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苏科版八年级数学下册《同步考点解读•专题训练》专项9.4旋转常考综合运用(原卷版+解析)
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这是一份苏科版八年级数学下册《同步考点解读•专题训练》专项9.4旋转常考综合运用(原卷版+解析)，共39页。试卷主要包含了4 旋转常考综合运用等内容，欢迎下载使用。
1．（2020秋•乌兰察布期末）如图，边长为24的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（ ）
A．12B．6C．3D．1
2．（2021春•罗湖区校级期末）如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM＝PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
3．（2022春•高州市期末）如图，在△ABC中，AB＝8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分面积为 ．
4．（2022秋•福州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BE，则BE的长是 ．
5.（2021秋•驿城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，三角板的直角顶点P的坐标为（2，2），一条直角边与x轴的正半轴交于点A，另一直角边与y轴交于点B，三角板绕点P在坐标平面内转动的过程中，当△POA为等腰三角形时，则点B的坐标是 ．
6．（2021秋•肇源县期末）如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中正确有 （填序号）
①△BPQ是等边三角形②△PCQ是直角三角形③∠APB＝150° ④∠APC＝120°
7．（2021秋•信丰县期末）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠1＝120°，则∠α＝ ．
8．（2020秋•赣榆区期末）如图，点P是等边△ABC内的一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10．若点P′是△ABC外的一点，且△P′AB≌△PAC，则∠APB的度数为 ．
9．（2021•江西模拟）如图，P是等边△ABC内一点，PA＝4，PB＝2，PC＝2，则△ABC的边长为 ．
10．（2021•镇雄县一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，且AC在直线l上，将△ABC绕点A顺时针旋转到①，可得到点P1，此时AP1＝2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝2+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝3+；…按此规律继续旋转，直到点P2020为止，则AP2020等于 ．
11．（2020•江都区三模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A′BC′，连接A′C，则A′C的长为 ．
12．（2022秋•恩施市期末）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，将CO绕点C顺时针方向旋转60°得到CD，连接AD，OD．
（1）当α＝150°时，求证：△AOD为直角三角形；
（2）求∠DAO的度数；
（3）请你探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
13．（2022秋•青山湖区期末）如图，△ABC和△AMN均为等边三角形，将△AMN绕点A旋转（△AMN在直线AC的右侧）．
（1）求证：△BAM≌△CAN；
（2）若点C，M，N在同一条直线上，
①求∠BMC的度数；
②点M是CN的中点，求证：BM⊥AC．
14．（2022•三穗县校级模拟）如图，P是等边△ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P'AB，
（1）求点P与P'之间的距离；
（2）求∠APB的度数．
15．（2021秋•平泉市期末）如图，△ABC是边长为4cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6cm，点D从O点出发，沿OM方向以1cm/s的速度运动，运动时间为t．当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE．
（1）求证：△CDE是等边三角形．
（2）当△BCD为直角三角形时，求t的值．
16．（2022秋•思明区校级月考）如图，在锐角△ABC中，∠A＝60°，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F．
（1）如图1，若AB＞AC，且BD＝CE，∠BCD＝∠CBE，求∠CFE的度数；
（2）如图2，若AB＝AC，且BD＝AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想．
17．（2022秋•竹山县期中）如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合．
（1）三角尺旋转了多少度？
（2）连接CD，试判断△CBD的形状．
（3）求∠BDC的度数．
18．（2022•黄冈模拟）（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．
求：①旋转角的度数 ；
②线段OD的长 ；
③求∠BDC的度数．
（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC＝90°？请给出证明．
19．（2022春•兰州期中）（1）如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E在BC上，∠DAE＝45°，为了探究BD、DE、CE之间的等量关系，现将△AEC绕A顺时针旋转90°后成△AFB，连接DF，经探究，你所得到的BD、DE、CE之间的等量关系式是 ．（无需证明）
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，D、E在BC上，∠DAE＝60°、∠ADE＝45°，试仿照（1）的方法，利用图形的旋转变换，探究BD、DE、CE之间的等量关系，并证明你的结论．
20．（2021春•江岸区校级月考）△ABC中，∠A＝45°，∠CBA＝α，点D在边AB上，将线段CD逆时针旋转β得到CE，连接DE．
（1）当α＝45°，β＝90°时，求证：AD2+DB2＝DE2．
（2）当α＝30°，β＝120°时，若CE＝BE，求的值．
21．（2021•中江县模拟）如图，在等边△ABC中，点D为△ABC内的一点，∠ADB＝120°，∠ADC＝90°，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，连接DE．
（1）求证：AD＝DE；
（2）求∠DCE的度数；
（3）若BD＝1，求AD，CD的长．
22．（2020秋•辉县市期中）如图（1），已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A的一条直线，且B、C在A、E的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E
（1）试说明：BD＝DE+CE．
（2）若直线AE绕A点旋转到图（2）位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请直接写出结果；
（3）若直线AE绕A点旋转到图（3）位置时（BD＞CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由．
23．（2022秋•大冶市期末）如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝40°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转100°，得到△DBE，连接AD，CE交于点F．
（1）求证：△ABD≌△CBE；
（2）求∠AFC的度数．
24．（2022秋•青山湖区期末）阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．
为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝ ；
（2）基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题
已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2；
（3）能力提升
如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．
（培优特训）
专项9.4 旋转常考综合运用
1．（2020秋•乌兰察布期末）如图，边长为24的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（ ）
A．12B．6C．3D．1
【答案】B
【解答】解：如图，取BC的中点G，连接MG，
∵旋转角为60°，
∴∠MBH+∠HBN＝60°，
又∵∠MBH+∠MBC＝∠ABC＝60°，
∴∠HBN＝∠GBM，
∵CH是等边△ABC的对称轴，
∴HB＝AB，
∴HB＝BG，
又∵MB旋转到BN，
∴BM＝BN，
在△MBG和△NBH中，
，
∴△MBG≌△NBH（SAS），
∴MG＝NH，
根据垂线段最短，当MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，
此时∠BCH＝×60°＝30°，CG＝AB＝×24＝12，
∴MG＝CG＝×12＝6，
