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2024成都中考数学第一轮专题复习之第三章 微专题 二次函数综合题 类型一~二 教学课件
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这是一份2024成都中考数学第一轮专题复习之第三章 微专题 二次函数综合题 类型一~二 教学课件，共36页。PPT课件主要包含了考情及趋势分析，例题图①，例题图②，例题图③，例题图④，例题解图④，方法四和差法，例题图⑤，解题关键点，解题有策略等内容，欢迎下载使用。
类型一 线段问题(2023.25)
例 已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B两点，与y轴交于点C(0，3)，连接BC.(1)如图①，点D是x轴上一点，连接CD，若AD＝CD，求点D的坐标；
【思维教练】设出点D的坐标，线段AD的长可以根据横坐标相减得到，线段CD的长可以根据C，D两点的坐标利用勾股定理得到，然后结合线段相等列方程求解即可．
解：(1)设D(d，0)，∵A(－1，0)，C(0，3)，∴AD＝|d＋1|，OC＝3，∴CD＝ ＝ .∵AD＝CD，∴|d＋1|＝ ，即(d＋1)2＝9＋d2，解得d＝4，∴点D的坐标为(4，0)；
(2)如图②，点E是抛物线对称轴上一动点，连接AE，CE，求AE＋CE的最小值；
【思维教练】根据抛物线的对称性可知关于抛物线对称轴对称的两个点到抛物线对称轴上的任意一点的距离相等，连接BE，可知AE＝BE，从而将问题转化成求BE＋CE的最小值，根据三点共线时线段和最短即可求解．
(2)将点A(－1，0)，C(0，3)分别代入y＝－x2＋bx＋c中，
得 解得
∵C(0，3)，∴OC＝3，OB＝3，∴BC＝ ＝3 .∵点E在抛物线的对称轴上，∴AE＝BE，∴AE＋CE＝BE＋CE.∵BE＋CE≥BC，∴当B，C，E三点共线时，BE＋CE取得最小值，最小值为BC的长．∴AE＋CE的最小值为3 ；
∴抛物线的函数表达式为y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∴B(3，0).如图，连接BE，
(3)如图③，点P是第一象限内抛物线上一点，连接OP交BC于点F.①当 时，求点P的坐标；
【思维教练】根据相似三角形的性质可知相似三角形对应边成比例，过点P作PM∥y轴交CB于点M，从而将 转化成 ，根据线段长的比例列出关系式求解即可．
①如图，过点P作PM∥y轴，交BC于点M，设P(t，－t2＋2t＋3).
∵B(3，0)，C(0，3)，∴直线BC的表达式为y＝－x＋3，∴M(t，－t＋3)，∴PM＝－t2＋2t＋3－(－t＋3)＝－t2＋3t.∵PM∥y轴，∴△OCF∽△PMF，
∴－t2＋3t＝2，解得t1＝1，t2＝2，∴点P坐标为(1，4)或(2，3)；
∴ ，∴ ，
【思维教练】由①可知 ，用 表示出 ，再利用二次函数的性质即可求解最值．
②探究 有最大值吗？若有，求出最大值，若没有，请说明理由；
② 有最大值．理由如下：由①知 ＝ ＝－ t2＋t＝－ (t－ )2＋ ∵－ ＜0，∴ 有最大值，最大值是 ；
【思维教练】过点P作PF∥y轴，交BC于点F，根据抛物线的性质可得△OBC是等腰直角三角形，从而得到△FPQ也是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形直角边与斜边的关系，将求PQ的最大值转化成求PF的最大值，设出点P的坐标，从而表示出点F的坐标，进而表示出PF的长，根据二次函数的性质即可求解．
(4)如图④，点P是第一象限内抛物线上一点，过点P作PQ⊥BC于点Q，求PQ的最大值及此时点P的坐标；
(4)如图，过点P作PF∥y轴，交BC于点F，
∵OB＝OC＝3，∴∠OCB＝45°.∵PF∥y轴，∴∠PFQ＝∠OCB＝45°，∴PQ＝ PF，∵B(3，0)，C(0，3)，∴直线BC的表达式为y＝－x＋3.设P(n，－n2＋2n＋3)，则F(n，－n＋3)，∴PF＝－n2＋2n＋3－(－n＋3)＝－n2＋3n，
∴PQ＝ PF＝－ n2＋ n＝－ (n－ )2＋ ，
∴－ ＜0，0
(5)如解图④，作∠OCH＝30°，过A点作AG⊥CH于G点，AG交OC于点P.∵∠OCH＝30°，∴在Rt△PCG中，2PG＝PC，∴2AP＋PC＝2AP＋2PG＝2(AP＋PG)＝2AG.根据A，P，G三点共线，可知此时2AP＋PC的值最小，最小值为AG的长，∴AG⊥BC时AG最小．
∴OP＝AO·tan ∠OAP＝ ，∴PC＝OC－OP＝3－ ，AP＝2OP＝ ，∴2AP＋PC＝ ＋3－ ＝3＋ ，即2AP＋CP的最小值为3＋ .
