°；②∠AFC+∠DCG＝90°；③BG＝AE；④AC＝AF+CG；⑤S△APF+S△CPG＝S△APC．其中正确的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
4．（2019秋•永春县校级月考）如图，在正△ABC中，BD＝4，CE＝2，连结DE，若M、N分别为线段DE、BC的中点，则线段MN的长度等于（ ）
A．B．C．D．3
5．（2019春•西湖区校级月考）在平面直角坐标系中，点B，C的坐标分别为B（﹣，﹣），C（，）．任意一点A都满足|AB﹣AC|＝2．作∠BAC的内角平分线AE，过点B作AE的垂线交AE于点F，已知当点A在平面内运动时，点F与坐标原点O的距离为（ ）
A．B．C．D．1
6．（2022秋•广饶县校级期末）如图，在△ABC中，已知AB＝8，BC＝6，AC＝7，依次连接△ABC的三边中点，得到△A1B1C1，再依次连接△A1B1C1的三边中点，得到△A2B2C2，…，按这样的规律下去，△A2022B2022C2022的周长为 ．
7．（2022秋•东平县期末）如图，△A1B1C1中，A1B1＝4，A1C1＝5，B1C1＝7．点A2、B2、C2分别是边B1C1、A1C1、A1B1的中点；点A3、B3、C3分别是边B2C2、A2C2、A2B2的中点；…；以此类推，则第2022个三角形的周长是 ．
8．（2020春•姑苏区期末）如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC＝7，则MN的长度为 ．
9．（2022春•东莞市期中）如图所示，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．请判断△PMN的形状，并说明理由．
10．（2020秋•肇源县期末）在△ABC中，点M是边BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD，BD的延长线交AC于点E，AB＝12，AC＝20．
（1）求证：BD＝DE；
（2）求DM的长．
11．（2021春•通城县期末）如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点．点O是△ABC内的动点，点G，F分别是OB，OC的中点．
（1）求证：四边形DGFE是平行四边形；
（2）若四边形DGFE是正方形，请直接给出OA应满足的条件是 ．
12．（朝阳区期中）如图，△ABC是等边三角形，点D在边AB上（点D与点A、B不重合），过点D作DE∥BC交AC于点E，连接BE．M、N、P分别为DE、BE、BC的中点，顺次连接M、N、P．
（1）求证：MN＝PN．
（2）∠MNP的大小是 度．
13．（宁河县期中）如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，求∠PFE的度数．
14．（老河口市期中）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N．
求证：∠BME＝∠CNE；（提示：取BD的中点H，连接FH，HE作辅助线）
（2）如图2，在△ABC中，F是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线FE交BA的延长线于点G，若AB＝DC＝2，∠FEC＝45°，求FE的长度．
15．（碑林区校级月考）（1）回顾定理：如图1，在△ABC中，DE是△ABC的中位线．那么DE与BC的关系有 ．
（2）运用定理：如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝50°，∠BCD＝40°，点F为AC的中点，点E为BD的中点．若AB＝4，CD＝6，求EF的长．
16．（2021秋•高青县期末）如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD和EF．
（1）求证：DE＝CF；
（2）求EF的长；
（3）求四边形DEFC的面积．
（培优特训）
专项9.7 中位线综合运用问题
1．（2022秋•东平县期末）如图，△ABC中，∠BAD＝∠CAD，BE＝CE，AD⊥BD，DE＝，AB＝4，则AC的值为（ ）
A．6B．C．7D．8
【答案】C
【解答】解：如图，
延长BD，交AC于F，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝∠ADF＝90°，
在△ABD和△AFD中，
C，
∴△ABD≌△AFD（ASA），
∴BD＝DF，AF＝AB＝4，
∵BE＝CE，
∴CF＝2DE＝3，
∴AC＝AF+CF＝4+3＝7，
故答案为：C．
2．（2021春•金坛区期中）如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝6，BD＝8，点E、F分别是边AD、BC的中点，连接EF，则EF的长是（ ）