∴HN＝6，
故选：B．
2．（2021春•罗湖区校级期末）如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM＝PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】B
【解答】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵∠PEO＝∠PFO＝90°，
∴∠EPF+∠AOB＝180°，
∵∠MPN+∠AOB＝180°，
∴∠EPF＝∠MPN，
∴∠EPM＝∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴∠PEO＝∠PFO＝90°，
在△POE和△POF中，
，
∴△POE≌△POF（AAS），
∴OE＝OF，PE＝PF，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴EM＝NF，PM＝PN，故①正确，
∴S△PEM＝S△PNF，
∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故④正确，
∵OM+ON＝OE+ME+（OF﹣NF）＝2OE，是定值，故②正确，
在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，形状是相似的，因为PM的长度是变化的，所以MN的长度是变化的，故③错误，
故选：B．
3．（2022春•高州市期末）如图，在△ABC中，AB＝8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分面积为 ．
【答案】16
【解答】解：过A作AD⊥A1B于D，如图：
在△ABC中，AB＝8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，
∴△ABC≌△A1BC1，
∴A1B＝AB＝8，
∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA＝30°，
∵AD⊥A1B，
∴AD＝AB＝4，
∴S△A1BA＝×8×4＝16，
又∵S阴影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC，且S△A1BC1＝S△ABC，
∴S阴影＝S△A1BA＝16，
故答案为：16．
4．（2022秋•福州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BE，则BE的长是 ．
【答案】2+2
【解答】解：连接CE，设BE与AC相交于点F，如下图所示，
∵Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°
∴∠BCA＝∠BAC＝45°
∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转60°与Rt△ADE重合，
∴∠BAC＝∠DAE＝45°，AC＝AE
又∵旋转角为60°
∴∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴△ACE是等边三角形
∴AC＝CE＝AE＝4
在△ABE与△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE （SSS）
∴∠ABE＝∠CBE＝45°，∠CEB＝∠AEB＝30°
∴在△ABF中，∠BFA＝180°﹣45°﹣45°＝90°
∴∠AFB＝∠AFE＝90°
在Rt△ABF中，由勾股定理得，BF＝AF＝＝2
又在Rt△AFE中，∠AEF＝30°，∠AFE＝90°，可得FE＝AF＝2
∴BE＝BF+FE＝2+2
故答案为2+2
5.（2021秋•驿城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，三角板的直角顶点P的坐标为（2，2），一条直角边与x轴的正半轴交于点A，另一直角边与y轴交于点B，三角板绕点P在坐标平面内转动的过程中，当△POA为等腰三角形时，则点B的坐标是 ．
【答案】（0，2）或（0，0）或（0，4﹣2）
【解答】解：①当OA＝AP时，如图：
∵P的坐标为（2，2），
∴此时A（2，0），
∵∠APB＝90°，
∴B（0，2）；
②当AP＝OP时，如图：
∵P的坐标为（2，2），
∴∠POA＝∠PAO＝45°，
∴∠P＝90°，
∴此时B与O重合，即B（0，0）；
③当OP＝OA＝2时，过P作PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，如图：
∵∠APB＝90°，
∴∠NPB＝90°﹣∠BPM＝∠MPA，
∵NP＝MP＝2，∠PNB＝∠PMA，
∴△PNB≌△PMA（ASA），
∴BN＝AM＝2﹣2，
∴OB＝NO﹣BN＝2﹣（2﹣2）＝4﹣2，
∴B（0，4﹣2），
综上所述，点B的坐标是（0，2）或（0，0）或（0，4﹣2）．
6．（2021秋•肇源县期末）如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中正确有 （填序号）
①△BPQ是等边三角形②△PCQ是直角三角形③∠APB＝150° ④∠APC＝120°
【答案】①②③
【解答】解：①∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵△BQC≌△BPA，
∴∠CBQ＝∠ABP，PB＝QB＝4，
PA＝QC＝3，∠BPA＝∠BQC，
∴∠PBQ＝∠PBC+∠CBQ＝∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60°，
∴△BPQ是等边三角形，
所以①正确；
②PQ＝PB＝4，
PQ2+QC2＝42+32＝25，
PC2＝52＝25，
∴PQ2+QC2＝PC2，
∴∠PQC＝90°，
∴△PCQ是直角三角形，
所以②正确；
③∵△BPQ是等边三角形，
∴∠PQB＝∠BPQ＝60°，
∴∠APB＝∠BQC＝∠BQP+∠PQC＝60°+90°＝150°，
所以③正确；
④∠APC＝360°﹣150°﹣60°﹣∠QPC＝150°﹣∠QPC，
∵∠PQC＝90°，PC≠2QC，
∴∠QPC≠30°，
∴∠APC≠120°．
所以④错误．
所以正确的有①②③．
7．（2021秋•信丰县期末）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠1＝120°，则∠α＝ ．
【答案】30°
【解答】解：如图，由对顶角相等得，∠2＝∠1＝120°，
在四边形中，∠BAD′＝360°﹣90°×2﹣∠2＝360°﹣180°﹣120°＝60°，
所以，∠DAD′＝90°﹣60°＝30°，
即旋转角∠α＝∠DAD′＝30°．
故答案为：30°．
8．（2020秋•赣榆区期末）如图，点P是等边△ABC内的一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10．若点P′是△ABC外的一点，且△P′AB≌△PAC，则∠APB的度数为 ．
【答案】150°
【解答】解：连接PP′，
由旋转可知，△PAC≌△P′AB，
∴PA＝P′A，∠P′AB＝∠PAC，
∴∠P′AP＝∠BAC＝60°，
∴△APP′为等边三角形，
∴PP′＝AP＝AP′＝6；
∵PP′2+BP2＝BP′2，
∴△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°，
∴∠APB＝90°+60°＝150°．
故答案为：150°．
9．（2021•江西模拟）如图，P是等边△ABC内一点，PA＝4，PB＝2，PC＝2，则△ABC的边长为 ．
【答案】2
【解答】解：作BH⊥PC于H，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴BA＝BC，∠ABC＝60°，
∴把△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△CBD，连接PD，如图，
∴CD＝AP＝4，BD＝BP＝2，∠PBD＝60°，
∴△PBD为等边三角形，
∴PD＝PB＝2，∠BPD＝60°，
在△PDC中，PC＝2，PD＝2，CD＝4，
∴PC2+PD2＝CD2，
∴△PCD为直角三角形，∠CPD＝90°，
∴∠BPC＝∠BPD+∠CPD＝150°，
∴∠BPH＝30°，
在Rt△PBH中，∠BPH＝30°，PB＝2，
∴BH＝PB＝，PH＝BH＝3，
∴CH＝PC+PH＝2+3＝5，
在Rt△BCH中，BC2＝BH2+CH2＝（）2+52＝28，
∴BC＝2，
故答案为：2
10．（2021•镇雄县一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，且AC在直线l上，将△ABC绕点A顺时针旋转到①，可得到点P1，此时AP1＝2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝2+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝3+；…按此规律继续旋转，直到点P2020为止，则AP2020等于 ．
【答案】2021+673
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，
∴AB＝2，BC＝，
∴将△ABC绕点A顺时针旋转到①，可得到点P1，此时AP1＝2；
将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②可得到点P2，此时AP2＝2+；
将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝3+；…
∵2020÷3＝673…1
∴AP2020＝673（3+）+2＝2021+673，
故答案为：2021+673
11．（2020•江都区三模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A′BC′，连接A′C，则A′C的长为 ．
【答案】4+3
【解答】解：如图，