∵∠AOP＝∠CGP＝90°，∠APO＝∠CPG，∴∠OAP＝∠GCP＝30°.∵OA＝1，OC＝3，
类型二 面积问题(8年4考：2022.25，2020.28，2018.28，2016.28)
方法一：直接公式法适用于三角形的一边在坐标轴上(或平行于坐标轴)，直接运用三角形的面积公式S＝ AB·h求解．
方法二：分割法适用于三角形的三边都不在坐标轴上(或都不平行于坐标轴).
S△ABC＝S△ABD＋S△CBD＝ BD(AE＋CF)＝ BD|yC－yA|
方法三：补全法适用于三角形的三边都不平行于坐标轴(或都不在坐标轴上).
S△ABC＝S△ACD－S△ABD－S△BCD
S△BCP＝S△OCP＋S△OBP－S△OBC
例 已知抛物线y＝ax2－bx－4与x轴交于A(－1，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C.(1)如图①，点F是抛物线上一点，连接AF，BF，若S△ABF＝15，求点F的坐标；
解：(1)将点A(－1，0)，B(4，0)分别代入y＝ax2－bx－4，
得 解得
∴抛物线的函数表达式为y＝x2－3x－4.
如图，过点F作FN⊥x轴于点N.
∵F是抛物线上一点，∴设F(n，n2－3n－4)，则N(n，0)，∴FN＝|n2－3n－4|，∴S△ABF＝ AB·FN＝ ×5×|n2－3n－4|＝15，∴|n2－3n－4|＝6，当n2－3n－4＝6时，解得n＝－2或n＝5，∴F(－2，6)或(5，6)；当n2－3n－4＝－6时，解得n＝1或n＝2，∴F(1，－6)或(2，－6).综上所述，点F的坐标为(－2，6)或(5，6)或(1，－6)或(2，－6)；
(2)如图②，若点P是抛物线上一动点，连接AC，PC，PB，则当点P的横坐标为1时，求四边形ACPB的面积；
(2)如图，连接BC，过点P向x轴作垂线，交直线BC于点E.
∵抛物线的函数表达式为y＝x2－3x－4，A(－1，0)，B(4，0)，∴AB＝5，令x＝0，得y＝－4，∴C(0，－4)，设直线BC的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，
将点B，C坐标代入得， 解得
∴直线BC的表达式为y＝x－4.∵点P的横坐标为1，∴P(1，－6)，E(1，－3)，∴PE＝3，
∴S四边形ACPB＝S△ABC＋S△PBC＝ AB·OC＋ OB·PE＝ ×5×4＋ ×4×3＝16；
(3)如图③，点G是第四象限内抛物线上一点，点G的横坐标为m，连接AC，AG，BC，BG，AG与BC交于点H，若△BHG与△AHC的面积差为1，求m的值；
(3)∵点G是第四象限内抛物线上的一点，设G(m，m2－3m－4)，0＜m＜4.∵A(－1，0)，B(4，0)，∴AB＝5，∵S△BHG＝S△ABG－S△ABH，S△AHC＝S△ABC－S△ABH，△BHG与△AHC的面积差为1，
①当S△BHG－S△AHC＝1时，S△BHG－S△AHC＝S△ABG－S△ABH－S△ABC＋S△ABH＝S△ABG－S△ABC＝1，
∴ ×5×(－m2＋3m＋4)－ ×5×4＝1，解得m＝ 或m＝ ；
②当S△AHC－S△BHG＝1时，S△AHC－S△BHG＝S△ABC－S△ABH－S△ABG＋S△ABH＝S△ABC－S△ABG＝1，
∴ ×5×4－ ×5×(－m2＋3m＋4)＝1，解得m＝ 或m＝ (不合题意，舍去).
综上所述，m的值为 或 或 ；
【思维教练】求两动点的三角形面积最值，根据CQ∥BP，转化成一个动点的三角形面积最值，即S△PBQ＝S△PBC.根据面积的分割法以及二次函数求最值方法，求S△PBC面积最值即可．
(4)如图④，点P为第四象限内抛物线上一点，连接PB，过点C作CQ∥BP交x轴于点Q，连接PQ，求△PBQ面积的最大值及此时点P的坐标；
(4)如图，连接BC，PC，过点P作PT∥y轴交BC于点T.
