河南省新高中创新联盟TOP二十名校2023-2024学年高二下学期6月调研考试数学试题

这是一份河南省新高中创新联盟TOP二十名校2023-2024学年高二下学期6月调研考试数学试题，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.复数的实部为( )
A. 2B. 1C. D.
3.平行四边形ABCD中，E为CD中点，AC与BD交于O，记，，，则( )
A. 1B. C. D.
4.若曲线表示椭圆，则实数k的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知函数满足对都有，，则( )
A. 1B. 2024C. 2D. 2025
6.已知正数a，b，c满足，则的最小值为( )
A. 1B. C. 2D.
7.棱长均为3的正三棱柱的各个顶点均在球O的表面上，则球O的表面积为( )
A. B. C. D.
8.在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.样本数据28、30、32、36、36、42的( )
A. 极差为14B. 平均数为34C. 上四分位数为36D. 方差为20
10.已知双曲线，M为C右支上的一个动点，过M分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，O为坐标原点，则四边形OAMB的周长的可能取值有( )
A. 5B. 8C. 6D.
11.已知函数，则( )
A. 的值域为B. 的最小正周期为
C. 在上单调递减D. 的图象关于直线对称
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则__________.
13.展开式中项的系数为__________.
14.过点的直线l与曲线有且仅有两个不同的交点，则l斜率的取值范围为__________.
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题12分
已知首项为的数列满足
求的前n项和
中能否存在连续的三项，，成等差数列?若能，求出k的值;若不能，请说明理由.
16.本小题12分
夏季濒临，在某校举办的篮球挑战杯上，篮球队员们向台下的观众展现出了一场酣畅淋漓的比赛.假定在本次挑战杯上同学甲每次投篮命中的概率为
若该同学投篮4次，求恰好投中2次的概率;
若该同学在每一节比赛中连续投中2次，即停止投篮，否则他将继续投篮，投篮4次后不管有没有连续投中，都将停止投篮，求他在每一节比赛中投篮次数X的概率分布列及数学期望.
17.本小题12分
如图，在四棱锥中，，，平面平面ABCD，，M， N分别是AD，CQ的中点.
证明：
若，直线MN与平面QBC所成角的正弦值为，求QM的长度.
18.本小题12分
已知抛物线，M，N为C上的两个动点，直线MN的斜率为k，线段MN的中点为
证明：
已知点，求面积的最大值.
19.本小题12分
证明：当时，
已知函数，若的极大值点为0，求实数a的取值范围.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查集合的交集运算，属于基础题.
先求出集合A和B，再利用交集运算即可求解.
【解答】
解：由，得或，
所以或，
则
故选
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了复数的运算法则、复数的概念，考查了计算能力，属于基础题．
利用复数的运算法则、复数的概念即可得出．
【解答】
解：因为，
其实部为
故选
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查平面向量加减与数乘混和运算，属于基础题，
根据题意计算即可.
【解答】
解：由题意得，所以故选
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查椭圆的性质，属于基础题，
根据已知条件，结合椭圆的性质，即可求解．
【解答】
解：因为曲线表示椭圆，
则应满足即
故选
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了函数的基本性质，属于基础题.
求出函数的周期为3，以及，即可求出结果.
【解答】
解：由，令，可知，即，
又因为，所以函数的一个周期为3，则
故选
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，利用“对勾”函数的单调性求最值，属于一般题.
令，利用基本不等式可得，进而转化为“对勾”函数的单调性求最值.
【解答】
解：，当且仅当时等号成立，
令，
又在上单调递增，
所以当时，y的最小值为
故选
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查球的表面积以及球的切、接问题，属于较易题.
根据题意，确定球心及外接球半径，然后利用球的表面积公式，求出球O的表面积.
【解答】
解：如图：设正三棱柱的上，下底面的中心分别为，，连接，设线段的中点为O，则O为其外接球的球心.
因为等边三角形ABC的边长为3，
所以，
所以球O的半径，
故球O的表面积
故选
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦函数的性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
由正弦定理，两角和与差的正弦函数公式化简已知等式可得，结合A，B是锐角，可得，由三角形内角和定理可求范围，利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式，余弦函数的性质即可求解其范围．
【解答】
解：，
由正弦定理可得：，
又，
，可得：，
，
，B是锐角，
，即，
，
可得：，，
故选：
9.【答案】ABC
【解析】【分析】
【分析】本题主要考查了数据的极差，平均数，百分位数，以及方差，属于基础题.
利用极差，平均数，百分位数，以及方差的定义即可判断.
【解答】
【解答】解：极差为，故A正确;
平均数为，故B正确;
因为，所以样本数据的上四分位数为从小到大排列的第5个数，即36，故C正确;
方差，故D错误.
