2024成都中考数学第一轮专题复习之第三章 微专题 反比例函数与一次函数综合题 练习课件
展开1. (2023营口)如图,点A在反比例函数y= (x>0)的图象上,AB⊥y轴于点B,tan ∠AOB= ,AB=2.(1)求反比例函数的解析式;
解:(1)∵AB⊥y轴于点B,∴∠OBA=90°,在Rt△OBA中,AB=2,tan ∠AOB= ,∴OB=4,∴A(2,4).∵点A在反比例函数y= (x>0)的图象上,∴k=4×2=8,∴反比例函数的解析式为y= ;
(2)点C在这个反比例函数图象上,连接AC并延长交x轴于点D,且∠ADO=45°,求点C的坐标.
(2)如图,过点A作AF⊥x轴于点F,
∴∠AFD=90°.∵∠ADO=45°,∴∠FAD=90°-∠CDF=45°,∴AF=DF=OB=4.∵OF=AB=2,∴OD=6,∴D(6,0).设直线AC的解析式为y=ax+b.
∵点A(2,4),D(6,0)在直线AC上,∴∴∴直线AC的解析式为y=-x+6.由 解得 (舍去)或∴C(4,2).
2. 如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的顶点A,B在x轴的正半轴上,顶点D在直线y= x位于第一象限的图象上,反比例函数y= (x>0)的图象经过点D,交BC于点E,AB=4.(1)若BC=6,求点E的坐标;
解:(1)∵BC=6,∴AD=BC=6.∵把y=6代入y= x中,解得x=4,∴点D(4,6).
将点D的坐标代入反比例函数表达式得k=4×6=24,故反比例函数的表达式为y= .∵OB=OA+AB=8,即点E的横坐标为8,则y= =3,∴点E的坐标为(8,3);
(2)连接DE,当DE⊥OD时,求点D的坐标.
(2)设点D(2a,3a)(a≠0),∵四边形ABCD为矩形,∴∠DAO=∠ADC=90°.∵DE⊥OD,∴∠ODE=90°.∴∠ODA=∠EDC.∵∠OAD=∠ECD=90°,∴△OAD∽△ECD,
∴ ,即 ,解得CE= ,∴点E(2a+4,3a- ).∵点D,E都在反比例函数的图象上,∴2a·3a=(2a+4)(3a- ),解得a= ,∴点D的坐标为( , ).
根据DE⊥OD,得出∠ODE=90°,倒角得到∠ODA=∠EDC是关键.
3. 如图,在平面直角坐标系中,等腰直角△ABC的顶点A,B分别在x轴,y轴上,点C在反比例函数y= (x>0)的图象上,AC的中点D也在该反比例函数的图象上,已知A(3,0).(1)求k的值;
解:(1)设点C(a, ).∵D是AC的中点,A(3,0),∴D( , ).∵D在反比例函数y= 的图象上,∴ =k,解得a=1.
如图,过点C作CE⊥y轴交y轴于点E,则CE=1,∠BEC=∠AOB=90°.
∵△ABC为等腰直角三角形,∴AB=BC,∠ABC=90°,∴∠ABO+∠BAO=∠ABO+∠CBE=90°,∴∠BAO=∠CBE.∴△ABO≌△BCE,∴OB=CE=1,BE=AO=3,∴OE=4,∴C(1,4),∴k=4;
根据△ABC为等腰直角三角形,且点B在y轴上可过点C向y轴作垂线构造“一线三等角”模型.
(2)若点P是反比例函数图象上的一点,当△POD的面积是△ABC面积的 时,求点P的坐标.
(2)设P(m, ),由题意可知m>0.由(1)可知,B(0,1),C(1,4),D(2,2),∴BC= ,∴S△ABC= ×( )2=5,∴S△ODP= .∵点D(2,2),∴OD所在的直线的函数表达式为y=x.
∴PQ=|m- |,∴S△ODP= ×2·PQ=|m- |= .若m- = ,解得m= 或m= (舍去),若 -m= ,解得m= 或m= (舍去),∴P( , )或( , ).
如解图②,过点P作PQ∥y轴交OD所在的直线于点Q,则Q(m,m),
4. 如图,已知一次函数y=kx+b与反比例函数y= 的图象交于A(-3,2),B(1,n)两点,一次函数图象与y轴交于点C.(1)求n的值及一次函数与反比例函数的表达式;
解:(1)∵反比例函数y= 的图象经过点A(-3,2),∴m=-6.∵点B(1,n)在反比例函数图象上,∴n=-6,∴B(1,-6).把点A,B的坐标代入y=kx+b中,
得 解得∴一次函数的表达式为y=-2x-4,反比例函数的表达式为y=- ;
(2)点P是反比例函数图象上一点,且△POC是以OC为底边的等腰三角形,求点P的坐标;
(2)如解图,∵△POC是以OC为底边的等腰三角形,∴OP=CP.令x=0,则y=-2x-4=-4,∴点C的坐标为(0,-4),∴OC=4,∴点P的纵坐标为-2.∵点P在反比例函数图象上,∴当y=-2时,x=3,∴点P的坐标为(3,-2);
(3)若P是直线AB上的一点,且BP=2AP,求点P的坐标.
(3)由(1)知直线AB的表达式为y=-2x-4.∵A(-3,2),B(1,-6),P是直线AB上一点,设点P的坐标为(t,-2t-4),∴BP= ,AP= .∵BP=2AP,∴BP2=4AP2,即(t-1)2+(-2t+2)2=4[(t+3)2+(-2t-6)2],整理得15t2+130t+175=0,
解得t=- 或t=-7,将t=- 代入直线AB的表达式中,得y=- ;将t=-7代入直线AB的表达式中,得y=10,∴点P的坐标为(- ,- )或(-7,10).
用含字母的代数式设出点P的坐标,再表示出AP,BP的长,根据题干给出的BP=2AP,列出代数式求解即可.
5. (2022徐州)如图,一次函数y=kx+b(k>0)的图象与反比例函数y= (x>0)的图象交于点A,与x轴交于点B,与y轴交于点C,AD⊥x轴于点D,CB=CD,点C关于直线AD的对称点为点E.(1)点E是否在这个反比例函数的图象上?请说明理由.
解:(1)在,理由如下:如图,过点A作y轴的垂线,交y轴于点F,
设点A的坐标为(a,2b),∵AD⊥x轴于点D,
∴D(a,0).∵CB=CD,∠COB=∠COD=90°,CO=CO,∴△COB≌△COD,∴OB=OD,∠BCO=∠DCO.∵AF=DO,∠BCO=∠ACF,∴∠DCO=∠ACF,∴△ACF≌△DCO,∴OC=CF,∴C(0,b).∵点C关于直线AD的对称点为点E,∴E(2a,b).∵点A在反比例函数的图象上,∴2ab=8,∴点E在反比例函数的图象上.
(2)连接AE,DE,若四边形ACDE为正方形.①求k,b的值;
(2)①∵四边形ACDE为正方形,∴∠ACD=90°,由(1)得△ACF≌△DCO,2ab=8,∴∠ACF=∠DCO,∴∠DCO=45°,△COD为等腰直角三角形,∴a=b,∴a2=4.
∵a>0,∴a=2,∴B(-2,0),C(0,2),∴解得
②若点P在y轴上,当|PE-PB|最大时,求点P的坐标.
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