∵CQ∥BP，由(2)知C(0，－4)，∴OB＝OC＝4，直线BC的表达式为y＝x－4.设点P的横坐标为m，则P(m，m2－3m－4)，T(m，m－4)，0＜m＜4.∴TP＝m－4－(m2－3m－4)＝－m2＋4m，∴S△BCP＝ TP·(xB－xC)＝ (－m2＋4m)×4＝－2(m－2)2＋8，∵－2＜0，0
【思维教练】由PQ⊥BC，PF⊥x轴，易证△PEQ∽△BEF，由， 将面积比转化成 ，进而求线段之间的关系，由题易知∠OBC＝45°，可表示出BE＝ EF，进而表示出PE与EF关系即可求解．
(5)如图⑤，点P是第四象限内抛物线上一点，过点P作PF⊥x轴交BC于点E，交x轴于点F，过点P作PQ⊥BC于点Q，当S△EPQ＝ S△EBF时，求点P的坐标．
(5)设点P(p，p2－3p－4)，则由(4)知点E(p，p－4)，0＜p＜4，∴PE＝(p－4)－(p2－3p－4)＝－p2＋4p，EF＝4－p.∵PF⊥x轴，PQ⊥BC，∴∠BFE＝∠PQE＝90°.∵∠PEQ＝∠BEF，∴△PEQ∽△BEF.
∵S△EPQ＝ S△EBF，∴ ＝( )2＝ ，∴ ＝ .
∵OB＝OC＝4，∴∠OBC＝45°，∴BE＝ EF，EF＝ BE，
∴ ＝3，
∴ ＝3，解得p＝3或p＝4(舍去)，当p＝3时，p2－3p－4＝－4，∴点P的坐标为(3，－4).
由△EPQ与△EBF相似以及面积比，进而得到对应边成比例是关键．
二次函数面积问题(8年4考，其中面积相等考查2次，面积比的最值考查1次，面积比考查1次，考查面积问题时，常用含参数的未知数表示出三角形的面积，再用等量关系求解)二次函数中关于面积倍数关系的解题策略：先求出其中一个图形面积，再用含未知数的式子表示所求图形(另一个图形)的面积，根据两图形间面积关系，列方程求解；或用相同的未知数分别表示两个图形的面积，再用题中等量关系列方程求解．
类型一 线段问题(2023.25)
例 已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B两点，与y轴交于点C(0，3)，连接BC.(1)如图①，点D是x轴上一点，连接CD，若AD＝CD，求点D的坐标；
【思维教练】设出点D的坐标，线段AD的长可以根据横坐标相减得到，线段CD的长可以根据C，D两点的坐标利用勾股定理得到，然后结合线段相等列方程求解即可．
解：(1)设D(d，0)，∵A(－1，0)，C(0，3)，∴AD＝|d＋1|，OC＝3，∴CD＝ ＝ .∵AD＝CD，∴|d＋1|＝ ，即(d＋1)2＝9＋d2，解得d＝4，∴点D的坐标为(4，0)；
(2)如图②，点E是抛物线对称轴上一动点，连接AE，CE，求AE＋CE的最小值；
【思维教练】根据抛物线的对称性可知关于抛物线对称轴对称的两个点到抛物线对称轴上的任意一点的距离相等，连接BE，可知AE＝BE，从而将问题转化成求BE＋CE的最小值，根据三点共线时线段和最短即可求解．
(2)将点A(－1，0)，C(0，3)分别代入y＝－x2＋bx＋c中，
得 解得
∵C(0，3)，∴OC＝3，OB＝3，∴BC＝ ＝3 .∵点E在抛物线的对称轴上，∴AE＝BE，∴AE＋CE＝BE＋CE.∵BE＋CE≥BC，∴当B，C，E三点共线时，BE＋CE取得最小值，最小值为BC的长．∴AE＋CE的最小值为3 ；
∴抛物线的函数表达式为y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∴B(3，0).如图，连接BE，
(3)如图③，点P是第一象限内抛物线上一点，连接OP交BC于点F.①当 时，求点P的坐标；
【思维教练】根据相似三角形的性质可知相似三角形对应边成比例，过点P作PM∥y轴交CB于点M，从而将 转化成 ，根据线段长的比例列出关系式求解即可．
①如图，过点P作PM∥y轴，交BC于点M，设P(t，－t2＋2t＋3).
