2024成都中考数学第一轮专题复习之第三章 微专题 反比例函数与一次函数综合题 知识精练(含答案)

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1. (2023营口)如图，点A在反比例函数y＝eq \f(k,x)(x>0)的图象上，AB⊥y轴于点B，tan ∠AOB＝eq \f(1,2)，AB＝2.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)点C在这个反比例函数图象上，连接AC并延长交x轴于点D，且∠ADO＝45°，求点C的坐标．
第1题图
2. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，顶点D在直线y＝eq \f(3,2)x位于第一象限的图象上，反比例函数y＝eq \f(k,x)(x>0)的图象经过点D，交BC于点E，AB＝4.
(1)若BC＝6，求点E的坐标；
第2题图
(2)连接DE，当DE⊥OD时，求点D的坐标．
3. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角△ABC的顶点A，B分别在x轴，y轴上，点C在反比例函数y＝eq \f(k,x)(x>0)的图象上，AC的中点D也在该反比例函数的图象上，已知A(3，0)．
(1)求k的值；
(2)若点P是反比例函数图象上的一点，当△POD的面积是△ABC面积的eq \f(1,2)时，求点P的坐标．
第3题图
4. 如图，已知一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝eq \f(m,x)的图象交于A(－3，2)，B(1，n)两点，一次函数图象与y轴交于点C.
(1)求n的值及一次函数与反比例函数的表达式；
(2)点P是反比例函数图象上一点，且△POC是以OC为底边的等腰三角形，求点P的坐标；
(3)若P是直线AB上的一点，且BP＝2AP，求点P的坐标．
第4题图
5. (2022徐州)如图，一次函数y＝kx＋b(k>0)的图象与反比例函数y＝eq \f(8,x)(x>0)的图象交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，AD⊥x轴于点D，CB＝CD，点C关于直线AD的对称点为点E.
(1)点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由．
(2)连接AE，DE，若四边形ACDE为正方形．
①求k，b的值；
②若点P在y轴上，当|PE－PB|最大时，求点P的坐标．
第5题图
备用图
参考答案与解析
1. 解：(1)∵AB⊥y轴于点B，
∴∠OBA＝90°，
在Rt△OBA中，AB＝2，tan ∠AOB＝ eq \f(AB,OB) ＝ eq \f(1,2) ，
∴OB＝4，
∴A(2，4).
∵点A在反比例函数y＝ eq \f(k,x) (x＞0)的图象上，
∴k＝4×2＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝ eq \f(8,x) ；
(2)如解图，过点A作AF⊥x轴于点F，
∴∠AFD＝90°.
∵∠ADO＝45°，
∴∠FAD＝90°－∠CDF＝45°，
∴AF＝DF＝OB＝4.
∵OF＝AB＝2，
∴OD＝6，
∴D(6，0).
设直线AC的解析式为y＝ax＋b.
∵点A(2，4)，D(6，0)在直线AC上，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a＋b＝4，,6a＋b＝0，)) ∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝6，))
∴直线AC的解析式为y＝－x＋6.
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝－x＋6，,y＝\f(8,x)，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝4)) (舍去)或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝2，))
∴C(4，2).
第1题解图
2. 解：(1)∵BC＝6，
∴AD＝BC＝6.
∵把y＝6代入y＝ eq \f(3,2) x中，
解得x＝4，
∴点D(4，6).
将点D的坐标代入反比例函数表达式得k＝4×6＝24，
故反比例函数的表达式为y＝ eq \f(24,x) .
∵OB＝OA＋AB＝8，即点E的横坐标为8，则y＝ eq \f(24,8) ＝3，
∴点E的坐标为(8，3)；
(2)设点D(2a，3a)(a≠0)，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠DAO＝∠ADC＝90°.
∵DE⊥OD，
∴∠ODE＝90°.
∴∠ODA＝∠EDC.
∵∠OAD＝∠ECD＝90°，
∴△OAD∽△ECD，
∴ eq \f(CE,OA) ＝ eq \f(CD,AD) ，即 eq \f(CE,2a) ＝ eq \f(4,3a) ，
解得CE＝ eq \f(8,3) ，
∴点E(2a＋4，3a－ eq \f(8,3) ).
∵点D，E都在反比例函数的图象上，
∴2a·3a＝(2a＋4)(3a－ eq \f(8,3) )，
解得a＝ eq \f(8,5) ，
∴点D的坐标为( eq \f(16,5) ， eq \f(24,5) ).
3. 解：(1)设点C(a， eq \f(k,a) ).
∵D是AC的中点，A(3，0)，
∴D( eq \f(a＋3,2) ， eq \f(k,2a) ).
∵D在反比例函数y＝ eq \f(k,x) 的图象上，
∴ eq \f(a＋3,2) · eq \f(k,2a) ＝k，
解得a＝1.
如解图①，过点C作CE⊥y轴交y轴于点E，则CE＝1，∠BEC＝∠AOB＝90°.
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO＋∠BAO＝∠ABO＋∠CBE＝90°，
∴∠BAO＝∠CBE.
