2024成都中考数学第一轮专题复习之第六章 微专题 圆的综合题 练习课件

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1. (2023安徽)已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD是⊙O的直径．(1)如图①，连接OA，CA，若OA⊥BD，求证：CA平分∠BCD；
(1)证明：∵OA⊥BD，且OB＝OD， ∴AO垂直平分BD，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB.∵∠ACD＝∠ABD，∠ADB＝∠ACB，∴∠ACD＝∠ACB，∴CA平分∠BCD；
(2)如图②，E为⊙O内一点，满足AE⊥BC，CE⊥AB.若BD＝3 ，AE＝3，求弦BC的长．
2. 如图，以矩形ABCD(AB>BC)的对角线AC为直径作⊙O，过点B作AC的垂线，垂足为P，交CD于点E，交AD的延长线于点F，取EF的中点H，连接DH.(1)求证：DH是⊙O的切线；
(1)证明：如图，连接BD，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝∠ADC＝90°，∴BD为⊙O的直径．∵BF⊥AC，∴∠ECP＋∠CEP＝90°.
在Rt△FDE中，H为EF的中点，∴DH＝EH，∴∠DEF＝∠EDH＝∠CEP.∵∠ECP＝∠ODC，∴∠ODH＝∠EDH＋∠ODC＝90°，∴OD⊥DH.又∵OD是⊙O的半径，∴DH是⊙O的切线；
(2)若AC＝4，EF＝ ，求CE的长．
3. (2023葫芦岛)如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点E作EF∥AB，交CA的延长线于点F.(1)求证：EF与⊙O相切；
(1)证明：如图，连接OE.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝45°，∴∠BOE＝2∠BCE＝90°.
∵EF∥AB，∴∠OEF＝∠BOE＝90°，∴OE⊥EF.∵OE是⊙O的半径，∴EF与⊙O相切；
(2)若∠CAB＝30°，AB＝8，过点E作EG⊥AC于点M，交⊙O于点G，交AB于点N，求 的长．
(2)解：如图，连接GO，GB.
∵EG⊥AC，∴∠EMF＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠EMF，∴EG∥BC，∴∠CEG＝∠BCE＝45°，
∴∠CBG＝∠CEG＝45°.∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∴∠ABC＝60°，∴∠ABG＝∠ABC－∠CBG＝15°，∴∠AOG＝2∠ABG＝30°，∴ 的长为 .
4. 如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，弦BD与AC相交于点E，连接AD，CD，∠BAD＝3∠CBD，连接AO并延长交BD于点F.(1)求证：AF＝AD；
(1)证明：如图，连接OB，OC，
∵∠BAD＝3∠CBD，∴∠BAF＝∠CAF＝∠CAD＝∠CBD.∵ ＝ ，∴∠ABF＝∠ACD，∴△ABF≌△ACD，∴AF＝AD；
(2)若CB2－CD2＝4，求BD·CD的值．
又∵AF＝AD，∴DE＝EF.在Rt△BCE和Rt△CDE中，CB2＝BE2＋CE2，CD2＝DE2＋CE2，∴CB2－CD2＝BE2＋CE2－(DE2＋CE2)＝BE2－DE2 ＝(BE＋DE)(BE－DE)＝BD·(BE－EF) ＝BD·BF＝BD·CD.∴BD·CD＝4.
5. 如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点D是⊙O上一点，连接CD，AD，且∠DAB＝2∠B，过点C作⊙O的切线交DA的延长线于点E.(1)求证：CE⊥AD；
(1)证明：如图，连接OC，
∵∠DAB＝2∠B，∠AOC＝2∠B，∴∠DAB＝∠AOC，∴OC∥AD.∵CE是⊙O的切线，∴OC⊥CE，∴CE⊥AD；
(2)若OA＝5，tan D＝ ，求CE的长．
(2)解：如图，连接AC，
∴AC＝2 (负值已舍去)，∴BC＝4 ，∴cs B＝ .∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO.∵∠ACE＋∠ACO＝90°，∠CAO＋∠B＝90°，∴∠ACE＝∠B，∴cs ∠ACE＝cs B，∴CE＝AC·cs ∠ACE＝AC·cs B＝4.
6. (2023德阳)如图，已知AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，EC的延长线与AB的延长线相交于点D，且CD＝OA，AE∥OC.(1)求证：AC是∠EAD的平分线；
(1)证明：∵AE∥OC，∴∠EAC＝∠ACO.∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠EAC＝∠CAO，∴AC是∠EAD的平分线；
(2)求∠ACD的度数；
(2)解：如图，连接CB.
设∠CAO＝α.根据(1)可知∠EAC＝∠CAO＝∠ACO＝α，∠EAO＝∠EAC＋∠CAO＝2α，∴∠COB＝∠CAO＋∠ACO＝2α.∵CD＝OA，∴CD＝OC.∴∠COB＝∠D＝2α.
∴∠CBO＝∠BCD＋∠D＝4α.∵OB＝OC，∴∠CBO＝∠OCB＝4α，∴∠CBO＋∠OCB＋∠COB＝4α＋4α＋2α＝10α＝180°，∴α＝18°，∴∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝90°＋2α ＝90°＋36°＝126°；