2024成都中考数学第一轮专题复习之第三章 微专题 二次函数图象与系数a，b，c的关系 知识精练(含答案)

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A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
第1题图
2. 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于A(－1，0)，B两点，对称轴是直线x＝1，下列说法正确的是( )

第2题图
A. a>0
B. b>0
C. 点B的坐标为(4，0)
D. 当x>－1时，y的值随x值的增大而增大
3. (2023日照)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3a＋b>0,a＋b<0))，已知点(－3，m)，(2，n)，(4，t)在该抛物线上，则m，n，t的大小关系为( )
A. tC. n4. (2023凉山州)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是( )
第4题图
A. abc<0
B. 4a－2b＋c<0
C. 3a＋c＝0
D. am2＋bm＋a≤0(m为实数)
5. (2023恩施州改编)如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝1，与x轴的交点为(x1，0)，(x2，0)，其中一个交点为位于(2，0)，(3，0)两点之间．下列结论正确的是( )
A. 2a＋b>0 B. bc<0
C. a>－eq \f(1,3)c D. －3第5题图
6. 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象关于直线x＝1对称，与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，若－2第6题图
A. 3a＋2b>0
B. b2C. a>b>c
D. a(m＋1)(m－1)7. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示．下列结论正确的是( )
第7题图
A. 10a＋3b＋c>0
B. a＋b>am2＋bm
C. 3a＋c<0
D. 若axeq \\al(2,1)＋bx1＝axeq \\al(2,2)＋bx2且x1≠x2，则x1＋x2＝4
参考答案与解析
1. D 【解析】由二次函数的图象开口方向向上，对称轴在y轴的右侧，知a＞0，x＝－ eq \f(b,2a) ＞0，∴b＜0，∴P(a，b)在第四象限．
2. B 【解析】A.由图可知：抛物线开口向下，a＜0，故选项A错误，不符合题意；B.∵抛物线开口向下，∴a＜0.∵抛物线的对称轴是直线x＝－ eq \f(b,2a) ＝1，∴b＝－2a＞0，故选项B正确，符合题意；C.由A(－1，0)，抛物线的对称轴是直线x＝1可知，点B的坐标为(3，0)，故选项C错误，不符合题意；D.∵抛物线的对称轴是直线x＝1，开口向下，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，x＜1时，y随x的增大而增大，故选项D错误，不符合题意，故选B.
3. C 【解析】∵当x＝0时，y＝ax2＋bx＝0，∴抛物线恒过(0，0)点．∵ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3a＋b>0,a＋b<0)) ，∴9a＋3b>0，∴当x＝3时，y＝ax2＋bx＝9a＋3b>0，当x＝1时，y＝ax2＋bx＝a＋b<0，∴抛物线开口向上，∴抛物线的对称轴在直线x＝ eq \f(1,2) 与x＝ eq \f(3,2) 之间．∵点(－3，m)到对称轴的距离在 eq \f(7,2) 到 eq \f(9,2) 之间，点(2，n)到对称轴的距离在 eq \f(1,2) 到 eq \f(3,2) 之间，点(4，t)到对称轴距离在 eq \f(5,2) 到 eq \f(7,2) 之间，∴n＜t＜m.
4. C 【解析】∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，∴a＞0，c＜0.∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴－ eq \f(b,2a) ＝1，∴b＝－2a＜0，∴abc＞0，故A选项错误，不符合题意；∵当x＝4时，y＞0，抛物线的对称轴为直线x＝1，∴当x＝－2时，y＞0，∴4a－2b＋c＞0，故B选项错误，不符合题意；∵当x＝3时，y＝0，抛物线的对称轴为直线x＝1，∴当x＝－1时，y＝0，∴a－b＋c＝0，又∵b＝－2a，∴3a＋c＝0，故C选项正确，符合题意；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，且抛物线开口向上，∴抛物线的最小值为a＋b＋c＝a－2a＋c＝－a＋c，∴am2＋bm＋c≥－a＋c，∴am2＋bm＋a≥0，故D选项错误，不符合题意．
5. D 【解析】∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，∴－ eq \f(b,2a) ＝1，∴b＝－2a，∴2a＋b＝0，故A错误；∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴a＜0，b＝－2a＞0，c＞0，∴bc＞0，故B错误；∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，x＝3时y＜0，∴x＝－1时，y＜0，即a－b＋c＜0，∴a－(－2a)＋c＜0，∴a＜－ eq \f(1,3) c，故C错误；∵抛物线与x轴的交点为(x1，0)，(x2，0)，∴x1，x2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，由函数图象与x轴交点可知－1＜x1＜0，2＜x2＜3，∴－3＜x1·x2＜0，故D正确．
6. C 【解析】∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象关于直线x＝1对称，∴其对称轴为直线x＝1，即－ eq \f(b,2a) ＝1，∴b＝－2a，∴3a＋2b＝3a－4a＝－a.由图象可知该抛物线开口向上，∴a＞0，∴3a＋2b＝－a＜0，故A错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴Δ＝b2－4ac＞0.由图象结合题意可知当x＝－1时，y＜0，∴a－b＋c＜0，∴a＋c＜b.∵a＞0，∴b＝－2a＜0，∴a＋c＜0，∴b2－4ac＞a＋c，即b2＞a＋c＋4ac，故B错误；∵抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，∴a＞0，c＜0，∴a＞c，由②可知a－b＋c＜0，b＝－2a，∴3a＋c＜0，∴c＜－3a，∴b＞c，∴a＞b＞c，故C正确；由图象可知当x＝1时，y有最小值，且为a＋b＋c.∵a(m＋1)·(m－1)－b(1－m)＝am2＋bm－a－b＝am2＋bm＋c－(a＋b＋c)，又∵对于任意实数m，都有ym≥y＝a＋b＋c，∴am2＋bm＋c－(a＋b＋c)≥0，即a(m＋1)(m－1)－b(1－m)≥0，∴a(m＋1)(m－1)≥b(1－m)，故D错误．
7. C 【解析】∵对称轴是直线x＝1，与x轴交点在(3，0)左边，∴9a＋3b＋c＜0，∵图象开口向下，∴a＜0，∴10a＋3b＋c＜0，故A错误；∵对称轴是直线x＝1，图象开口向下，∴x＝1时，函数最大值是a＋b＋c，∴m为任意实数时a＋b＋c≥am2＋bm＋c，∴a＋b≥am2＋bm，故B错误；∵对称轴是直线x＝1，∴－ eq \f(b,2a) ＝1，b＝－2a.由图可知抛物线与x轴交点在(3，0)左边，∴由对称得另一个交点在(－1，0)右边，得a－b＋c＜0，∴3a＋c＜0，故C正确；∵ax eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋bx1＝ax eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋bx2，∴ax eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋bx1－ax eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) －bx2＝0，∴a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(x1－x2)＝0，∴(x1－x2)[a(x1＋x2)＋b]＝0.∵x1≠x2，∴a(x1＋x2)＋b＝0，∴x1＋x2＝－ eq \f(b,a) .∵b＝－2a，∴x1＋x2＝2，故D错误．