连接CC'，∵△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A′BC′，
∴BC＝BC′＝6，∠CBC′＝60°，A′B＝AB＝AC＝A′C′＝5，
∴△BCC'是等边三角形，
∴BC＝C'C，
∵A'B＝A'C'，
∴A'C是BC'的垂直平分线，垂足为D，
∴BD＝BC'＝3，
在Rt△A'BD中，A'B＝5，BD＝3，根据勾股定理得，A'D＝4，
在Rt△BCD中，∠CBD＝60°，BC＝6，
∴CD＝BC•sin∠CBD＝6×sin60°＝3，
∴A'C＝A'D+CD＝4+3
故答案为：4+3．
12．（2022秋•恩施市期末）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，将CO绕点C顺时针方向旋转60°得到CD，连接AD，OD．
（1）当α＝150°时，求证：△AOD为直角三角形；
（2）求∠DAO的度数；
（3）请你探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
【解答】（1）证明：由旋转的性质得：OC＝CD，∠DCO＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴∠CDO＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
∴∠ACD＝∠BCO，
∴△BOC≌△ADC（SAS），
∴∠ADC＝∠BOC＝150°，
∴∠ADO＝90°，
即△AOD是直角三角形；
（2）解：∵△COD是等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∵∠AOB＝110°，∠BOC＝α，
∴∠AOD＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α，
由（1）知：△ADC≌△BOC，
∴∠ADC＝∠BOC＝α，
∴∠ADO＝α﹣60°，
△ADO中，∠DAO＝180°﹣∠ADO﹣∠AOD＝180°﹣（α﹣60°）﹣（190°﹣α）＝50°；
（3）解：分三种情况：
①当AO＝AD时，∠AOD＝∠ADO．
∵∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠COD﹣α＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，
∴190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°；
②当OA＝OD时，∠OAD＝∠ADO．
∵∠AOD＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，
∴∠OAD＝180°﹣（∠AOD+∠ADO）＝50°，
∴α﹣60°＝50°，
∴α＝110°；
③当OD＝AD时，∠OAD＝∠AOD．
∵190°﹣α＝50°，
∴α＝140°，
综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．
13．（2022秋•青山湖区期末）如图，△ABC和△AMN均为等边三角形，将△AMN绕点A旋转（△AMN在直线AC的右侧）．
（1）求证：△BAM≌△CAN；
（2）若点C，M，N在同一条直线上，
①求∠BMC的度数；
②点M是CN的中点，求证：BM⊥AC．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△AMN是等边三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，
∴∠BAC+∠MAC＝∠MAN+∠MAC，
即∠BAM＝∠CAN，
在△BAM和△CAN中，，
∴△BAM≌△CAN；
（2）①解：∵△AMN为等边三角形，
∴∠AMN＝∠NAM＝∠AMN＝60°，
∵△BAM≌△CAN，
∴∠AMB＝∠MNA＝60°，
∴∠BMC＝180°﹣∠AMN﹣∠AMB＝60°；
②证明：∵点M是CN的中点，
∴MN＝CM，
∵△AMN是等边三角形，
∴AM＝MN＝CM，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝CB，
∴MB是AC的垂直平分线，
∴BM⊥AC．
14．（2022•三穗县校级模拟）如图，P是等边△ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P'AB，
（1）求点P与P'之间的距离；
（2）求∠APB的度数．
【解答】解：（1）由题意可知BP′＝PC＝5，AP′＝AP，
∠PAC＝∠P′AB，
而∠PAC+∠BAP＝60°，
所以∠PAP′＝60度．
故△APP′为等边三角形，
所以PP′＝AP＝AP′＝3；
（2）利用勾股定理的逆定理可知：
PP′2+BP2＝BP′2，
所以△BPP′为直角三角形，
且∠BPP′＝90°
可求∠APB＝90°+60°＝150°．
15．（2021秋•平泉市期末）如图，△ABC是边长为4cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6cm，点D从O点出发，沿OM方向以1cm/s的速度运动，运动时间为t．当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE．
（1）求证：△CDE是等边三角形．
（2）当△BCD为直角三角形时，求t的值．
【解答】（1）证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，
∴△ADC≌△BEC，
∴CD＝CE，∠DCA＝∠ECB，
∴∠DCA+∠ACE＝∠ECB+∠ACE＝∠ABC＝60°
∴∠DCE＝60°，DC＝EC，
∴△CDE是等边三角形；
（2）解：①当∠BCD＝90°时，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠BDC＝90°﹣60°＝30°，
∴BD＝2BC＝8cm，
∵OB＝OA+AB＝6+4＝10cm，
∴OD＝OB﹣BD＝10﹣8＝2cm，
∴t＝2s．
②当∠CDB＝90°时，AD＝DB＝2cm，
∴OD＝OA+AD＝8cm，
∴t＝8s．
综上所述：当t＝2s或8s时，△BDC是直角三角形．
16．（2022秋•思明区校级月考）如图，在锐角△ABC中，∠A＝60°，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F．
（1）如图1，若AB＞AC，且BD＝CE，∠BCD＝∠CBE，求∠CFE的度数；
（2）如图2，若AB＝AC，且BD＝AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想．
【解答】解：（1）如图1中，在射线CD上取一点K，使得CK＝BE，
在△BCE和△CBK中，
，
∴△BCE≌△CBK（SAS），
∴BK＝CE，∠BEC＝∠BKD，
∵CE＝BD，
∴BD＝BK，
∴∠BKD＝∠BDK＝∠ADC＝∠CEB，
∵∠BEC+∠AEF＝180°，
∴∠ADF+∠AEF＝180°，
∴∠A+∠EFD＝180°，
∵∠A＝60°，
∴∠EFD＝120°，
∴∠CFE＝180°﹣120°＝60°；
（2）结论：BF+CF＝2CN．
理由：如图2中，∵AB＝AC，∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝CB，∠A＝∠CBD＝60°，
∵AE＝BD，
∴△ABE≌△BCD（SAS），
∴∠BCF＝∠ABE，
∴∠FBC+∠BCF＝60°，
∴∠BFC＝120°，
如图2中，延长CN到Q，使得NQ＝CN，连接FQ，
∵NM＝NF，∠CNM＝∠FNQ，CN＝NQ，
∴△CNM≌△QNF（SAS），
∴FQ＝CM＝BC，
延长CF到P，使得PF＝BF，则△PBF是等边三角形，
∴∠PBC+∠PCB＝∠PCB+∠FCM＝120°，
∴∠PFQ＝∠FCM＝∠PBC，
∵PB＝PF，
∴△PFQ≌△PBC（SAS），
∴PQ＝PC，∠CPB＝∠QPF＝60°，
∴△PCQ是等边三角形，
∴BF+CF＝PC＝QC＝2CN．
17．（2022秋•竹山县期中）如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合．
（1）三角尺旋转了多少度？
（2）连接CD，试判断△CBD的形状．
（3）求∠BDC的度数．
【解答】解：（1）∵△ABC旋转后AB与BE重合，∠ABC＝30°，
∴∠ABE＝180°﹣30°＝150°，
∴三角尺旋转了150°．
（2）∵△EBD由△ABC旋转而成，
∴△ABC≌△EBD，
∴BC＝BD，△CBD是等腰三角形．
（3）∵△ABC≌△EBD，
∴∠EBD＝∠ABC＝30°，
∴∠DBC＝180﹣30°＝150°，
∵△CBD是等腰三角形，
∴∠BDC＝＝＝15°．
故答案为：150；等腰；15．
18．（2022•黄冈模拟）（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．
求：①旋转角的度数 ；
②线段OD的长 ；
③求∠BDC的度数．
（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC＝90°？请给出证明．
【解答】解：（1）①∵△ABC为等边三角形，
∴BA＝BC，∠ABC＝60°，
∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴∠OBD＝∠ABC＝60°，
∴旋转角的度数为60°；
②∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴BO＝BD，
而∠OBD＝60°，
∴△OBD为等边三角形；
∴OD＝OB＝4；
③∵△BOD为等边三角形，
∴∠BDO＝60°，
∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴CD＝AO＝3，
在△OCD中，CD＝3，OD＝4，OC＝5，
∵32+42＝52，
∴CD2+OD2＝OC2，
∴△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，