A．B．5C．D．10
【答案】B
【解答】解：如图，取AB的中点G，连接EG、FG，
∵E、F分别是边AD、CB的中点，
∴EG∥BD且EG＝BD＝×8＝4，
FG∥AC且FG＝AC＝×6＝3，
∵AC⊥BD，
∴EG⊥FG，
∴EF＝＝＝5．
故选：B．
3．（2021春•西安期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过点C作CD⊥AD，AD交BC于点G，DE∥AB交AC于点E，作∠BCA的平分线CF交AD于点P，交AB于点F，若∠B＝60°，下列结论：①∠PCD＝30°；②∠AFC+∠DCG＝90°；③BG＝AE；④AC＝AF+CG；⑤S△APF+S△CPG＝S△APC．其中正确的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【解答】解：方法一：延长CD交AB的延长线于H，连接HP、HG，
∵AD⊥CH，
∴∠ADC＝∠ADH＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠HAD＝∠CAD，
∴∠AHC＝∠ACH，
∴AH＝AC，
∴△ACH为等腰三角形，
∴CD＝CH，
∵DE∥AB，
∴AE＝CE，∠ADE＝∠BAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAE，
∴∠DAE＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∴AE＝DE＝CE，
∵CD⊥AD，CD＝CH，
∴AD为HC的垂直平分线，
∴∠AHP＝∠ACP，PC＝PH，
∵∠BCA的平分线CF交AD于点P，
∴∠ACP＝∠BCF，
∴∠AHP＝∠BCF，
∵∠CFH为公共角，
∴∠FPH＝∠CBF，
∵PC＝PH，
∴∠FPH＝∠PCD+∠PHD＝2∠PCD，
∴∠CBF＝2∠PCD＝60°，
∴∠PCD＝30°，故①正确，
方法二：∵AD平分∠BAC，CF平分∠BCA，
∴∠APC＝90°+∠ABC＝90°+30°＝120°，
∴∠CPD＝60°，
∵CD⊥AD，
∴∠PCD＝30°，故①正确，
∵∠CGD＝∠GCP+∠CPG＝∠GCP+60°，∠AFC＝∠GCP+∠FBC＝∠GCP+60°，
∴∠AFC＝∠CGD，
∵∠CGD+∠GCD＝90°，
∴∠AFC+∠GCD＝90°，故②正确，
∵AE＝DE＝EC＝AH，无法判断BG＝AH，故③错误，
∵∠PCD＝30°＝∠PHD，
∵CF为∠ACB的平分线，
∴HP为∠FHG的平分线，
在△HFP和△HGP中，
，
∴△HFP≌△HGP（ASA），
∴HG＝HF＝CG，FP＝GP，
∴AF+CG＝AF+HF＝AH＝AC，故④正确．
作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PQ⊥BC于Q，
∴PM＝PN＝PQ，
∵S△APF＝AF×PM，S△CPG＝CG×PQ，S△APC＝AC×PN，
∴S△APF+S△CPG＝S△APC，故⑤正确．
故选：C．
4．（2019秋•永春县校级月考）如图，在正△ABC中，BD＝4，CE＝2，连结DE，若M、N分别为线段DE、BC的中点，则线段MN的长度等于（ ）
A．B．C．D．3
【答案】B
【解答】解：如图，连接DN并延长到F，使NF＝DN，连接EF，
∵△ABC是正三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，
∵N为线段BC的中点，
∴BN＝CN，
在△BND和△CNF中，
，
∴△BND≌△CNF（SAS），
∴∠NCF＝∠B＝60°，CF＝BD＝4，
∴∠ECF＝120°，
∴∠ECG＝60°，
过点E作EG⊥FC于点G，
∴∠CEG＝30°
∵CE＝2，
∴CG＝1，
∴EG＝，
∴FG＝CF+CG＝4+1＝5，
∴EF＝＝＝2，
∵M、N分别为线段DE、BC的中点，
∴MN＝EF＝．
故选：B．
5．（2019春•西湖区校级月考）在平面直角坐标系中，点B，C的坐标分别为B（﹣，﹣），C（，）．任意一点A都满足|AB﹣AC|＝2．作∠BAC的内角平分线AE，过点B作AE的垂线交AE于点F，已知当点A在平面内运动时，点F与坐标原点O的距离为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【解答】解：如图：过C作CD⊥AF，垂足为M，交AB于D，
∵AF平分∠BAC，且AM是DC边上的高，
∴△DAC是等腰三角形，
∴AD＝AC，
∴BD＝AB﹣AC＝2，
即BD长为定值，
过M作MN∥BD于N，
则四边形MNBD是个平行四边形，
∴MN＝BD，