∵B(3，0)，C(0，3)，∴直线BC的表达式为y＝－x＋3，∴M(t，－t＋3)，∴PM＝－t2＋2t＋3－(－t＋3)＝－t2＋3t.∵PM∥y轴，∴△OCF∽△PMF，
∴－t2＋3t＝2，解得t1＝1，t2＝2，∴点P坐标为(1，4)或(2，3)；
∴ ，∴ ，
【思维教练】由①可知 ，用 表示出 ，再利用二次函数的性质即可求解最值．
②探究 有最大值吗？若有，求出最大值，若没有，请说明理由；
② 有最大值．理由如下：由①知 ＝ ＝－ t2＋t＝－ (t－ )2＋ ∵－ ＜0，∴ 有最大值，最大值是 ；
【思维教练】过点P作PF∥y轴，交BC于点F，根据抛物线的性质可得△OBC是等腰直角三角形，从而得到△FPQ也是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形直角边与斜边的关系，将求PQ的最大值转化成求PF的最大值，设出点P的坐标，从而表示出点F的坐标，进而表示出PF的长，根据二次函数的性质即可求解．
(4)如图④，点P是第一象限内抛物线上一点，过点P作PQ⊥BC于点Q，求PQ的最大值及此时点P的坐标；
(4)如图，过点P作PF∥y轴，交BC于点F，
∵OB＝OC＝3，∴∠OCB＝45°.∵PF∥y轴，∴∠PFQ＝∠OCB＝45°，∴PQ＝ PF，∵B(3，0)，C(0，3)，∴直线BC的表达式为y＝－x＋3.设P(n，－n2＋2n＋3)，则F(n，－n＋3)，∴PF＝－n2＋2n＋3－(－n＋3)＝－n2＋3n，
∴PQ＝ PF＝－ n2＋ n＝－ (n－ )2＋ ，
∴－ ＜0，0
(5)如解图④，作∠OCH＝30°，过A点作AG⊥CH于G点，AG交OC于点P.∵∠OCH＝30°，∴在Rt△PCG中，2PG＝PC，∴2AP＋PC＝2AP＋2PG＝2(AP＋PG)＝2AG.根据A，P，G三点共线，可知此时2AP＋PC的值最小，最小值为AG的长，∴AG⊥BC时AG最小．
∴OP＝AO·tan ∠OAP＝ ，∴PC＝OC－OP＝3－ ，AP＝2OP＝ ，∴2AP＋PC＝ ＋3－ ＝3＋ ，即2AP＋CP的最小值为3＋ .
∵∠AOP＝∠CGP＝90°，∠APO＝∠CPG，∴∠OAP＝∠GCP＝30°.∵OA＝1，OC＝3，
类型二 面积问题(8年4考：2022.25，2020.28，2018.28，2016.28)
方法一：直接公式法适用于三角形的一边在坐标轴上(或平行于坐标轴)，直接运用三角形的面积公式S＝ AB·h求解．
方法二：分割法适用于三角形的三边都不在坐标轴上(或都不平行于坐标轴).
S△ABC＝S△ABD＋S△CBD＝ BD(AE＋CF)＝ BD|yC－yA|
方法三：补全法适用于三角形的三边都不平行于坐标轴(或都不在坐标轴上).
S△ABC＝S△ACD－S△ABD－S△BCD
S△BCP＝S△OCP＋S△OBP－S△OBC
例 已知抛物线y＝ax2－bx－4与x轴交于A(－1，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C.(1)如图①，点F是抛物线上一点，连接AF，BF，若S△ABF＝15，求点F的坐标；
解：(1)将点A(－1，0)，B(4，0)分别代入y＝ax2－bx－4，
得 解得
∴抛物线的函数表达式为y＝x2－3x－4.
如图，过点F作FN⊥x轴于点N.
∵F是抛物线上一点，∴设F(n，n2－3n－4)，则N(n，0)，∴FN＝|n2－3n－4|，∴S△ABF＝ AB·FN＝ ×5×|n2－3n－4|＝15，∴|n2－3n－4|＝6，当n2－3n－4＝6时，解得n＝－2或n＝5，∴F(－2，6)或(5，6)；当n2－3n－4＝－6时，解得n＝1或n＝2，∴F(1，－6)或(2，－6).综上所述，点F的坐标为(－2，6)或(5，6)或(1，－6)或(2，－6)；
(2)如图②，若点P是抛物线上一动点，连接AC，PC，PB，则当点P的横坐标为1时，求四边形ACPB的面积；
(2)如图，连接BC，过点P向x轴作垂线，交直线BC于点E.
