河南省新高中创新联盟TOP二十名校2023-2024学年高二下学期2月调研考试数学试卷(含答案)

这是一份河南省新高中创新联盟TOP二十名校2023-2024学年高二下学期2月调研考试数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知直线的倾斜角为,则( )
A.B.C.D.0
2．已知函数,则从1到的平均变化率为( )
A.2B.C.D.
3．已知直线,,,a,䒴,,则( )
A.或B.C.或D.
4．设是函数的导函数,则的图象可能是( )
A.B.
C.D.
5．如图,在直三棱柱中,D为侧棱的中点;,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
6．已知抛物线的焦点为F,P为C上一点,,当的周长最小时,的面积为( )
A.B.1C.D.2
7．已知数列的前n项和为,且满足,则( )
A.B.C.D.
8．已知过原点的直线交椭圆于A,B两点,椭圆C的右焦点为F,且,若椭圆C的离心率,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列求导数运算正确的是( )
A.B.
C.D.
10．已知等比数列的前n项积为,,公比,,则( )
A.B.
C.当时,最小D.当时,最大
11．在正棱柱中,,点P满足,其中,,则( )
A.当时,三棱锥的体积为定值
B.当时,不存在点P,使得
C.当时,点P的轨迹为长度为2的线段
D.当时,点P的轨迹所构成图形的面积为
三、填空题
12．函数的图象在点处的切线方程是____________.
13．已知直线与双曲线交于A,B两点,P为双曲线C上在第一象限内一点,且,（O为坐标原点）,则P到l的距离最大值为__________.
四、双空题
14．已知等差数列满足,,则数列的通项公式为__________;记数列的前n项和为,若恒成立,则实数a的取值范围为__________.
五、解答题
15．已知圆的圆心在直线上,且半径为1,点到直线的距离为.
（1）求圆的方程;
（2）若点在第二象限,试判断圆与圆的位置关系.
16．如图1,在矩形中,,,点M,分别是,,上一点,且,过点作于点C,将剪掉,并将四边形沿直线折叠,使（如图2）,连接,取的中点D,连接,,,.
（1）求直线与平面所成角的正弦值;
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
17．已知数列的前n项和为,且,.
（1）证明：数列是等差数列;
（2）已知,求数列的前n项和.
18．已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为.
（1）求C的方程;
（2）若直线l交双曲线C于A,B两点,O是坐标原点,若是弦的中点,求的面积.
19．如图,已知椭圆的右焦点为F,离心率为,A是椭圆上任意一点,且的最小值为.
（1）求椭圆的方程;
（2）已知点,点A关于原点的对称点为B,直线,与椭圆的另一交点分别为C,D.试判断直线是否过定点？若过定点,求出定点的坐标;若不过定点,请说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意知直线的斜率为,
所以,解得.
故选：C.
2．答案：B
解析：函数从1到的平均变化率为.
故选：B.
3．答案：B
解析：由,得,且,
解得,由,得,故.
故选：B.
4．答案：C
解析：由,得,或,
由,得,所以在,上单调递增,在上单调递减,
由图知,只有C选项的图象符合.
故选：C.
5．答案：D
解析：不妨设,,故,
所以,即,在直三棱柱中,平面,,平面,所以,.以A为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示,
则,,,所以,,
所以,
故异面直线与所成角的余弦值为.
故选：D.
6．答案：A
解析：如图,作垂直于C的准线,垂足为B,由抛物线的定义知,
所以的周长为,要使周长最小,
则必须使得A,P,B三点共线,即点P在过A垂直于的直线上（图中点处）,
易求点,所以,在边上的高为1,故其面积为.
故选：A.
7．答案：D
解析：因为,
故,,所以,
所以.
故选：D.
8．答案：A
解析：设椭圆的左焦点为,
连接,由,得,
故四边形为矩形,所以.设,
所以,由椭圆的定义,得,
所以,所以,即,因为,
所以,所以,又,所以,又,
且,所以,所以,即的取值范围是.
故选：A.
9．答案：BCD
解析：对于A,,故A错误;
对于B,由指数函数求导公式可得,故B正确;
对于C,,故C正确;
对于D,,故D正确.
故选：BCD.
10．答案：BC
解析：由题意知,由,得,
所以,且,所以,
且当时,最小,故A,D错误,B,C正确.
故选：BC.
11．答案：AD
解析：当时,点P在上,因为平面,
所以点P到平面的距离为定值,又,故三棱锥的体积为定值,故A正确;
当时,点P在连接棱中点和中点的线段上,易知当P为该线段的中点时,,故B错误;当时,P,C,三点共线,故点P的轨迹为线段,其长度为,故C错误;
取中点M,连接,平面,,当时,连接,如图,
则,点P的轨迹是正方形内以M为圆心,为半径的半圆,
故当时,,故点P的轨迹是上述半圆弧与直径所围成的半圆面,其面积为,故D正确.
故选：AD.
12．答案：
解析：,,所以,故所求切线方程为,即.
13．答案：
解析：设,由,得,故①,
又在双曲线上,所以②,
由①②可得,,所以,故,联立
整理得,,
设,,则,,因为,
所以,
得,
所以0,
得,即,
当,即时,直线过定点,不符合题意;
当,即时,直线过定点.
综上,P到l的距离的最大值为.
14．答案：;
解析：因为,所以两式相减,得公差,
所以,所以,故;
所以,
则,
又恒成立,
则,解得或,即实数a的取值范围为.
15．答案：（1）或
（2）当时,圆与圆内含;
当时,圆与圆内切;
当时,圆与圆相交;
当时,圆与圆外切;
当时,圆与圆外离.
解析：（1）由题意可设,则圆,
由点到直线的距离为,得,
解得或,
所以圆的方程为,或.
（2）依题意,圆,其圆心为,半径为,
圆,其圆心为,半径为,
,
当,即时,圆与圆内含;
当,即时,圆与圆内切;
当,即时,圆与圆相交;
当,即时,圆与圆外切;
当,即时,圆与圆外离.
综上,当时,圆与圆内含;当时,圆与圆内切;当时,圆与圆相交;当时,圆与圆外切;当时,圆与圆外离.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意知,,,两两垂直,如图,以C为坐标原点建立空间直角坐标系,
则,,,,,
所以,,,
设平面的一个法向量为,则
令,则,,所以,
设直线与平面所成角为,
则,
故直线与平面所成角的正弦值为.
（2）设平面的一个法向量,又,
所以令,则,,所以,
又平面的法向量,
故,
故平面与平面的夹角的余弦值为.
17．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明：由,得,
令,则,解得;
当时,,
所以,所以,
所以当时,,
所以当时,,
又,满足上式,
所以,所以,
所以数列是等差数列.
（2）由（1）知,所以,
所以,
故,
两式相减,得,
所以.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）由双曲线C的一条渐近线方程为,所以,
故F到渐近线的距离,
所以,又,,所以,,
故C的方程为.
（2）设点,
因为是弦的中点,则
由于,,
所以两式相减,得,
所以,即直线l的斜率为,
所以直线l的方程为,即.
联立
消去y并整理,得,
所以,且,,
所以.
点O到直线的距离为,
所以的面积为.
19．答案：（1）
（2）过定点
解析：（1）由题意知解得
故的方程为.
（2）由（1）知,,设,
直线的方程为,
联立整理得,
设,
,
,故,
同理,
当,即时,,直线的方程为,
当,即时,.
故直线的方程为,
所以,
所以直线过,
综上,过定点.