∵MN∥BD，DM＝MC，
∴MN平分线段BC，
∴MN与BC交于O，
∵∠MCO＝∠NBO，∠MOC＝∠NOB，OC＝OB，
∴△MOC≌△NOB（ASA），
∴OM＝ON，
在△MNF中，无论F怎么变化，有两个条件不变：
①MN的长为定值，②∠MFN＝90°，
因此如果作△MNF的外接圆，那么F点总在以MN为直径的圆上运动，因此F点的运动轨迹应该是个圆．
∴圆的直径为MN，且MN＝BD，BD＝AB﹣AC＝2，
∴OF＝MN＝．
故选：B．
6．（2022秋•广饶县校级期末）如图，在△ABC中，已知AB＝8，BC＝6，AC＝7，依次连接△ABC的三边中点，得到△A1B1C1，再依次连接△A1B1C1的三边中点，得到△A2B2C2，…，按这样的规律下去，△A2022B2022C2022的周长为 ．
【答案】
【解答】解：∵A1、B1、C1分别为BC、AC、AB的中点，
∴A1B1＝AB，A1C1＝AC，B1C1＝BC，
∴△A1B1C1的周长＝×△ABC的周长＝×21，
……
∴△A2022B2022C2022的周长＝×21，
故答案为：．
7．（2022秋•东平县期末）如图，△A1B1C1中，A1B1＝4，A1C1＝5，B1C1＝7．点A2、B2、C2分别是边B1C1、A1C1、A1B1的中点；点A3、B3、C3分别是边B2C2、A2C2、A2B2的中点；…；以此类推，则第2022个三角形的周长是 ．
【答案】
【解答】解：∵△A1B1C1中，A1B1＝4，A1C1＝5，B1C1＝7，
∴△A1B1C1的周长是16，
∵A2，B2，C2分别是边B1C1，A1C1，A1B1的中点，
∴B2C2，A2C2，A2B2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，
∴△A2B2C2的周长是×16＝8，
同理，△A3B3C3的周长是××16＝×16＝4，
…，
以此类推，△AnBn∁n的周长是×16＝，
∴△A2022B2022C2022的周长是＝．
故答案为：．
8．（2020春•姑苏区期末）如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC＝7，则MN的长度为 ．
【答案】
【解答】解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，
∴∠NBA＝∠NBE，∠BNA＝∠BNE，
在△BNA和△BNE中，
．
∴△BNA≌△BNE（ASA），
∴BA＝BE，
∴△BAE是等腰三角形，
同理△CAD是等腰三角形，
∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一），
∴MN是△ADE的中位线，
∵BE+CD＝AB+AC＝19﹣BC＝19﹣7＝12，
∴DE＝BE+CD﹣BC＝5，
∴MN＝DE＝．
故答案是：．
9．（2022春•东莞市期中）如图所示，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．请判断△PMN的形状，并说明理由．
【解答】解：△PMN是等腰三角形．
理由如下：
∵点P是BD的中点，点M是CD的中点，
∴PM＝BC，
同理：PN＝AD，
∵AD＝BC，
∴PM＝PN，
∴△PMN是等腰三角形．
10．（2020秋•肇源县期末）在△ABC中，点M是边BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD，BD的延长线交AC于点E，AB＝12，AC＝20．
（1）求证：BD＝DE；
（2）求DM的长．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAE．
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝∠ADE＝90°．
在△ADB与△ADE中，
∴△ADB≌△ADE，
∴BD＝DE．
（2）∵△ADB≌△ADE，
∴AE＝AB＝12，
∴EC＝AC﹣AE＝8．
∵M是BC的中点，BD＝DE，
∴DM＝EC＝4．
11．（2021春•通城县期末）如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点．点O是△ABC内的动点，点G，F分别是OB，OC的中点．
（1）求证：四边形DGFE是平行四边形；
（2）若四边形DGFE是正方形，请直接给出OA应满足的条件是 ．
【解答】（1）证明：∵D、E是AB、AC的中点，
∴DE∥BC且DE＝BC，
∵G、F是OB、OC的中点，
∴GF∥BC且GF＝BC，
∴DE∥GF且DE＝GF，
∴四边形DGFE是平行四边形；
（2）解：AO＝BC，AO⊥BC时四边形DGFE是正方形，
理由如下：
∵D、G分别是AB、OB的中点，
∴DG∥AO，DG＝AO，