∴∠BDC＝∠BDO+∠ODC＝60°+90°＝150°；
（2）OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°．理由如下：
∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO，
∴△OBD为等腰直角三角形，
∴OD＝OB，
∵当CD2+OD2＝OC2时，△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，
∴OA2+2OB2＝OC2，
∴当OA、OB、OC满足OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°．
19．（2022春•兰州期中）（1）如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E在BC上，∠DAE＝45°，为了探究BD、DE、CE之间的等量关系，现将△AEC绕A顺时针旋转90°后成△AFB，连接DF，经探究，你所得到的BD、DE、CE之间的等量关系式是 ．（无需证明）
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，D、E在BC上，∠DAE＝60°、∠ADE＝45°，试仿照（1）的方法，利用图形的旋转变换，探究BD、DE、CE之间的等量关系，并证明你的结论．
【解答】解：（1）线段BD、DE、CE之间的等量关系式是：BD2+CE2＝DE2；
理由：∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABD＝∠ACE＝45°，由旋转的性质可知，△AEC≌△AFB，
∴∠ABF＝∠ACE＝45°，FB＝CE
∴∠FBD＝∠ABF+∠ABD＝90°旋转角∠FAE＝90°，又∠DAE＝45°，
故∠FAD＝∠FAE﹣∠DAE＝45°，
易证△AFD≌△AED，故FD＝DE，
在Rt△FBD中，由勾股定理得：BD2+BF2＝DF2；
即：BD2+CE2＝DE2．
（2）仿照（1）可证，△AEC≌△AFB，
故BF＝CE，△AFD≌△AED，故FD＝DE，
∵∠ADE＝45°，
∴∠ADF＝45°，故∠BDF＝90°，
在Rt△BDF中，由勾股定理，得BF2＝BD2+DF2，
∴CE2＝BD2+DE2．
20．（2021春•江岸区校级月考）△ABC中，∠A＝45°，∠CBA＝α，点D在边AB上，将线段CD逆时针旋转β得到CE，连接DE．
（1）当α＝45°，β＝90°时，求证：AD2+DB2＝DE2．
（2）当α＝30°，β＝120°时，若CE＝BE，求的值．
【解答】证明：（1）如图1，连接BE，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠A＝∠CBE，
∵∠A＝＝∠CBA＝45°，
∴∠DBE＝90°，
∴BE2+BD2＝DE2，
∴AD2+BD2＝DE2；
（2）在BD的延长线上取点G，使CG＝BC
∴∠CBA＝∠G＝30°，
由（1）同理得△CGD≌△CBE，
∴∠G＝∠CBE＝30°，
∴设CE＝BE＝CD＝a，∠DCB＝90°，
∴CB＝，BD＝2a，
作CH⊥AB于H，
∴CH＝AH＝，DH＝，BH＝，
∴AD＝，AB＝，
∴．
21．（2021•中江县模拟）如图，在等边△ABC中，点D为△ABC内的一点，∠ADB＝120°，∠ADC＝90°，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，连接DE．
（1）求证：AD＝DE；
（2）求∠DCE的度数；
（3）若BD＝1，求AD，CD的长．
【解答】（1）证明：∵将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE
∴△ABD≌△ACE，∠BAC＝∠DAE，
∴AD＝AE，BD＝CE，∠AEC＝∠ADB＝120°，
∵△ABC为等边三角形
∴∠BAC＝60°
∴∠DAE＝60°
∴△ADE为等边三角形，
∴AD＝DE，
（2）∠ADC＝90°，∠AEC＝120°，∠DAE＝60°
∴∠DCE＝360°﹣∠ADC﹣∠AEC﹣∠DAE＝90°，
（3）∵△ADE为等边三角形
∴∠ADE＝60°
∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝30°
又∵∠DCE＝90°
∴DE＝2CE＝2BD＝2，
∴AD＝DE＝2
在Rt△DCE中，．
22．（2020秋•辉县市期中）如图（1），已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A的一条直线，且B、C在A、E的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E
（1）试说明：BD＝DE+CE．
（2）若直线AE绕A点旋转到图（2）位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请直接写出结果；
（3）若直线AE绕A点旋转到图（3）位置时（BD＞CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由．
【解答】解：（1）证明：∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠EAC＝90°，
又∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠BDA＝∠AEC＝90°，
∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠EAC，
又∵AB＝AC，
∴△ABD≌△CAE，
∴BD＝AE，AD＝CE，
∵AE＝AD+DE＝CE+DE，
∴BD＝DE+CE．
（2）同理可得，DE＝BD+CE；
（3）同理可得，DE＝BD+CE．
23．（2022秋•大冶市期末）如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝40°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转100°，得到△DBE，连接AD，CE交于点F．
（1）求证：△ABD≌△CBE；
（2）求∠AFC的度数．
【解答】（1）证明：∵△ABC绕点B按逆时针方向旋转100°，
∴∠ABC＝∠DBE＝40°，
∴∠ABD＝∠CBE＝100°，
又∵BA＝BC，
∴AB＝BC＝BD＝BE，
在△ABD与△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（SAS）．
（2）解：∵∠ABD＝∠CBE＝100°，BA＝BC＝BD＝BE，
∴∠BAD＝∠ADB＝∠BCE＝∠BEC＝40°．
∵∠ABE＝∠ABD+∠DBE＝140°，
∴∠AFE＝360°﹣∠ABE﹣∠BAD﹣∠BEC＝140°，
∴∠AFC＝180°﹣∠AFE＝40°．
24．（2022秋•青山湖区期末）阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．
为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝ ；
（2）基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题
已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2；
（3）能力提升
如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．
【解答】解：（1）∵△ACP′≌△ABP，
∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB，
由题意知旋转角∠PA P′＝60°，
∴△AP P′为等边三角形，
P P′＝AP＝3，∠A P′P＝60°，
易证△P P′C为直角三角形，且∠P P′C＝90°，
∴∠APB＝∠AP′C＝∠A P′P+∠P P′C＝60°+90°＝150°；
故答案为：150°；
（2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，
由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠E′AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EAF＝∠E′AF，
在△EAF和△E′AF中，
∴△EAF≌△E′AF（SAS），
∴E′F＝EF，
∵∠CAB＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠E′CF＝45°+45°＝90°，
由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2，
即EF2＝BE2+FC2．
（3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2，
∴BC＝，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，
∴△A′O′B如图所示；
∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°，
∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，
∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，
∴△BOO′是等边三角形，
∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，
∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，
∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BOO′＝120°+60°＝180°，