∴△ABO≌△BCE，
∴OB＝CE＝1，BE＝AO＝3，
∴OE＝4，
∴C(1，4)，
∴k＝4；
第3题解图①
(2)设P(m， eq \f(4,m) )，由题意可知m＞0.
由(1)可知，B(0，1)，C(1，4)，D(2，2)，
∴BC＝ eq \r(12＋32) ＝ eq \r(10) ，
∴S△ABC＝ eq \f(1,2) ×( eq \r(10) )2＝5，
∴S△ODP＝ eq \f(5,2) .
∵点D(2，2)，
∴OD所在的直线的函数表达式为y＝x.
如解图②，过点P作PQ∥y轴交OD所在的直线于点Q，则Q(m，m)，
∴PQ＝|m－ eq \f(4,m) |，
∴S△ODP＝ eq \f(1,2) ×2·PQ＝|m－ eq \f(4,m) |＝ eq \f(5,2) .
若m－ eq \f(4,m) ＝ eq \f(5,2) ，解得m＝ eq \f(5＋\r(89),4) 或m＝ eq \f(5－\r(89),4) (舍去)，
若 eq \f(4,m) －m＝ eq \f(5,2) ，解得m＝ eq \f(－5＋\r(89),4) 或m＝ eq \f(－5－\r(89),4) (舍去)，
∴P( eq \f(5＋\r(89),4) ， eq \f(\r(89)－5,4) )或( eq \f(－5＋\r(89),4) ， eq \f(\r(89)＋5,4) ).
第3题解图②
4. 解：(1)∵反比例函数y＝ eq \f(m,x) 的图象经过点A(－3，2)，
∴m＝－6.
∵点B(1，n)在反比例函数图象上，
∴n＝－6，
∴B(1，－6).
把点A，B的坐标代入y＝kx＋b中，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－3k＋b＝2，,k＋b＝－6，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－2，,b＝－4，))
∴一次函数的表达式为y＝－2x－4，反比例函数的表达式为y＝－ eq \f(6,x) ；
(2)如解图，∵△POC是以OC为底边的等腰三角形，
∴OP＝CP.
令x＝0，则y＝－2x－4＝－4，
∴点C的坐标为(0，－4)，
∴OC＝4，∴点P的纵坐标为－2.
∵点P在反比例函数图象上，
∴当y＝－2时，x＝3，
∴点P的坐标为(3，－2)；
第4题解图
(3)由(1)知直线AB的表达式为y＝－2x－4.
∵A(－3，2)，B(1，－6)，P是直线AB上一点，
设点P的坐标为(t，－2t－4)，
∴BP＝ eq \r(（t－1）2＋（－2t－4＋6）2) ＝ eq \r(（t－1）2＋（－2t＋2）2) ，
AP＝ eq \r(（t＋3）2＋（－2t－4－2）2) ＝ eq \r(（t＋3）2＋（－2t－6）2) .
∵BP＝2AP，∴BP2＝4AP2，即(t－1)2＋(－2t＋2)2＝4[(t＋3)2＋(－2t－6)2]，
整理得15t2＋130t＋175＝0，
解得t＝－ eq \f(5,3) 或t＝－7，
将t＝－ eq \f(5,3) 代入直线AB的表达式中，得y＝－ eq \f(2,3) ；将t＝－7代入直线AB的表达式中，得y＝10，
∴点P的坐标为(－ eq \f(5,3) ，－ eq \f(2,3) )或(－7，10).
5. 解：(1)在，理由如下：
如解图①，过点A作y轴的垂线，交y轴于点F，
设点A的坐标为(a，2b)，
∵AD⊥x轴于点D，
∴D(a，0).
∵CB＝CD，∠COB＝∠COD＝90°，CO＝CO，
∴△COB≌△COD，
∴OB＝OD，∠BCO＝∠DCO.
∵AF＝DO，∠BCO＝∠ACF，
∴∠DCO＝∠ACF，
∴△ACF≌△DCO，
∴OC＝CF，
∴C(0，b).
∵点C关于直线AD的对称点为点E，
∴E(2a，b).
∵点A在反比例函数的图象上，∴2ab＝8，
∴点E在反比例函数的图象上．
第5题解图①
(2)①∵四边形ACDE为正方形，∴∠ACD＝90°，
由(1)得△ACF≌△DCO，2ab＝8，
∴∠ACF＝∠DCO，
∴∠DCO＝45°，△COD为等腰直角三角形，
∴a＝b，
∴a2＝4.
∵a＞0，
∴a＝2，
∴B(－2，0)，C(0，2)，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2k＋b＝0，,b＝2，))
解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝1，,b＝2；))
②如解图②，连接ED并延长交y轴于点P1，
∵点B和点D关于y轴对称，
∴PB＝PD，
∴|PE－PB|＝|PE－PD|≤DE，
当点P位于点P1时，|PE－PB|最大，
设直线DE的表达式为y＝k1x＋b1，
将D(2，0)，E(4，2)代入，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2k1＋b1＝0，,4k1＋b1＝2，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k1＝1，,b1＝－2，))
∴直线DE的表达式为y＝x－2，
∴P1(0，－2).
∴当|PE－PB|最大时，点P的坐标为(0，－2).
第5题解图②