又∵AO＝BC，AO⊥BC，
∴DG⊥GF，DG＝GF，
∴四边形DGFE正方形，
故答案为：AO＝BC，AO⊥BC．
12．（朝阳区期中）如图，△ABC是等边三角形，点D在边AB上（点D与点A、B不重合），过点D作DE∥BC交AC于点E，连接BE．M、N、P分别为DE、BE、BC的中点，顺次连接M、N、P．
（1）求证：MN＝PN．
（2）∠MNP的大小是 度．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°．
∵DE∥AB，
∴∠ABC＝∠ADE＝60°，∠ACB＝∠AED＝60°．
∴∠ADE＝∠AED＝60°．
∴△ADE是等边三角形．
∴AD＝AE．
∴BD＝CE．
∵M、N分别为DE、BE的中点，
∴MN＝BD．
∵N、P分别为BE、BC的中点，
∴NP＝CE．
∴MN＝PN．
（2）∵MN∥BD，
∴∠MNE＝∠ABE，
∵∠ENP＝∠NBP+∠NPB，
∵PN∥EC，
∴∠NPB＝∠C＝60°
∴∠MNP＝∠MNE+∠ENP＝∠ABE+∠EBC+∠NPB＝60°+60°＝120°，
故答案为：120．
13．（宁河县期中）如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，求∠PFE的度数．
【解答】解：∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，
∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PF＝BC，PE＝AD，
∵AD＝BC，
∴PF＝PE，
故△EPF是等腰三角形．
∵∠PEF＝30°，
∴∠PEF＝∠PFE＝30°．
14．（老河口市期中）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N．
求证：∠BME＝∠CNE；（提示：取BD的中点H，连接FH，HE作辅助线）
（2）如图2，在△ABC中，F是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线FE交BA的延长线于点G，若AB＝DC＝2，∠FEC＝45°，求FE的长度．
【解答】（1）证明：连接BD，取DB的中点H，连接EH，FH，
∵E，H分别是AD，BD的中点，
∴EH∥AB，EH＝AB，
∴∠BME＝∠HEF，
∵F，H分别是BC，BD的中点，
∴FH∥CD，FH＝CD，
∴∠CNE＝∠HFE，
∵AB＝CD
∴HE＝FH，
∴∠HEF＝∠HFE
∴∠BME＝∠CNE；
（2）解：连接BD，取DB的中点H，连接EH，FH，
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴EH＝AB，FH＝CD，FH∥AC，
∴∠HFE＝∠FEC＝45°，
∵AB＝CD＝2，
∴HF＝HE＝1，
∴∠HEF＝∠HFE＝45°，
∴∠EHF＝180°﹣∠HFE﹣HEF＝90°，
∴．
15．（碑林区校级月考）（1）回顾定理：如图1，在△ABC中，DE是△ABC的中位线．那么DE与BC的关系有 ．
（2）运用定理：如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝50°，∠BCD＝40°，点F为AC的中点，点E为BD的中点．若AB＝4，CD＝6，求EF的长．
【解答】解：（1）在△ABC中，DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
故答案为：DE∥BC，DE＝BC；
（2）取BC的中点H，连接EH、FH，
∵点E为BD的中点，点H为BC的中点，
∴EH＝CD＝3，EH∥CD，
∴∠EHB＝∠BCD＝40°，
同理，FH＝AB＝2，FH∥AB，
∴∠FHC＝∠ABC＝50°，
∴∠EHF＝90°，
由勾股定理得，EF＝＝．
16．（2021秋•高青县期末）如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD和EF．
（1）求证：DE＝CF；
（2）求EF的长；
（3）求四边形DEFC的面积．
【解答】解：（1）在△ABC中，
∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE＝BC，
∵CF＝BC，
∴DE＝CF．
（2）∵AC＝BC，AD＝BD，
∴CD⊥AB，
∵BC＝4，BD＝2，
∴CD＝＝2，
∵DE∥CF，DE＝CF，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴EF＝CD＝2．
（3）过点D作DH⊥BC于H．
∵∠DHC＝90°，∠DCB＝30°，
∴DH＝DC＝，
∵DE＝CF＝2，
∴S四边形DEFC＝CF•DH＝2×＝2．