∴C、O、A′、O′四点共线，
在Rt△A′BC中，A′C＝，
∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝．
1．（2020秋•乌兰察布期末）如图，边长为24的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（ ）
A．12B．6C．3D．1
2．（2021春•罗湖区校级期末）如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM＝PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
3．（2022春•高州市期末）如图，在△ABC中，AB＝8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分面积为 ．
4．（2022秋•福州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BE，则BE的长是 ．
5.（2021秋•驿城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，三角板的直角顶点P的坐标为（2，2），一条直角边与x轴的正半轴交于点A，另一直角边与y轴交于点B，三角板绕点P在坐标平面内转动的过程中，当△POA为等腰三角形时，则点B的坐标是 ．
6．（2021秋•肇源县期末）如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中正确有 （填序号）
①△BPQ是等边三角形②△PCQ是直角三角形③∠APB＝150° ④∠APC＝120°
7．（2021秋•信丰县期末）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠1＝120°，则∠α＝ ．
8．（2020秋•赣榆区期末）如图，点P是等边△ABC内的一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10．若点P′是△ABC外的一点，且△P′AB≌△PAC，则∠APB的度数为 ．
9．（2021•江西模拟）如图，P是等边△ABC内一点，PA＝4，PB＝2，PC＝2，则△ABC的边长为 ．
10．（2021•镇雄县一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，且AC在直线l上，将△ABC绕点A顺时针旋转到①，可得到点P1，此时AP1＝2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝2+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝3+；…按此规律继续旋转，直到点P2020为止，则AP2020等于 ．
11．（2020•江都区三模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A′BC′，连接A′C，则A′C的长为 ．
12．（2022秋•恩施市期末）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，将CO绕点C顺时针方向旋转60°得到CD，连接AD，OD．
（1）当α＝150°时，求证：△AOD为直角三角形；
（2）求∠DAO的度数；
（3）请你探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
13．（2022秋•青山湖区期末）如图，△ABC和△AMN均为等边三角形，将△AMN绕点A旋转（△AMN在直线AC的右侧）．
（1）求证：△BAM≌△CAN；
（2）若点C，M，N在同一条直线上，
①求∠BMC的度数；
②点M是CN的中点，求证：BM⊥AC．
14．（2022•三穗县校级模拟）如图，P是等边△ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P'AB，
（1）求点P与P'之间的距离；
（2）求∠APB的度数．
15．（2021秋•平泉市期末）如图，△ABC是边长为4cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6cm，点D从O点出发，沿OM方向以1cm/s的速度运动，运动时间为t．当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE．
（1）求证：△CDE是等边三角形．
（2）当△BCD为直角三角形时，求t的值．
16．（2022秋•思明区校级月考）如图，在锐角△ABC中，∠A＝60°，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F．
（1）如图1，若AB＞AC，且BD＝CE，∠BCD＝∠CBE，求∠CFE的度数；
（2）如图2，若AB＝AC，且BD＝AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想．
17．（2022秋•竹山县期中）如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合．
（1）三角尺旋转了多少度？
（2）连接CD，试判断△CBD的形状．
（3）求∠BDC的度数．
18．（2022•黄冈模拟）（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．
求：①旋转角的度数 ；
②线段OD的长 ；
③求∠BDC的度数．
（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC＝90°？请给出证明．
19．（2022春•兰州期中）（1）如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E在BC上，∠DAE＝45°，为了探究BD、DE、CE之间的等量关系，现将△AEC绕A顺时针旋转90°后成△AFB，连接DF，经探究，你所得到的BD、DE、CE之间的等量关系式是 ．（无需证明）
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，D、E在BC上，∠DAE＝60°、∠ADE＝45°，试仿照（1）的方法，利用图形的旋转变换，探究BD、DE、CE之间的等量关系，并证明你的结论．
20．（2021春•江岸区校级月考）△ABC中，∠A＝45°，∠CBA＝α，点D在边AB上，将线段CD逆时针旋转β得到CE，连接DE．
（1）当α＝45°，β＝90°时，求证：AD2+DB2＝DE2．
（2）当α＝30°，β＝120°时，若CE＝BE，求的值．
21．（2021•中江县模拟）如图，在等边△ABC中，点D为△ABC内的一点，∠ADB＝120°，∠ADC＝90°，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，连接DE．
（1）求证：AD＝DE；
（2）求∠DCE的度数；
（3）若BD＝1，求AD，CD的长．
22．（2020秋•辉县市期中）如图（1），已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A的一条直线，且B、C在A、E的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E
（1）试说明：BD＝DE+CE．
（2）若直线AE绕A点旋转到图（2）位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请直接写出结果；
（3）若直线AE绕A点旋转到图（3）位置时（BD＞CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由．
23．（2022秋•大冶市期末）如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝40°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转100°，得到△DBE，连接AD，CE交于点F．
（1）求证：△ABD≌△CBE；
（2）求∠AFC的度数．
24．（2022秋•青山湖区期末）阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．
为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝ ；
（2）基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题
已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2；
（3）能力提升
如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．
（培优特训）
专项9.4 旋转常考综合运用
1．（2020秋•乌兰察布期末）如图，边长为24的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（ ）
A．12B．6C．3D．1
【答案】B
【解答】解：如图，取BC的中点G，连接MG，
∵旋转角为60°，
∴∠MBH+∠HBN＝60°，
又∵∠MBH+∠MBC＝∠ABC＝60°，
∴∠HBN＝∠GBM，
∵CH是等边△ABC的对称轴，
∴HB＝AB，
∴HB＝BG，
又∵MB旋转到BN，
∴BM＝BN，
在△MBG和△NBH中，
，
∴△MBG≌△NBH（SAS），
∴MG＝NH，
根据垂线段最短，当MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，
此时∠BCH＝×60°＝30°，CG＝AB＝×24＝12，
∴MG＝CG＝×12＝6，
∴HN＝6，
故选：B．
2．（2021春•罗湖区校级期末）如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM＝PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】B