∵抛物线的函数表达式为y＝x2－3x－4，A(－1，0)，B(4，0)，∴AB＝5，令x＝0，得y＝－4，∴C(0，－4)，设直线BC的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，
将点B，C坐标代入得， 解得
∴直线BC的表达式为y＝x－4.∵点P的横坐标为1，∴P(1，－6)，E(1，－3)，∴PE＝3，
∴S四边形ACPB＝S△ABC＋S△PBC＝ AB·OC＋ OB·PE＝ ×5×4＋ ×4×3＝16；
(3)如图③，点G是第四象限内抛物线上一点，点G的横坐标为m，连接AC，AG，BC，BG，AG与BC交于点H，若△BHG与△AHC的面积差为1，求m的值；
(3)∵点G是第四象限内抛物线上的一点，设G(m，m2－3m－4)，0＜m＜4.∵A(－1，0)，B(4，0)，∴AB＝5，∵S△BHG＝S△ABG－S△ABH，S△AHC＝S△ABC－S△ABH，△BHG与△AHC的面积差为1，
①当S△BHG－S△AHC＝1时，S△BHG－S△AHC＝S△ABG－S△ABH－S△ABC＋S△ABH＝S△ABG－S△ABC＝1，
∴ ×5×(－m2＋3m＋4)－ ×5×4＝1，解得m＝ 或m＝ ；
②当S△AHC－S△BHG＝1时，S△AHC－S△BHG＝S△ABC－S△ABH－S△ABG＋S△ABH＝S△ABC－S△ABG＝1，
∴ ×5×4－ ×5×(－m2＋3m＋4)＝1，解得m＝ 或m＝ (不合题意，舍去).
综上所述，m的值为 或 或 ；
【思维教练】求两动点的三角形面积最值，根据CQ∥BP，转化成一个动点的三角形面积最值，即S△PBQ＝S△PBC.根据面积的分割法以及二次函数求最值方法，求S△PBC面积最值即可．
(4)如图④，点P为第四象限内抛物线上一点，连接PB，过点C作CQ∥BP交x轴于点Q，连接PQ，求△PBQ面积的最大值及此时点P的坐标；
(4)如图，连接BC，PC，过点P作PT∥y轴交BC于点T.
∵CQ∥BP，由(2)知C(0，－4)，∴OB＝OC＝4，直线BC的表达式为y＝x－4.设点P的横坐标为m，则P(m，m2－3m－4)，T(m，m－4)，0＜m＜4.∴TP＝m－4－(m2－3m－4)＝－m2＋4m，∴S△BCP＝ TP·(xB－xC)＝ (－m2＋4m)×4＝－2(m－2)2＋8，∵－2＜0，0
【思维教练】由PQ⊥BC，PF⊥x轴，易证△PEQ∽△BEF，由， 将面积比转化成 ，进而求线段之间的关系，由题易知∠OBC＝45°，可表示出BE＝ EF，进而表示出PE与EF关系即可求解．
(5)如图⑤，点P是第四象限内抛物线上一点，过点P作PF⊥x轴交BC于点E，交x轴于点F，过点P作PQ⊥BC于点Q，当S△EPQ＝ S△EBF时，求点P的坐标．
(5)设点P(p，p2－3p－4)，则由(4)知点E(p，p－4)，0＜p＜4，∴PE＝(p－4)－(p2－3p－4)＝－p2＋4p，EF＝4－p.∵PF⊥x轴，PQ⊥BC，∴∠BFE＝∠PQE＝90°.∵∠PEQ＝∠BEF，∴△PEQ∽△BEF.
∵S△EPQ＝ S△EBF，∴ ＝( )2＝ ，∴ ＝ .
∵OB＝OC＝4，∴∠OBC＝45°，∴BE＝ EF，EF＝ BE，
∴ ＝3，
∴ ＝3，解得p＝3或p＝4(舍去)，当p＝3时，p2－3p－4＝－4，∴点P的坐标为(3，－4).
由△EPQ与△EBF相似以及面积比，进而得到对应边成比例是关键．
二次函数面积问题(8年4考，其中面积相等考查2次，面积比的最值考查1次，面积比考查1次，考查面积问题时，常用含参数的未知数表示出三角形的面积，再用等量关系求解)二次函数中关于面积倍数关系的解题策略：先求出其中一个图形面积，再用含未知数的式子表示所求图形(另一个图形)的面积，根据两图形间面积关系，列方程求解；或用相同的未知数分别表示两个图形的面积，再用题中等量关系列方程求解．
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