10.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查双曲线的渐近线以及点到直线的距离、利用基本不等式求最值，属于一般题，
根据题意以及点到直线的距离，再利用基本不等式计算即可.
【解答】
解：设，则，
因为渐近线方程为，
所以，
，
所以，
则，
当且仅当时等号成立，
所以四边形OAMB的周长为
故选
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查了正弦函数性质的综合应用，属于一般题，
利用平方关系及二倍角公式将函数化简为 ，
根据正弦函数的值域可判断选项A，
根据正弦函数图像的周期性可判断选项B，
根据正弦函数图像的单调性可判断选项C，
根据正弦函数图像的对称性可判断选项
【解答】
解：因为 ，
因为 ，所以 ，故A正确；
因为 的最小正周期为 ，
而 的图象是由 的图象将x 轴下方的部分关于x 轴对称上去，
x 轴及x 轴上方部分不变，
所以 的最小正周期为 ，
故B错误；
当 时， ，
所以 ，
所以 ，
又 在 上单调递增，
所以 在 上单调递减，
故C正确；
因为 ，
所以关于对称，
故D正确；
故选：
12.【答案】；
【解析】【分析】
本题考查三角函数的恒等公式，属于基础题，
利用正切函数的倍角公式计算，计算即可.
【解答】解：；
13.【答案】528；
【解析】【分析】
本题考查指定项的系数，属于基础题，
求出的通项公式即可求出含的项，即可求解.
【解答】解：，
因为展开式第项为，
所以的系数为
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，属于一般题，
根据题意，将曲线，变形为，，分析可得其为圆的上部分，
结合直线线与圆的位置关系即可.
【解答】解：由题意可设直线，又曲线可化为，，
作出直线l与曲线的图象如图所示：
设图中直线，，，的斜率分别为，，，，
则，，，
又直线的方程为，
圆心到直线的距离为，
解得舍去或，
要使两图象有两个不同的交点，
则
15.【答案】解：由题意可得，又，所以数列是以a为首项，公比为2的等比数列，
故
不能，理由如下：由得，，
假设，，成等差数列，则，即，整理得，
由于不存在正整数k使得，故不存在，，成等差数列.
【解析】本题主要考查了等差数列的性质，以及等比数列求和，属于基础题.
首先判断出数列是以a为首项，公比为2的等比数列，即可求出结果；
利用等差数列的性质，即可判断.
16.【答案】解：令投中i次的概率为，
则
的可能取值为2，3，4，
，
，
，
故X的概率分布列为：
数学期望
【解析】本题考查二项分布的概率以及相互独立事件以及求其分布列以及期望，属于一般题，
根据题意利用二项分布求解即可；
根据题意分别求其概率、列出分布列求出期望即可.
17.【答案】解：是AD中点，， ，
平面平面ABCD，平面平面，平面QAD，
平面ABCD，
又平面ABCD，
取BC中点F，连接MF，
，F分别为AD，BC中点，， ，又，
以F为坐标原点， ， 正方向为x，y轴正方向，过F作z轴，可建立如图所示空间直角坐标系
设，
，，
，，，，，
， ，
设平面QBC的法向量 ，
则 ，
令，解得：，，
， ，
解得：或，
故QM的长为 或
【解析】本题主要考查线面角，面面垂直的性质，属于中档题.
先证明平面ABCD，由线面垂直的性质即可得证；
建立恰当的空间直角坐标系，利用空间向量法，由直线MN与平面QBC所成角的正弦值为 即可求解.
18.【答案】证明：设，，所以所以，
又，，所以
解：设直线MN的方程为，即，
联立整理得，
所以，解得，
，，则
又点A到直线MN的距离为，
所以，
记，因为，所以所以，
令，，则，令，可得，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以当时，取得最大值，即
【解析】【分析】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，属于中等题.
即可证得；
分别求出，，再转化为，求导即可求出最值.
19.【答案】证明：设，，则，
设，，则，
所以在上单调递增，，则在上单调递增，，
故当时，
解：由题意可得，，，且，故为偶函数.令，，则，，
，当时，，当，且时，
，
因此在上单调递减，当时，，当时，，在处取得极大值，符合题意，
当时，，因为当时，，所以，使得，且当时，，在上单调递增，又，
所以，，单调递增，这与在处取得极大值矛盾，不符合题意.
综上所述，a的取值范围是
【解析】本题考查利用导数证明不等式，利用导数研究函数的极值，属于困难题.
构造函数，利用导数研究函数的单调性，即可证明；
由题意知 是 上的偶函数，所以只需考虑区间，构造新函数，通过求导，利用极大值点的特征分类讨论，求得参数的取值范围.
X
2
3
4
P