【解答】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵∠PEO＝∠PFO＝90°，
∴∠EPF+∠AOB＝180°，
∵∠MPN+∠AOB＝180°，
∴∠EPF＝∠MPN，
∴∠EPM＝∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴∠PEO＝∠PFO＝90°，
在△POE和△POF中，
，
∴△POE≌△POF（AAS），
∴OE＝OF，PE＝PF，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴EM＝NF，PM＝PN，故①正确，
∴S△PEM＝S△PNF，
∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故④正确，
∵OM+ON＝OE+ME+（OF﹣NF）＝2OE，是定值，故②正确，
在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，形状是相似的，因为PM的长度是变化的，所以MN的长度是变化的，故③错误，
故选：B．
3．（2022春•高州市期末）如图，在△ABC中，AB＝8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分面积为 ．
【答案】16
【解答】解：过A作AD⊥A1B于D，如图：
在△ABC中，AB＝8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，
∴△ABC≌△A1BC1，
∴A1B＝AB＝8，
∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA＝30°，
∵AD⊥A1B，
∴AD＝AB＝4，
∴S△A1BA＝×8×4＝16，
又∵S阴影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC，且S△A1BC1＝S△ABC，
∴S阴影＝S△A1BA＝16，
故答案为：16．
4．（2022秋•福州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BE，则BE的长是 ．
【答案】2+2
【解答】解：连接CE，设BE与AC相交于点F，如下图所示，
∵Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°
∴∠BCA＝∠BAC＝45°
∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转60°与Rt△ADE重合，
∴∠BAC＝∠DAE＝45°，AC＝AE
又∵旋转角为60°
∴∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴△ACE是等边三角形
∴AC＝CE＝AE＝4
在△ABE与△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE （SSS）
∴∠ABE＝∠CBE＝45°，∠CEB＝∠AEB＝30°
∴在△ABF中，∠BFA＝180°﹣45°﹣45°＝90°
∴∠AFB＝∠AFE＝90°
在Rt△ABF中，由勾股定理得，BF＝AF＝＝2
又在Rt△AFE中，∠AEF＝30°，∠AFE＝90°，可得FE＝AF＝2
∴BE＝BF+FE＝2+2
故答案为2+2
5.（2021秋•驿城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，三角板的直角顶点P的坐标为（2，2），一条直角边与x轴的正半轴交于点A，另一直角边与y轴交于点B，三角板绕点P在坐标平面内转动的过程中，当△POA为等腰三角形时，则点B的坐标是 ．
【答案】（0，2）或（0，0）或（0，4﹣2）
【解答】解：①当OA＝AP时，如图：
∵P的坐标为（2，2），
∴此时A（2，0），
∵∠APB＝90°，
∴B（0，2）；
②当AP＝OP时，如图：
∵P的坐标为（2，2），
∴∠POA＝∠PAO＝45°，
∴∠P＝90°，
∴此时B与O重合，即B（0，0）；
③当OP＝OA＝2时，过P作PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，如图：
∵∠APB＝90°，
∴∠NPB＝90°﹣∠BPM＝∠MPA，
∵NP＝MP＝2，∠PNB＝∠PMA，
∴△PNB≌△PMA（ASA），
∴BN＝AM＝2﹣2，
∴OB＝NO﹣BN＝2﹣（2﹣2）＝4﹣2，
∴B（0，4﹣2），
综上所述，点B的坐标是（0，2）或（0，0）或（0，4﹣2）．
6．（2021秋•肇源县期末）如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中正确有 （填序号）
①△BPQ是等边三角形②△PCQ是直角三角形③∠APB＝150° ④∠APC＝120°
【答案】①②③
【解答】解：①∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵△BQC≌△BPA，
∴∠CBQ＝∠ABP，PB＝QB＝4，
PA＝QC＝3，∠BPA＝∠BQC，
∴∠PBQ＝∠PBC+∠CBQ＝∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60°，
∴△BPQ是等边三角形，
所以①正确；
②PQ＝PB＝4，
PQ2+QC2＝42+32＝25，
PC2＝52＝25，
∴PQ2+QC2＝PC2，
∴∠PQC＝90°，
∴△PCQ是直角三角形，
所以②正确；
③∵△BPQ是等边三角形，
∴∠PQB＝∠BPQ＝60°，
∴∠APB＝∠BQC＝∠BQP+∠PQC＝60°+90°＝150°，
所以③正确；
④∠APC＝360°﹣150°﹣60°﹣∠QPC＝150°﹣∠QPC，
∵∠PQC＝90°，PC≠2QC，
∴∠QPC≠30°，
∴∠APC≠120°．
所以④错误．
所以正确的有①②③．
7．（2021秋•信丰县期末）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠1＝120°，则∠α＝ ．
【答案】30°
【解答】解：如图，由对顶角相等得，∠2＝∠1＝120°，
在四边形中，∠BAD′＝360°﹣90°×2﹣∠2＝360°﹣180°﹣120°＝60°，
所以，∠DAD′＝90°﹣60°＝30°，
即旋转角∠α＝∠DAD′＝30°．
故答案为：30°．
8．（2020秋•赣榆区期末）如图，点P是等边△ABC内的一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10．若点P′是△ABC外的一点，且△P′AB≌△PAC，则∠APB的度数为 ．
【答案】150°
【解答】解：连接PP′，
由旋转可知，△PAC≌△P′AB，
∴PA＝P′A，∠P′AB＝∠PAC，
∴∠P′AP＝∠BAC＝60°，
∴△APP′为等边三角形，
∴PP′＝AP＝AP′＝6；
∵PP′2+BP2＝BP′2，
∴△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°，
∴∠APB＝90°+60°＝150°．
故答案为：150°．
9．（2021•江西模拟）如图，P是等边△ABC内一点，PA＝4，PB＝2，PC＝2，则△ABC的边长为 ．
【答案】2
【解答】解：作BH⊥PC于H，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴BA＝BC，∠ABC＝60°，
∴把△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△CBD，连接PD，如图，
∴CD＝AP＝4，BD＝BP＝2，∠PBD＝60°，
∴△PBD为等边三角形，
∴PD＝PB＝2，∠BPD＝60°，
在△PDC中，PC＝2，PD＝2，CD＝4，
∴PC2+PD2＝CD2，
∴△PCD为直角三角形，∠CPD＝90°，
∴∠BPC＝∠BPD+∠CPD＝150°，
∴∠BPH＝30°，
在Rt△PBH中，∠BPH＝30°，PB＝2，
∴BH＝PB＝，PH＝BH＝3，
∴CH＝PC+PH＝2+3＝5，
在Rt△BCH中，BC2＝BH2+CH2＝（）2+52＝28，
∴BC＝2，
故答案为：2
10．（2021•镇雄县一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，且AC在直线l上，将△ABC绕点A顺时针旋转到①，可得到点P1，此时AP1＝2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝2+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝3+；…按此规律继续旋转，直到点P2020为止，则AP2020等于 ．
【答案】2021+673
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，
∴AB＝2，BC＝，
∴将△ABC绕点A顺时针旋转到①，可得到点P1，此时AP1＝2；
将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②可得到点P2，此时AP2＝2+；
将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝3+；…
∵2020÷3＝673…1
∴AP2020＝673（3+）+2＝2021+673，
故答案为：2021+673
11．（2020•江都区三模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A′BC′，连接A′C，则A′C的长为 ．
【答案】4+3
【解答】解：如图，
连接CC'，∵△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A′BC′，
∴BC＝BC′＝6，∠CBC′＝60°，A′B＝AB＝AC＝A′C′＝5，
∴△BCC'是等边三角形，
∴BC＝C'C，
∵A'B＝A'C'，
∴A'C是BC'的垂直平分线，垂足为D，
∴BD＝BC'＝3，
在Rt△A'BD中，A'B＝5，BD＝3，根据勾股定理得，A'D＝4，
在Rt△BCD中，∠CBD＝60°，BC＝6，
∴CD＝BC•sin∠CBD＝6×sin60°＝3，
∴A'C＝A'D+CD＝4+3
故答案为：4+3．
12．（2022秋•恩施市期末）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，将CO绕点C顺时针方向旋转60°得到CD，连接AD，OD．
（1）当α＝150°时，求证：△AOD为直角三角形；
（2）求∠DAO的度数；
（3）请你探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
【解答】（1）证明：由旋转的性质得：OC＝CD，∠DCO＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴∠CDO＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
∴∠ACD＝∠BCO，
∴△BOC≌△ADC（SAS），
∴∠ADC＝∠BOC＝150°，
∴∠ADO＝90°，
即△AOD是直角三角形；
（2）解：∵△COD是等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∵∠AOB＝110°，∠BOC＝α，
∴∠AOD＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α，
由（1）知：△ADC≌△BOC，
∴∠ADC＝∠BOC＝α，
∴∠ADO＝α﹣60°，
△ADO中，∠DAO＝180°﹣∠ADO﹣∠AOD＝180°﹣（α﹣60°）﹣（190°﹣α）＝50°；
（3）解：分三种情况：
①当AO＝AD时，∠AOD＝∠ADO．
∵∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠COD﹣α＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，
∴190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°；
②当OA＝OD时，∠OAD＝∠ADO．
∵∠AOD＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，
∴∠OAD＝180°﹣（∠AOD+∠ADO）＝50°，
∴α﹣60°＝50°，
∴α＝110°；
③当OD＝AD时，∠OAD＝∠AOD．
∵190°﹣α＝50°，
∴α＝140°，
综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．
13．（2022秋•青山湖区期末）如图，△ABC和△AMN均为等边三角形，将△AMN绕点A旋转（△AMN在直线AC的右侧）．
（1）求证：△BAM≌△CAN；
（2）若点C，M，N在同一条直线上，
①求∠BMC的度数；
②点M是CN的中点，求证：BM⊥AC．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△AMN是等边三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，
∴∠BAC+∠MAC＝∠MAN+∠MAC，
即∠BAM＝∠CAN，
在△BAM和△CAN中，，
∴△BAM≌△CAN；
（2）①解：∵△AMN为等边三角形，
∴∠AMN＝∠NAM＝∠AMN＝60°，
∵△BAM≌△CAN，
∴∠AMB＝∠MNA＝60°，
∴∠BMC＝180°﹣∠AMN﹣∠AMB＝60°；
②证明：∵点M是CN的中点，
∴MN＝CM，
∵△AMN是等边三角形，
∴AM＝MN＝CM，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝CB，
∴MB是AC的垂直平分线，
∴BM⊥AC．
14．（2022•三穗县校级模拟）如图，P是等边△ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P'AB，
（1）求点P与P'之间的距离；
（2）求∠APB的度数．
【解答】解：（1）由题意可知BP′＝PC＝5，AP′＝AP，
∠PAC＝∠P′AB，
而∠PAC+∠BAP＝60°，
所以∠PAP′＝60度．
故△APP′为等边三角形，
所以PP′＝AP＝AP′＝3；
（2）利用勾股定理的逆定理可知：
PP′2+BP2＝BP′2，
所以△BPP′为直角三角形，
且∠BPP′＝90°
可求∠APB＝90°+60°＝150°．
15．（2021秋•平泉市期末）如图，△ABC是边长为4cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6cm，点D从O点出发，沿OM方向以1cm/s的速度运动，运动时间为t．当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE．
（1）求证：△CDE是等边三角形．
（2）当△BCD为直角三角形时，求t的值．
【解答】（1）证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，
∴△ADC≌△BEC，
∴CD＝CE，∠DCA＝∠ECB，
∴∠DCA+∠ACE＝∠ECB+∠ACE＝∠ABC＝60°
∴∠DCE＝60°，DC＝EC，
∴△CDE是等边三角形；
（2）解：①当∠BCD＝90°时，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠BDC＝90°﹣60°＝30°，
∴BD＝2BC＝8cm，
∵OB＝OA+AB＝6+4＝10cm，
∴OD＝OB﹣BD＝10﹣8＝2cm，
∴t＝2s．
②当∠CDB＝90°时，AD＝DB＝2cm，
∴OD＝OA+AD＝8cm，
∴t＝8s．
综上所述：当t＝2s或8s时，△BDC是直角三角形．
16．（2022秋•思明区校级月考）如图，在锐角△ABC中，∠A＝60°，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F．
（1）如图1，若AB＞AC，且BD＝CE，∠BCD＝∠CBE，求∠CFE的度数；
（2）如图2，若AB＝AC，且BD＝AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想．
【解答】解：（1）如图1中，在射线CD上取一点K，使得CK＝BE，
在△BCE和△CBK中，
，
∴△BCE≌△CBK（SAS），
∴BK＝CE，∠BEC＝∠BKD，
∵CE＝BD，
∴BD＝BK，
∴∠BKD＝∠BDK＝∠ADC＝∠CEB，
∵∠BEC+∠AEF＝180°，
∴∠ADF+∠AEF＝180°，
∴∠A+∠EFD＝180°，
∵∠A＝60°，
∴∠EFD＝120°，
∴∠CFE＝180°﹣120°＝60°；
（2）结论：BF+CF＝2CN．
理由：如图2中，∵AB＝AC，∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝CB，∠A＝∠CBD＝60°，
∵AE＝BD，
∴△ABE≌△BCD（SAS），
∴∠BCF＝∠ABE，
∴∠FBC+∠BCF＝60°，
∴∠BFC＝120°，
如图2中，延长CN到Q，使得NQ＝CN，连接FQ，
∵NM＝NF，∠CNM＝∠FNQ，CN＝NQ，
∴△CNM≌△QNF（SAS），
∴FQ＝CM＝BC，
延长CF到P，使得PF＝BF，则△PBF是等边三角形，
∴∠PBC+∠PCB＝∠PCB+∠FCM＝120°，
∴∠PFQ＝∠FCM＝∠PBC，
∵PB＝PF，
∴△PFQ≌△PBC（SAS），
∴PQ＝PC，∠CPB＝∠QPF＝60°，
∴△PCQ是等边三角形，
∴BF+CF＝PC＝QC＝2CN．
17．（2022秋•竹山县期中）如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合．
（1）三角尺旋转了多少度？
（2）连接CD，试判断△CBD的形状．
（3）求∠BDC的度数．
【解答】解：（1）∵△ABC旋转后AB与BE重合，∠ABC＝30°，
∴∠ABE＝180°﹣30°＝150°，
∴三角尺旋转了150°．
（2）∵△EBD由△ABC旋转而成，
∴△ABC≌△EBD，
∴BC＝BD，△CBD是等腰三角形．
（3）∵△ABC≌△EBD，
∴∠EBD＝∠ABC＝30°，
∴∠DBC＝180﹣30°＝150°，
∵△CBD是等腰三角形，
∴∠BDC＝＝＝15°．
故答案为：150；等腰；15．
18．（2022•黄冈模拟）（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．
求：①旋转角的度数 ；
②线段OD的长 ；
③求∠BDC的度数．
（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC＝90°？请给出证明．
【解答】解：（1）①∵△ABC为等边三角形，
∴BA＝BC，∠ABC＝60°，
∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴∠OBD＝∠ABC＝60°，
∴旋转角的度数为60°；
②∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴BO＝BD，
而∠OBD＝60°，
∴△OBD为等边三角形；
∴OD＝OB＝4；
③∵△BOD为等边三角形，
∴∠BDO＝60°，
∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴CD＝AO＝3，
在△OCD中，CD＝3，OD＝4，OC＝5，
∵32+42＝52，
∴CD2+OD2＝OC2，
∴△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，
∴∠BDC＝∠BDO+∠ODC＝60°+90°＝150°；
（2）OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°．理由如下：
∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO，
∴△OBD为等腰直角三角形，
∴OD＝OB，
∵当CD2+OD2＝OC2时，△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，
∴OA2+2OB2＝OC2，
∴当OA、OB、OC满足OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°．
19．（2022春•兰州期中）（1）如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E在BC上，∠DAE＝45°，为了探究BD、DE、CE之间的等量关系，现将△AEC绕A顺时针旋转90°后成△AFB，连接DF，经探究，你所得到的BD、DE、CE之间的等量关系式是 ．（无需证明）
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，D、E在BC上，∠DAE＝60°、∠ADE＝45°，试仿照（1）的方法，利用图形的旋转变换，探究BD、DE、CE之间的等量关系，并证明你的结论．
【解答】解：（1）线段BD、DE、CE之间的等量关系式是：BD2+CE2＝DE2；
理由：∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABD＝∠ACE＝45°，由旋转的性质可知，△AEC≌△AFB，
∴∠ABF＝∠ACE＝45°，FB＝CE
∴∠FBD＝∠ABF+∠ABD＝90°旋转角∠FAE＝90°，又∠DAE＝45°，
故∠FAD＝∠FAE﹣∠DAE＝45°，
易证△AFD≌△AED，故FD＝DE，
在Rt△FBD中，由勾股定理得：BD2+BF2＝DF2；
即：BD2+CE2＝DE2．
（2）仿照（1）可证，△AEC≌△AFB，
故BF＝CE，△AFD≌△AED，故FD＝DE，
∵∠ADE＝45°，
∴∠ADF＝45°，故∠BDF＝90°，
在Rt△BDF中，由勾股定理，得BF2＝BD2+DF2，
∴CE2＝BD2+DE2．
20．（2021春•江岸区校级月考）△ABC中，∠A＝45°，∠CBA＝α，点D在边AB上，将线段CD逆时针旋转β得到CE，连接DE．
（1）当α＝45°，β＝90°时，求证：AD2+DB2＝DE2．
（2）当α＝30°，β＝120°时，若CE＝BE，求的值．
【解答】证明：（1）如图1，连接BE，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠A＝∠CBE，
∵∠A＝＝∠CBA＝45°，
∴∠DBE＝90°，
∴BE2+BD2＝DE2，
∴AD2+BD2＝DE2；
（2）在BD的延长线上取点G，使CG＝BC
∴∠CBA＝∠G＝30°，
由（1）同理得△CGD≌△CBE，
∴∠G＝∠CBE＝30°，
∴设CE＝BE＝CD＝a，∠DCB＝90°，
∴CB＝，BD＝2a，
作CH⊥AB于H，
∴CH＝AH＝，DH＝，BH＝，
∴AD＝，AB＝，
∴．
21．（2021•中江县模拟）如图，在等边△ABC中，点D为△ABC内的一点，∠ADB＝120°，∠ADC＝90°，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，连接DE．
（1）求证：AD＝DE；
（2）求∠DCE的度数；
（3）若BD＝1，求AD，CD的长．
【解答】（1）证明：∵将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE
∴△ABD≌△ACE，∠BAC＝∠DAE，
∴AD＝AE，BD＝CE，∠AEC＝∠ADB＝120°，
∵△ABC为等边三角形
∴∠BAC＝60°
∴∠DAE＝60°
∴△ADE为等边三角形，
∴AD＝DE，
（2）∠ADC＝90°，∠AEC＝120°，∠DAE＝60°
∴∠DCE＝360°﹣∠ADC﹣∠AEC﹣∠DAE＝90°，
（3）∵△ADE为等边三角形
∴∠ADE＝60°
∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝30°
又∵∠DCE＝90°
∴DE＝2CE＝2BD＝2，
∴AD＝DE＝2
在Rt△DCE中，．
22．（2020秋•辉县市期中）如图（1），已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A的一条直线，且B、C在A、E的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E
（1）试说明：BD＝DE+CE．
（2）若直线AE绕A点旋转到图（2）位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请直接写出结果；
（3）若直线AE绕A点旋转到图（3）位置时（BD＞CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由．
【解答】解：（1）证明：∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠EAC＝90°，
又∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠BDA＝∠AEC＝90°，
∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠EAC，
又∵AB＝AC，
∴△ABD≌△CAE，
∴BD＝AE，AD＝CE，
∵AE＝AD+DE＝CE+DE，
∴BD＝DE+CE．
（2）同理可得，DE＝BD+CE；
（3）同理可得，DE＝BD+CE．
23．（2022秋•大冶市期末）如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝40°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转100°，得到△DBE，连接AD，CE交于点F．
（1）求证：△ABD≌△CBE；
（2）求∠AFC的度数．
【解答】（1）证明：∵△ABC绕点B按逆时针方向旋转100°，
∴∠ABC＝∠DBE＝40°，
∴∠ABD＝∠CBE＝100°，
又∵BA＝BC，
∴AB＝BC＝BD＝BE，
在△ABD与△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（SAS）．
（2）解：∵∠ABD＝∠CBE＝100°，BA＝BC＝BD＝BE，
∴∠BAD＝∠ADB＝∠BCE＝∠BEC＝40°．
∵∠ABE＝∠ABD+∠DBE＝140°，
∴∠AFE＝360°﹣∠ABE﹣∠BAD﹣∠BEC＝140°，
∴∠AFC＝180°﹣∠AFE＝40°．
24．（2022秋•青山湖区期末）阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．
为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝ ；
（2）基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题
已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2；
（3）能力提升
如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．
【解答】解：（1）∵△ACP′≌△ABP，
∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB，
由题意知旋转角∠PA P′＝60°，
∴△AP P′为等边三角形，
P P′＝AP＝3，∠A P′P＝60°，
易证△P P′C为直角三角形，且∠P P′C＝90°，
∴∠APB＝∠AP′C＝∠A P′P+∠P P′C＝60°+90°＝150°；
故答案为：150°；
（2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，
由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠E′AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EAF＝∠E′AF，
在△EAF和△E′AF中，
∴△EAF≌△E′AF（SAS），
∴E′F＝EF，
∵∠CAB＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠E′CF＝45°+45°＝90°，
由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2，
即EF2＝BE2+FC2．
（3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2，
∴BC＝，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，
∴△A′O′B如图所示；
∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°，
∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，
∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，
∴△BOO′是等边三角形，
∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，
∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，
∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BOO′＝120°+60°＝180°，
∴C、O、A′、O′四点共线，
在Rt△A′BC中，A′C＝，
∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝．
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